湖北省华中师范大学2017届高三(下)2月月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年湖北省华中师范大学高三（下）2月月考数学试
卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．已知集合A={x|x2＜4，x∈R}，B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}，则A∩（∁R B）=（）
A．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）B．[﹣3，1]C．（1，2） D．（﹣2，1]
2．已知x，y满足，则3x﹣2y的最大值为（）
A．﹣4 B．8 C．11 D．13
3．函数的一个单调递增区间是（）
A．B．C．D．
4．我国南宋时期的《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列算法的程序框图时，若输入的n=4，x=2，则输出V的值为（）
A．15 B．31 C．63 D．127
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量
，且则B的值是（）
A．B．C．D．
6．偶函数f（x）在（0，+∞）上递增，a=f（log2）b=f（）c=f（log32），则下
列关系式中正确的是（）
A．＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
7．下列命题中真命题的个数是
（1）“”的否定是“∀x∈R，x2﹣2sinx＜5”；
（2）“∠AOB为钝角”的充要条件是“”；
（3）函数的图象的对称中心是．（）A．0 B．1 C．2 D．3
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．B．C．D．
9．设，直线x=﹣1，x=1，y=0，y=e围成的区域为M，曲线y=f（x）与直线x=1，y=0围成的区域为N，在区域M内任取一点P，则P 点在区域N的概率为（）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形ABCD中，，将△ACD沿折起，使得D折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
11．点M是抛物线x2=2py（p＞0）的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上，在△PFM中，sin∠PFM=λsin∠PMF，则λ的最大值为（）
A
．B．1 C．D．
12．设f（x）=（x﹣2）2e x+ae﹣x，g（x）=2a|x﹣2|（e为自然对数的底数），若关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解．则实数a的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（e，+∞）C．（1，e） D．（1，）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若复数z满足（1﹣i）z=1﹣5i，则复数z的虚部为．
14．已知，则
的值为．
15．设，将函数y=f（x）的图象上所有点向右平移个单位
得到函数y=g（x）的图象，若函数g（x）的最大值为g（θ），则为．16．过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1（t∈R）的切线，切点分
别为A，B，则的最小值为．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．设数列{a n}的前n项和为S n，且a n与2S n的等差中项为1．
（1）求数列{a n}的通项；
（2）对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ
的取值范围．
18．PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所
示．现将PM2.5的值划分为如下等级
用频率估计概率．
（1）估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数；
（2）在样本中，按照分层抽样的方法抽取8天的PM2.5值的数据，再从这8个数据中随机抽取5个，求一级、二级、三级、四级天气都有的概率；
（3）如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天PM2.5值X近似满足X～N，则治理后的PM2.5值的均值比治理前大约下降了多少？
19．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为平行四边形，且SD⊥平面ABCD，AB=2AD=2SD，∠DCB=60°，M，N分别为SB，SC的中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD，AB相交于点P，Q，且．
（1）当时，证明：平面MNPQ∥平面SAD；
（2）是否存在实数λ，使得二面角M﹣PQ﹣B为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆的左焦点为F，不垂直于x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
（1）如果直线FA，FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
（2）如果FA⊥FB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围．
21．已知f（x）=sinx+﹣mx（m≥0）．
（1）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）当a≥1时，∀x∈[0，+∞）不等式sinx﹣cosx≤e ax﹣2是否恒成立？请说明理由．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]
22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，
）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l
的方程为．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）若P为曲线C上一点，Q为l上一点，求|PQ|的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|+|x+m|．
（1）若函数f（x）的最小值为2，求m的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）≤2x+3恒成立，求m的取值范围．
2016-2017学年湖北省华中师范大学高三（下）2月月考
数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．已知集合A={x|x2＜4，x∈R}，B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}，则A∩（∁R B）=（）
A．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）B．[﹣3，1]C．（1，2） D．（﹣2，1]
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出B的补集，从而求出其和A的交集即可．
【解答】解：∵A={x|x2＜4，x∈R}={x|﹣2＜x＜2}，
B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}={x|x＞1或x＜﹣3}，
则∁R B={x|﹣3≤x≤1}，
故A∩（∁R B）={x|﹣2＜x≤1}，
故选：D．
2．已知x，y满足，则3x﹣2y的最大值为（）
A．﹣4 B．8 C．11 D．13
【考点】简单线性规划．
【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【解答】解：由已知得到可行域如图：设z=3x﹣2y，得到y=，
当此直线经过图中A（3，﹣1）时
在y轴的截距最小，z最大，
所以z 的最大值为3×3+2=11；
故选C．
3．函数的一个单调递增区间是（）
A．B．C．D．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得f（x）的一个增区间．
【解答】解：对于函数=3cos（﹣2x）=3cos（2x﹣），
令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ
﹣，kπ+]，k∈Z，
令k=1，可得选项A正确，
故选：A．
4．我国南宋时期的《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列算法的程序框图时，若输入的n=4，x=2，则输出V的值为（）
A．15 B．31 C．63 D．127
【考点】程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=4，
故v=1，
i=3，v=1×2+1=3
i=2，v=3×2+1=7
i=1，v=7×2+1=15
i=0，v=15×2+1=31
i=﹣1，跳出循环，输出v的值为31，
故选：B．
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量
，且则B的值是（）
A．B．C．D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据余弦定理，可用a，b，c表示cosC，cosA，从而可求出，
这样带入即可求出cosB的值，进而得出B的值．
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理，
；
∴=；
又；
∴；
∴；
∴
．
故选B ．
6．偶函数f （x ）在（0，+∞）上递增，a=f （log 2）b=f （）c=f （log 32），则下列关系式中正确的是（ ）
A ．＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a 【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】函数f （x ）为R 上的偶函数，可得a=f （log 2）=f （log 23），利用对数函数的单调性及其f （x ）的单调性即可得出．
【解答】解：∵函数f （x ）为R 上的偶函数，∴a=f （log 2）=f （log 23），
∵0＜log 32＜log 23＜，函数f （x ）在（0，+∞）上递增，
∴f （log 32）＜f （log 23）＜f （）， ∴c ＜a ＜b ． 故选：C ．
7．下列命题中真命题的个数是
（1）“
”的否定是“∀x ∈R ，x 2﹣2sinx ＜5”；
（2）“∠AOB 为钝角”的充要条件是“”；
（3）函数的图象的对称中心是．（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）根据含有量词命题的否定定义判定；
（2）根据向量的夹角与数量积的关系判定；
（3）由y=tanx的对称中心为（，0），k∈Z判定
【解答】解：对于（1），“”的否定是“∀x∈R，x2﹣2sinx ＜5”，正确；
对于（2），“∠AOB为钝角”的充要条件是“”且不共线，故错；
对于（3），∵y=tanx的对称中心为（，0），k∈Z，∴由2x+=，k∈Z，
得x=﹣，故错
故选：B
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．B．C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，过点P作PD⊥底面ABC，垂足D在AC的延长线上，且BD⊥AD．AC=CD=1，BD=2，PD=2．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，
过点P作PD⊥底面ABC，垂足D在AC的延长线上，
且BD⊥AD．
AC=CD=1，BD=2，PD=2．
∴该几何体的体积V==．
故选：A．
