广东省汕头市金山中学高二数学下学期期中试题 文

广东省汕头市金山中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题
文
第I 卷（选择题 共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()()ln 1
f x x =
++的定义域为（ ） A. ()2,+∞ B. ()()1,22,-⋃+∞ C. ()1,2- D. (]1,2- 2．已知复数
满足
（为虚数单位），则
为（ ）．
A. B. C. D.
3．“21x
>”是“1x >”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条
件
4．圆()2
2
24x y -+=关于直线y x =
对称的圆的方程是（ ）
A. (()2
2
14x y +-= B. (
(2
2
4x y +-=
C. ()2
2
24x y +-= D. ()(2
2
14x y -+-=
5．已知等比数列{}n a 中，，且，则＝( )
A. B. 1 C. 2 D.
6．执行如图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7．设等差数列
的前项和为n s ，若，
，
，且
，则
的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
8．函数()sin f x x x =+在[],x ππ∈-的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
9．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A.
1727 B. 59 C. 1027 D. 13
10．设不重合的两条直线m 、n 和三个平面α、β、γ给出下面四个命题： （1）,,m n m n n αβαβ⋂=⇒ （2）,,m m m αββαα⊥⊥⊄⇒ （3）,m m αβαβ⊂⇒ （4）,αβαγβγ⊥⊥⇒ 其中正确的命题个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11．过抛物线2
:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为（ ）
C. 12．已知函数()()
()
2
ln x x b f x b R x
+-=
∈，若存在1,22
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得
()()'f
x x f x
>-⋅，则实数b 的取值范围是（ ）
A. (-∞
B. 3,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 9,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D. (),3-∞
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知单位向量12,e e 的夹角为30°，则123e e -=__________．
14．设,x y 满足约束条件6
{456 543
x y x y x y -≤+≤+≥，则z x y =+的最大值为__________．
15．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B·曼德尔布罗特(Benoit B ．Mandelbrot)在
20世纪70
年代创立的一门新学科，
它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是__________．
16. ()ln ,()f x x g x x a ==
+2
12
(a 为常数)，
直线l 与函数()f x ()g x 的图象都相切，且l 与函数()f x 的图象的切点的 横坐标为1，则a 的值为 ______.
三解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．ABC ∆的内角的A,B,C 对边分别为a,b,c,已知
(1).求
(2).若
, ABC ∆面积为2,求
18．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
1
2
AB BC AD ==
,090BAD ABC ∠=∠=.
（1）证明：直线//BC 平面PAD ；
（2
）若PCD ∆的面积为P ABCD -的体
积；
19．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了
100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：
（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。

()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且C 过点1,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若斜率为k(k<0)的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，且直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，求k 值.
21．已知函数()22x f x e mx x =-- （1）若0m =，讨论()f x 的单调性； （2）若12e m <
-，证明：当[]0,x ∈+∞时， ()12
e
f x >- 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，圆()()2
2
1:2420C x y -+-=，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， ()2:3
C R π
θρ=
∈.
（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程；
（2）若直线3C 的极坐标方程为()6
R π
θρ=
∈，
设2C 与1C 的交点为O M 、， 3C 与1C 的交点为O N 、，求OMN ∆的面积.
参考答案
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C
6．C 7．B 8．C 9．C 10．B
11．C 12．C
13．1 14．2 15．21 16.-1/2
17．（1）；（2）b=2.
试题解析：（1）由题设及，故
上式两边平方，整理得
解得
（2）由，故
又
由余弦定理学得
所以b=2.
18．（1）在平面内，因为,所以又平面平面故平面
（2）取的中点，连接
由及
得四边形为正方形，则.
因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，
所以底面
因为底面，所以,
设，则，取的中点，连接
，则,所以，
因为的面积为，所以，
解得（舍去），
于是
所以四棱锥的体积
19． (1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
K2的观测值k＝≈15.705.
由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，
从而新养殖法优于旧养殖法．
20（1
）22
222
{ 13
1
4c a a b a b c =+==+，解得2
{ 1a b ==． 故椭圆C 的方程为2
214
x y +=． （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，
由2
2
{ 1
4
y kx m
x y =++=，消去y 整理得()()222148410k x kmx m +++-=，
∵直线l 与椭圆交于两点， ∴()()()
222
2
22641614116410k m k m
k m ∆=-+-=-+>．
设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，
则()
2121222
418,1414m km
x x x x k k --+==
++， ∴()()()2
2
12121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++．
∵直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，
∴()2212122
212112
·k x x km x x m
y y k x x x x +++==，
整理得()2
120km x x m ++=，
∴22
22
8014k m m k
-+=+， 又0m ≠，所以214
k =， 结合图象可知1
2
k =-
，故直线l 的斜率为定值． 21．（1）当0m =时， ()2x x f x e =-． ()2x
f x e '=-，令()0f x '>，得ln2x >．
易知()f x 在()ln2-∞，上单调递减， ()f x 在()ln2+∞，上单调递增．
（2）证明： ()22x
f x e mx =--'， ()()222?
=22
x x x
e f x e m e e e -=->--'-'. 当[
)0x ∈+∞，时， 12x e e ≥>-，故()0f x ''>，故()f x '单调递增． 又()()0121012m 221202e f f e e ⎛⎫
=-=-=---⨯--=
⎪⎝⎭
''，， 故存在唯一的()0x 01∈，，使得()00f x '=，即0022=0x e mx --， 且当()0x 0x ∈，时， ()0f x '<，故()f x 单调递减， 当()0x x +∈∞，时， ()0f x '>，故()f x 单调递增． 故()()02
000min 2x
f x f x e mx x ==--．
因为0x x =是方程0
022=0x e mx --的根，故00
2
m=2x x e -．
故()00
00x 20000min
0212=2x 2
x x x e f x e x x e x e x -=----．
令()()x 1g =012x x e xe x x -
-∈，，， ()11g'=x 122x x x e e --， ()1g =x 02
x x e "-<． 故()g'x 在(0，1)上单调递减，故g ()()1
''002x g <=-<，
故()g x 在(0，1)上单调递减，∴()()g 112e x g >=-，故()12
e
f x >-．
22．（1）因为圆1C 的普通方程为2
2
480x y x y +--=，
把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=， 所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，
2C
的平面直角坐标系方程为y =；
（2）分别将,3
6
π
π
θθ=
=
代入4cos 8sin ρθθ=+
，得1224ρρ=+=+，
则OMN ∆
的面积为(
(
124sin 8236ππ⎛⎫
⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭。