江苏省海头高级中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题

江苏省海头高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．请把答案填写在答题卡相应位置． 1．已知集合A ＝{－1,2,3,6}，B ＝{x |－2<x <3}，则A ∩B ＝( )
A ．{x |－2<x <3}
B ．{3,6}
C ．{－1,2}
D ．{－1,2,3} 2．函数)1(log 2)(++=x x f a （0>a ，且1≠a ）恒过定点（ ） A.()0,1
B.()1,2
C.()1,3
D.()0,2
3．已知幂函数图像经过点（2，8），则该幂函数的解析式是（ ） A ．x
y 3= B ．()
x
y 22= C ．3
x y =
D ．2
2
x y =
4．已知函数833)(-+=x x f x
，在用二分法求方程0833=-+x x 在)2,1(内近似根的过程中，已经得到0)1(<f ，0)5.1(>f ，0)25.1(<f ，则方程的根落在区间（ ） A ．()1,1.25 B ．()1.25,1.5
C ．()1.5,2
D ．不能
确定
5．已知()f x 是奇函数，当0x >时()(1)f x x x =-+，当0x <时，()f x 等于（ ） A ．(1)x x -- B ．(1)x x - C ．(1)x x -+
D ．(1)x x +
6．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的单调增区间是( ) A ．(3,8) B ．(－7，－2) C ．(－2,8) D ．(－2,3)
7．设
13
log 5a =，15
3
b =，0.3
15c ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则有（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b
<< D ．a c b <<
8.若2
log 13
a
<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．203
a <<
B ．23
a >
C ．2
03
a <<
或1a >
D ．
2
13
a << 9．函数12)(2
+-=x ax x f 在区间)1,1(-和区间)2,1(上分别有一个零点，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．)1,3(--
B ．)1,43(
C ．)43,3(-
D ．),4
3()3,(+∞--∞U 10
．已知函数3())8f x x x =+-，且(2)10f -=，那么(2)f =（ ） A ．10
B ．10-
C ．18-
D ．26-
11．已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩
满足对任意12x x ≠，都有
()()
12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ） A. 10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C. 12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D. 2,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
12. 设函数⎩⎨
⎧>+-≤<=3
,430,log )(3x x x x x f ，若实数c b a ,,满足c b a <<，且)()()(c f b f a f ==，则c
ab )2(+的取值范围是（ ） A.（3，4） B.（3，27） C.（9，27） D. （27，81）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置．
13．已知函数)(x f 满足x e f x
=)(，则=)5(f .
14.已知集合⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤=212|x
x A ，(),B
a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是(),c +∞，其
中c = . 15.定义域为
{}
0x x >的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+且(8)3f =，则
=)2(f _______.
16.函数)(x f y =是定义域为R 的增函数，且)(x f y =的图像经过点)3,2(--A 和)3,1(B ，
则不
等式3)(<x f 的解集为 .
三、解答题：请把答案填写在答题卡相应位置． 17．（本小题满分10分）
计算：（1）2
22333(0.9)()(3)(12)28
--+⋅+-；
（2）7log 23log 27lg25lg47++-.
18．（本小题满分12分） 已知函数)3
1
3lg(2)(-+-=x x x f 的定义域为M ．
（1）求M ；
（2）当M x ∈时，求22141)(1
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x x x g 的值域．
19.（本小题满分12分）
某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元时，甲、乙两种商品可分别获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线P 1：y 1＝ax n ，P 2：y 2＝bx ＋c 如图所示．
(1)求函数y 1，y 2的解析式；
(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资？
20.（本小题满分12分） 已知函数x
x
a x f +-=1log )(3
1
是定义在)1,1(-上的奇函数． （1）求a 的值；
（2）判断函数)(x f 在区间)1,1(-上的单调性，并证明； （3）求不等式0)1()2(>-+x f x f 的解集．
21.（本小题满分12分）
已知c bx ax x f ++=2
)()0(≠a ，满足条件x x f x f 2)()1(=-+)(R x ∈，且1)0(=f ．
（1）求)(x f 的解析式；
（2）当0≥x 时，3)(-≥mx x f 恒成立，求实数m 的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知二次函数2
()fx x b xc =++
的图像经过点(1,13)，且函数1
()2
y f x =-是偶函数. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）已知2t <，2
()()13g x fx x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦
，求函数()g x 在[],2t 上的最大值和最小值； （3）函数(
)y f x =的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样点的坐标；如果不存在，请说明理由.
海头高级中学2019—2010学年第一学期期中考试高一数学答案
1-5 CDCBA 6-10 BDCBD 11-12 CD 13. 5ln 14. 1- 15. 1 16. )1,2(- 17. 解:（1）12-. ---------------5分 （2）
2
3
.---------------10分 18. 解：（1）由⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≥-031302x x ，---------------2分
解得(]2,1-∈x ，即(]2,1-=M .---------------5分 （2）因为(]2,1-=M ，
令x
t ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,41t ，---------------7分 则1)1(22)(2
2+-=+-=t t t t g ，---------------8分
而)(t g 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,41上单调递减，[)2,1上单调递增，---------------10分
所以[))2(),1()(g g t g ∈，即[)2,1)(∈t g ， 所以值域为[)2,1.---------------12分
19.解：(1)由题图知P 1：y 1＝ax n
过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫
4，52，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5
4＝a ·1n ，52＝a ·4n
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5
4，n ＝12，
∴y 1＝54x 1
2
，x ∈[0，＋∞)．---------------3分
P 2：y 2＝bx ＋c 过点(0,0)，(4,1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
0＝0＋c ，1＝4b ＋c ，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
c ＝0，b ＝14，
∴y 2＝1
4x ，x ∈[0，＋∞)．---------------6分
(2)设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x )万元，---------------7分 则y ＝54x ＋14(10－x )＝－14x ＋54 x ＋52＝－14⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －522＋6516(0≤x ≤10)，---------------9
分
当且仅当x ＝52即x ＝254＝6.25时，y max ＝65
16，
此时投资乙商品为10－x ＝10－6.25＝3.75万元，---------------11分
答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．---------------12分
（说明：利用换元法求最值，只要答案对，可得满分.）
20.解：（1）因为函数x
x
a x f +-=1log )(3
1
是定义在)1,1(-上的奇函数， 所以
0log )0(3
1==a f ，解得1=a ，---------------2分
此时x x x f +-=11log )(3
1
，由
011>+-x x
，得定义域为)1,1(-， 而)(11log 11log )(3
131
x f x x x x x f -=+--=-+=-，则函数x x
a x f +-=1log )(31是奇函数，
所以1=a 满足题意. ---------------3分
（2）函数)(x f 在区间)1,1(-上的单调递增，---------------4分 下面证明：
任取)1,1(,21-∈x x ，且21x x <， 则)1)(1()
1)(1(log 11log 11log )()(21213
122311131
21x x x x x x x x x f x f -++-=+--+-=-， 而)
1)(1()(21)1)(1()1)(1(21122121x x x x x x x x -+-=--++-，
因为)1,1(,21-∈x x ，且21x x <， 所以0,01,02112>->+>-x x x x ，
所以
0)
1)(1()
(21)1)(1()1)(1(21122121>-+-=--++-x x x x x x x x ， 所以
1)
1)(1()
1)(1(2121>-++-x x x x ，
所以0)
1)(1()
1)(1(log )()(21213
1
21<-++-=-x x x x x f x f ，
所以0)()(21<-x f x f ，
所以)()(21x f x f <，
所以函数)(x f 在区间)1,1(-上的单调递增. ---------------8分 （3）因为函数)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，
所以不等式0)1()2(>-+x f x f 可化为)1()2(->x f x f ，---------------9分 又因为函数)(x f 在区间)1,1(-上的单调递增，
所以⎪⎩
⎪
⎨⎧-><-<-<<-12111121x x x x ，---------------11分
解得)2
1,0(∈x .---------------12分 （说明：单调性证明只要能判断即可得满分.）
21. 解：（1）因为c bx ax x f ++=2
)(且x x f x f 2)()1(=-+，
所以x c bx ax c bx x a 2)()1(2
2=++-+++，即x b a ax 22=++，
所以⎩
⎨⎧=+=022b a a ，解得1,1-==b a ，---------------2分
又1)0(=f ，得1=c ，---------------3分 所以1)(2
+-=x x x f .---------------4分 （2）法一：
因为当0≥x 时，3)(-≥mx x f 恒成立， 所以当0≥x 时，04)1(2
≥++-x m x 恒成立， 令4)1()(2
++-=x m x x g ，[)+∞∈,0x
所以
02
1
≤+m ，---------------7分 或⎪⎩⎪
⎨⎧≤∆>+0
021
m ，---------------10分 解得3≤m .---------------12分 法二：
因为当0≥x 时，3)(-≥mx x f 恒成立， 所以当0≥x 时， 04)1(2
≥++-x m x 恒成立， 令4)1()(2
++-=x m x x g ，[)+∞∈,0x ，
所以①当
02
1
≤+m ，即1-≤m 时，)(x g 在[)+∞,0上单调递增， 所以04)0()(min >==g x g 恒成立，---------------7分 ②当
021>+m ，即1->m 时，)(x g 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+21,0m 上单调递减，⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡+∞+,21m 上单调递增， 所以0)2
1
(
)(min ≥+=m g x g ，解得3≤m ，所以31≤<-m ，---------------10分 综上，3≤m .---------------12分 法三:
因为当0≥x 时，3)(-≥mx x f 恒成立， 所以当0≥x 时，42+-≤x x mx 恒成立，
①当0=x 时，即40≤恒成立，即R m ∈，---------------6分 ②当0>x 时，则14
-+≤x
x m 恒成立， 令14
)(-+
=x
x x g ，),0(+∞∈x ， 任取),0(,21+∞∈x x ，且21x x <， 则2
121212211214)()14
()14()()(x x x x x x x x x x x g x g -⋅-=-+--+
=-， 当]2,0(,21∈x x 时，因为21x x <，
所以4,02121<<-x x x x ，所以0421<-x x ， 所以0)()(21>-x g x g ，所以)()(21x g x g >， 所以函数)(x g 在]2,0(上单调递减， 当),2[,21+∞∈x x 时，因为21x x <，
所以4,02121><-x x x x ，所以0421>-x x ， 所以0)()(21<-x g x g ，所以)()(21x g x g <，
所以函数)(x g 在),2[+∞上单调递增，---------------10分 所以3)2()(min ==g x g ，---------------11分 所以3≤m .---------------12分
22. 解：（1）因为函数1
()2y f x =-是偶函数，所以1()2
y f x =-图像的对称轴为y 轴，因
而二次函数2
()fx x b xc =++的图像的对称轴方程为12x =-
，即1
22
b -=-，所以1
b =-------------1分 又二次函数2
()fx x b xc =++
的图像经过点(1,13)，所以113b c ++=，解得11c = 所以函数()f x 的解析式为2
()11
fx x x =++---------------------3分 （2）由（1）知，2()11
fx x x =++ 则2
2
2(1)1,0()()13(2)(1)1,0x x g x f x x x x x x x ⎧--+≤⎪
⎡⎤=--⋅=-⋅=⎨⎣⎦
-->⎪⎩
画出函数的图像可知
当[],2x t ∈时，m a x ()0gx =
------------------4分 当12t ≤<时，2
m i n
()()2g x g t t t ==---------------------5分 当121t -≤<时，m i n ()1gx =
-----------------------6分 当12t <-时，2
m i n
()()2g x g t t t ==-+---------------------7分
（3）假设函数()y f x =的图像上是否存在这样的点2(,),,P m n m N n N
*
∈∈符合要求， 则22
11m m n
++=，从而224(21)43n m -+= 即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=----------------9分
注意到43是质数，且2(21)2(21),2(21)0n m n m n m ++>-+++>
所以2(21)432(21)1n m n m ++=⎧⎨
-+=⎩，解得10
11m n =⎧⎨=⎩
，---------------------------11分
所以函数(
)y f x =的图像上存在符合题意得点，其坐标为(10,121). ---------------12分。