9．设，直线x=﹣1，x=1，y=0，y=e围成的区域为M，曲线y=f（x）与直线x=1，y=0围成的区域为N，在区域M内任取一点P，则P 点在区域N的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】根据题意，画出曲线y=f（x）与直线x=1，y=0围成的区域为N（阴影部分），以及直线x=﹣1，x=1，y=0，y=e围成的区域为M，计算阴影面积与正方形面积比即可．
【解答】解：如图，S N=×1×1+e x dx=+e x|=+e﹣1=e﹣，
S M=2e，
∴P点在区域N的概率为==﹣，
故选：A
10．如图，在矩形ABCD中，，将△ACD沿折起，使得D折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】设D1在平面ABC的射影为O，求出D1O=，即可求出直线D1C与平面ABC所成角的正弦值．
【解答】解：设D1在平面ABC的射影为O，
由题意，CB⊥平面D1CB，∴CD⊥D1B，
∵D1C=，BC=1，
∴D1B=，
∴=AB2，
∴D1B⊥D1A，
由等面积可得D1O•=1，∴D1O=，
∴直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为=，
故选：B．
11．点M是抛物线x2=2py（p＞0）的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上，在△PFM中，sin∠PFM=λsin∠PMF，则λ的最大值为（）
A．B．1 C．D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由正弦定理求得丨PM丨=λ丨PF丨，根据抛物线的定义，则=，
sinα=，则λ取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，△=0，求得k的值，即可求得λ的最大值．
【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义可得|PF|=|PB|，由sin∠PFM=λsin∠PMF，
则△PFM中由正弦定理可知：则丨PM丨=λ丨PF丨，
∴|PM|=λ|PB|
∴=，
设PM的倾斜角为α，则sinα=，
当λ取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，
设直线PM的方程为y=kx﹣，则，
即x2﹣2pkx+p2=0，
∴△=4p2k2﹣4p2=0，
∴k=±1，即tanα=±1，
则sinα=，
则λ的最大值为=，
故选：C．
12．设f（x）=（x﹣2）2e x+ae﹣x，g（x）=2a|x﹣2|（e为自然对数的底数），若关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解．则实数a的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（e，+∞）C．（1，e） D．（1，）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】f（x）=g（x），即（x﹣2）2e x+ae﹣x=2a|x﹣2|，利用二次方程根的分布研究方法，即可得出结论．
【解答】解：f（x）=g（x），即（x﹣2）2e x+ae﹣x=2a|x﹣2|，
①x=2，a=0时，x=2为函数的零点，不合题意；
②x≠2，令t=|x﹣2|e x，则t2+a=2at，
x＞2，t=（x﹣2）e x，t′=（x﹣1）e x，在（2，+∞）上单调递增；
x＜2，t=（2﹣x）e x，t′=（1﹣x）e x，在（﹣∞，1）上单调递增，（1，2）上单调递减，
∵关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解，
∴t∈（0，e），
令y=t2﹣2at+a，则，∴1＜a＜．
故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若复数z满足（1﹣i）z=1﹣5i，则复数z的虚部为﹣2．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=1﹣5i，
得，
则复数z的虚部为：﹣2．
故答案为：﹣2．
14．已知，则
的值为22017．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】分别令x=1、x=﹣1，求得a0+a2+a4+…+a2016和a1+a3+a7+…+a2017的值，
再利用平方差公式求得的值．
【解答】解：已知，
令x=1 可得a0+a1+a2+a3+…+a2016+a2017=①，
x=﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2016﹣a2017=②，
则=[（a0+a2+a4+…+a2016）+（a1+a3+a7+…+a2017）]
•[（a0+a2+a4+…+a2016）﹣（a1+a3+a7+…+a2017）]
=•=•=（3﹣1）2017=22017，
故答案为：22017．
15．设，将函数y=f（x）的图象上所有点向右平移个单位
得到函数y=g（x）的图象，若函数g（x）的最大值为g（θ），则为
﹣．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，辅助角公式化简g（x）的
解析式，再利用正弦函数的最值求得θ的值，可得的值．
【解答】解：把的图象上所有点向右平移个单位得到
函数y=g（x）=3sin﹣2cos
=3sin（﹣）﹣2cos（﹣）
=
[•sin （﹣）﹣cos （﹣）]= sin [（﹣）﹣α]的
图象，
其中，cosα=，sinα=，
故当（﹣
）﹣α=2kπ+
，k ∈Z 时，即x=4kπ+2α+
时，
函数g （x ）的最大值为g （θ），故θ=4kπ+2α+，
则
=cos （4kπ+2α+
+
）=cos （2α+）
=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2••=﹣
，
故答案为：﹣．
16．过点P （﹣1，1）作圆C ：（x ﹣t ）2+（y ﹣t +2）2=1（t ∈R ）的切线，切点分
别为A ，B ，则
的最小值为
