福建省龙岩市永定县坎市中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析

福建省龙岩市永定县坎市中学2020年高三数学理上学
期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 执行如图所示的程序框图，若输入a的值为－1，则输出的S的值是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】模拟程序的运行，可得
a＝﹣1，S＝0，k＝1
满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣1，a＝1，k＝2
满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝3，k＝3
满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝5，k＝4
满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝7，k＝5
此时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
2. 复数等于
A．-1-i B．1+i C．1-i D．-1+i
参考答案：
D
3. 已知球为棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
4. 设全集,则
A．B．
C．D．
参考答案：
B
5. 已知曲线C:点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使其不被曲线C挡住,则实数a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
6. 如右图，阴影部分的面积是（）
A． B．C． D．
参考答案：
C
7. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为( )
A. 70.09
B. 70.12
C. 70.55
D. 71.05
参考答案：
B
8. 函数的图象必经过点（）
A、(0,1)
B、
(1,1) C、(2,0) D、(2,2)
参考答案：
D
9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是
(A) [15,20] (B) [12,25]
(C) [10,30] (D) [20,30]
参考答案：
C
如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则，所以y=40-x，又xy≥300，，所以x(40-x)≥300
即，解得10≤x≤30
10. 已知函数，则下列结论中正确的是（）
A．的一个周期为π B．的图像关于点对称
C. 的图像关于直线对称D．在区间上单调递增
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f （c），则a+b+c的取值范围是．
参考答案：
（2，2015）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，利用数形结合的思想去解决．
【解答】解：当0≤x≤1时，函数f（x）=sinπx的对称轴为x=．
当f（x）=1时，由log2014x=1，解得x=2014．
若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，
因为f（a）=f（b）=f（c），
所以由图象可知0，1＜c＜2014，
且，即a+b=1，
所以a+b+c=1+c，
因为1＜c＜2014，
所以2＜1+c＜2015，
即2＜a+b+c＜2015，
所以a+b+c的取值范围是（2，2015）．
故答案为：（2，2015）．
12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
参考答案：
3
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：通过三视图复原的几何体的形状，结合三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：由题意可知几何体是底面是底面为2的等边三角形，高为3的直三棱柱，所以几何体的体积为：=3．
故答案为：3．
点评：本题考查三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力．13. 已知点，，若圆上存在点P使
，则m的最小值为．
参考答案：
16
14. 如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则
＝．
参考答案：
10
15. 口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿＿＿＿.
参考答案：
略
16. 在平面直角坐标系中，定义为,两点之间的“折线距离”．则原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是▲．
参考答案：
设,直线与坐标轴的交点坐标为，直线的斜率为。

过P做于,则原点与直线上一点
的“折线距离”为,因为为等腰三角形，所以,由图象可知，此时在的内部，所以原点
与直线上一点的“折线距离”的最小距离为。

17. 函数在定义域内的零点的个数为
参考答案：
2个
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
参考答案：
【考点】HR：余弦定理；GG：同角三角函数间的基本关系；GQ：两角和与差的正弦函数；HP：正弦定理．
【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；
（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB 的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，
整理得：ac=9②，
联立①②解得：a=c=3；
（2）∵cosB=，B为三角形的内角，
∴sinB==，
∵b=2，a=3，sinB=，
∴由正弦定理得：sinA===，
∵a=c，即A=C，∴A为锐角，
∴cosA==，
则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．
19. 设曲线：（），表示导函数．
（I）求函数的极值；
（II）数列满足，．求证：数列中不存在成等差数列的三项；
（III）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．
参考答案：
.解：（I），得
当变化时，与变化情况如下表：
∴当时，取得极大值，没有极小值；…………（4分）
（II）∵，∴，∴
…………（6分）
假设数列中存在成等差数列的三项，则，
因此，数列中不存在成等差数列的三项…………（8分）
（III）（方法1）∵，∴，∴
即，设
，，是的增函数，∵，∴；
，，是的增函数，∵，∴，
∴函数在内有零点，…………（10分）
又∵，函数在是增函数，
∴函数在内有唯一零点，命题成立…………（12分）（方法2）∵，∴，
即，，且唯一
设，则，
再设，，∴
∴在是增函数
∴，同理
∴方程在有解…………
（10分）
∵一次函数在是增函数
∴方程在有唯一解，命题成立………（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分。

略
20. （本小题满分10分）已知函数．
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）由得，∴，
即，∴，∴． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令，
则
∴的最小值为4，故实数的取值范围是．
21. （本小题满分12分）已知向量
（1）若,求的值；
（2）若求的值．
（3）设，若求的值域．
参考答案：
略
22. 已知函数．
（1）若时，解不等式；
（2）若关于x的不等式在，上有解，求实数m的取值范围．参考答案：
解：（1）若时，，
当时，原不等式可化为解得，所以，
当时，原不等式可化为得，所以，
当时，原不等式可化为解得，所以，
综上述：不等式的解集为；
（2）当，时，由得，
即，
故得，
又由题意知：，即，
故的范围为，．。