．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB ，及∠APB ，然后代入向量数量积
的定义可求
的最小值．
【解答】解：圆C ：（x ﹣t ）2+（y ﹣t +2）2=1的圆心坐标为（t ，t ﹣2），半径为1，
∴PC==
≥，PA=PB=
，
cos ∠APC=，∴cos ∠APB=2（
）2﹣1=1﹣
，
∴=（PC 2﹣1）（1﹣）=﹣3+PC 2+
=
，
∴
的最小值为．
故答案为．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 与2S n 的等差中项为1． （1）求数列{a n }的通项；
（2）对任意的n ∈N *，不等式恒成立，求实数λ
的取值范围．
【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．
【分析】（1）通过等差中项的性质可知a n +2S n =2，进而整理可知数列{a n }是首项
为、公比为的等比数列，计算即得结论；
（2）=
×9n ﹣1，根据等比数列的求和公式，再根据题意可得λ≤
（1
﹣
），根据数列的单调性即可求出．
【解答】解：（1）∵a n 是2S n 和1的等差中项， ∴a n +2S n =2， ∴S n =1﹣a n ，
当n=1时，a 1=1﹣a 1，解得a 1=，
当n ≥2时，S n ﹣1=1﹣a n ﹣1，
两式相减得：a n =1﹣a n ﹣1+a n ﹣1，
∴a n =a n ﹣1，
∴数列{a n }是首项为、公比为的等比数列， ∴a n =2×（）n ；
（2）由（1）可得=×9n ﹣1，
∴
+
+…+
=
（1+9+92+…+9n ﹣1）=
×
，
∵不等式恒成立，
则有
×
≥，即λ≤
（1﹣
），
令f （n ）=（1﹣
），则f （n ）在N*上递增，
∴f （n ）≥f （1）=3，
∴实数λ的取值范围（﹣∞，3]．
18．PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所示．现将PM2.5的值划分为如下等级
用频率估计概率．
（1）估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数；
（2）在样本中，按照分层抽样的方法抽取8天的PM2.5值的数据，再从这8个数据中随机抽取5个，求一级、二级、三级、四级天气都有的概率；
（3）如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天PM2.5值X近似满足X～N，则治理后的PM2.5值的均值比治理前大约下降了多少？
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图．
【分析】（1）该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的概率为0.125+0.125=0.25，即可估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数；
（2）按照分层抽样的方法从一级、二级、三级、四级的PM2.5值的数据的比值为：10：10：15：5=2：2：3：1，确定基本事件的个数，即可得出结论；
（3）求出该市维持现状不变，该市PM2.5值，治理后的PM2.5值的均值即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的概率为0.125+0.125=0.25，天数为90天；
（2）按照分层抽样的方法从一级、二级、三级、四级的PM2.5值的数据的比值为：10：10：15：5=2：2：3：1，
从这8个数据中随机抽取5个，共有=56种，一级、二级、三级、四级天气都有，有3种情况，一级天气2个，其余1个；二级天气2个，其余1个；三级天气2个，其余1个；
共有C22C32C21C11+C21C32C21C11+C22C33C21C11=24种，故概率为=；
（3）如果该市维持现状不变，则该市PM2.5值约为E（Y）=25×0.125+75×0.125+125×0.375+175×0.25+225×0.125=131.25，治理后的PM2.5值的均值E（X）=115，
∴治理后的PM2.5值的均值比治理前大约下降了16.25．
19．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为平行四边形，且SD⊥平面ABCD，AB=2AD=2SD，∠DCB=60°，M，N分别为SB，SC的中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD，AB相交于点P，Q，且．
（1）当时，证明：平面MNPQ∥平面SAD；
（2）是否存在实数λ，使得二面角M﹣PQ﹣B为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．
【分析】（1）推导出MN∥BC，MN∥BC，从而MN∥平面SAD，再求出MQ∥平面SAD，由此能证明平面MNPQ∥平面SAD．
（2）连结BD，交PQ于点R，则BC∥平面MNPQ，从而PQ∥BC∥AD，推导出AD⊥平面SBD，PQ⊥平面SBD，则∠MRB为二面角M﹣PQ﹣B的平面角，从而∠MRB=60°，过M作ME⊥DB于E，则ME∥SD，从而ME⊥平面ABCD，由此能求出结果．
【解答】证明：（1）∵M，N分别是SB，SC的中点，∴MN∥BC，
由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，∴MN∥BC，
又MN⊄平面SAD，∴MN∥平面SAD，
∵λ=，∴Q为AB的中点，∴MQ∥SA，
又MQ⊄平面SAD，∴MQ∥平面SAD，
∵MN∩MQ=M，∴平面MNPQ∥平面SAD．
解：（2）连结BD，交PQ于点R，
∵MN∥BC，∴BC∥平面MNPQ，
又平面MNPQ∩平面ABCD=PQ，
∴PQ∥BC∥AD，
在▱ABCD中，AB=2AD，∠DCB=60°，∴AD⊥DB，
又SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AD，且SD∩DB=D，
∴AD⊥平面SBD，
∴PQ⊥平面SBD，∴∠MRB为二面角M﹣PQ﹣B的平面角，
∴∠MRB=60°，
∵过M作ME⊥DB于E，则ME∥SD，∴ME⊥平面ABCD，
设AD=SD=a，∴M为SB的中点，∴ME=，DE=，
在Rt△MER中，ME=，∠MRB=60°，∴RE=，
∴DR=DE﹣RE=，
∴=，∵PQ∥AD，∴．
20．已知椭圆的左焦点为F，不垂直于x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
（1）如果直线FA，FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若过
一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
（2）如果FA⊥FB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+b联立，整理得（2k2+1）x2+4kbx+2（b2﹣1）=0，由k FA+k FB=0，可得b与k的关系，即可；
（2）由（1）得=（x1+1）（x2+1）+（kx1+b）（kx2+b）
由=0及△求出b的范围．又d===
即可求解，
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+b
联立，整理得（2k2+1）x2+4kbx+2（b2﹣1）=0
，△=8（2k2+1﹣b2）＞0…①，
k FA+k FB=．
∴（kx2+b）（x1+1）+（kx1+b）（x2+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=2k×
﹣（k+b）×=0
∴b=2k，直线AB的方程为：y=kx+2k，
则动直线l一定经过一定点（﹣2，0）．
（2）由（1）得=（x1+1）（x2+1）+（kx1+b）（kx2+b）
=
=（k2+1）×．
∴代入①得①恒成立．
又d===，
∴d的取值范围（0，）．
21．已知f（x）=sinx+﹣mx（m≥0）．
（1）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）当a≥1时，∀x∈[0，+∞）不等式sinx﹣cosx≤e ax﹣2是否恒成立？请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为不等式e ax﹣﹣x﹣1≥0对x∈[0，+∞）恒成立，构造函数M
（x）=e x﹣﹣x﹣1，根据函数的单调性判断即可．
【解答】解：（1）由题意得f′（x）=cosx+﹣m，
设g（x）=cosx+﹣m，则g′（x）=﹣sinx+x，
令h（x）=﹣sinx+x，则h′（x）=﹣cosx+1≥0，
故h（x）在[0，+∞）递增，故g′（x）≥g′（0）=0，
故g（x）在[0，+∞）递增，即g（x）≥g（0）=1﹣m，
故要使f（x）在[0，+∞）递增，则1﹣m≥0，即m≤1，
故m的范围是m≤1；
（2）由（1）可得，x∈[0，+∞）时，sinx≤x且cosx+﹣m≥1﹣m，
即cosx≥1﹣，
故sinx﹣cosx≤x﹣（1﹣），
故若∀x∈[0，+∞），不等式x﹣（1﹣）≤e ax﹣2恒成立，
则不等式sinx﹣cosx≤e ax﹣2，∀x∈[0，+∞）恒成立，
要使不等式x﹣（1﹣）≤e ax﹣2，∀x∈[0，+∞）恒成立，
即使不等式e ax﹣﹣x﹣1≥0对x∈[0，+∞）恒成立，
构造函数M（x）=e x﹣﹣x﹣1，
则M′（x）=e x﹣x﹣1，令m（x）=e x﹣x﹣1，
则m′（x）=e x﹣1，当x∈[0，+∞）时，m′（x）≥0，故m（x）在[0，+∞）递增，
故m（x）≥m（0）=0，故M′（x）＞0，即M（x）在[0，+∞）递增，
故M（x）≥M（0）=0，故e x﹣﹣x﹣1≥0恒成立，
当a≥1时，e ax≥e x，即∀x∈[0，+∞）不等式e ax﹣﹣x﹣1≥0恒成立，
故a≥1时，∀x∈[0，+∞）不等式sinx﹣cosx≤e ax﹣2恒成立．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]
22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，
）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l
的方程为．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）若P为曲线C上一点，Q为l上一点，求|PQ|的最小值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）直线l的方程转化为+=﹣4，由此能求出直线l的直角坐标方程．
（2）点P（8tan2θ，8tanθ）到直线l的距离d==4（tan）
2+3，由此能求出当tanθ=﹣时，|PQ|取得最小值．
【解答】解：（1）∵直线l的方程为．
即+=﹣4，
∴直线l的直角坐标方程为，即x+y+8=0．
（2）∵曲线C的参数方程为（θ为参数，）．
P为曲线C上一点，Q为l上一点，
∴点P（8tan2θ，8tanθ）到直线l的距离：
d==4
|（tanθ+）2+|=4（tan）2+3，
∴当tanθ=﹣时，|PQ|取得最小值3．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|+|x+m|．
（1）若函数f（x）的最小值为2，求m的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）≤2x+3恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到|m﹣1|=2，解出m的值即可；（2）问题转化为﹣2x﹣2≤m≤2，即可求m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|x+m|≥|（x+1）﹣（x+m）|=|m﹣1|，当且仅当（x+1）（x+m）≤0时取等号，
∴f（x）min=|m﹣1|，
由|m﹣1|=2，解得：m=3或m=﹣1；
（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）≤2x+3，即x+1+|x+m|≤2x+3，
∴﹣x﹣2≤x+m≤x+2，
∴﹣2x﹣2≤m≤2，
∵x∈[﹣1，1]，
∴0≤m≤2．
2017年5月16日。