吉林省长春市一五0中学2017-2018学年下学期高二数学(文)试题(解析版)

高二数学试题（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则中元素的个数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据交集定义求，再确定其中元素的个数.
【详解】因为，，所以,即只有一个元素，选B.
【点睛】集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
2. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负得不等式，解得定义域.
【详解】因为,所以选D.
【点睛】求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.
3. “所有的倍数都是的倍数，某奇数是的倍数，故该奇数是的倍数.”上述推理（）
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 结论错误
D. 正确
【解析】
分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．
详解：∵所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数，
大前提：所有9的倍数都是3的倍数，
小前提：某奇数是9的倍数，
结论：故某奇数是3的倍数，
∴这个推理是正确的，
故选：A．
点睛：该题考查的是有关演绎推理的定义问题，在解决问题的过程中，需要先分清大前提、小前提和结论分别是什么，之后结合定义以及对应的结论的正确性得出结果.
4. 如图是高中数学常用逻辑用语的知识结构图，则（1）、（2）处依次为（）
A. 命题及其关系、或
B. 命题的否定、或
C. 命题及其关系、并
D. 命题的否定、并
【答案】A
【解析】
高中数学常用逻辑用语先学的命题及其关系；逻辑联结词有或、且、非三个。

故选A。

5. “”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案．
【详解】若复数在复平面内对应的点在第一象限，则
解得，故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.
故选C.
【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．
6. 在用反证法证明“已知，且，则，，中至少有一个大于”时，假设应为（）
A. ，，中至多有一个大于
B. ，，全都小于
C. ，，中至少有两个大于
D. ，，均不大于
【答案】D
【解析】
【分析】
根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立．根据要证命题的否定，从而得出结论．【详解】用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．
而要证命题的否定为：“假设，，均不大于”，
故选：D．
【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．
7. 函数的零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由零点存在定理判断选择.
【详解】因为，函数单调递增，所以函数的零点所在的区间是，选C.
【点睛】确定零点往往需将零点存在定理与函数单调性结合起来应用，一个说明至少有一个，一个说明至多有一个，两者结合就能确定零点的个数.
8. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数以及幂函数单调性进行比较大小.
【详解】因为在单调递增，所以；
因为在单调递减，所以；选A.
【点睛】利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.
9. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，分B为空集以及非空集分类讨论，最后求并集.
【详解】，当时,满足条件；
当时,；
综上，选C.
【点睛】防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.
10. 函数的大致图象为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
∵，∴函数为奇函数，排除B，D.
又，故排除C，
故选：A
点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
11. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田亩价值钱；坏田亩价值钱.今合买好、坏田顷，价值钱.问好、坏田各有多少亩？”已知顷为亩，现有下列四个程序框图，其中的单位为钱，则输出的，分别为此题中好、坏田的亩数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
设好田为x,坏田为y，则
A中；B中正确；C中；D中，所以选B.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
12. 设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：不失一般性可设，利用，结合图象可得的范围及，，将所求式子转化为的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围.
详解：作出函数的图象，由时，，可得，可化为；当时，
，可得，令，
解得或7，由图象可得存在使得，可得，即有，则
，设，则在递减，则，则
的范围是，故选B．
点睛：本题考查函数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想以及数形结合思想的应用．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知幂函数的图象经过点，则__________．
【答案】
【解析】
幂函数的图象经过点,设幂函数为将点代入得到
故答案为：.
14. 复数__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数除法法则进行计算.
【详解】。

【点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
15. 若函数，则__________．
【答案】
【解析】
试题分析：
考点：函数解析式
16. 观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是.
由，，，…，可推出__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据递推关系，利用叠加法求结果
【详解】因为，
所以
【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设全集，集合，，.
（1）求，，；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据交集、并集的定义求结果，（2）根据补集、并集的定义求结果.
【详解】（1），，.
（2）.
【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
18. 已知复数.
（1）若是纯虚数，求；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析：（1）根据纯虚数的定义得到，解不等式组即得a的值.(2)由题得，解之得a的值，再求.
详解：（1）若是纯虚数，
则，
所以
（2）因为，
所以，
所以或.
当时，，
当时，.
点睛：（1）本题主要考查复数的概念、复数的模和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.
19. 已知函数是指数函数.
（1）求的表达式；
（2）判断的奇偶性，并加以证明；
（3）解不等式：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据指数函数定义得，解得（2）根据与关系，利用奇偶性定义进行判断，（3）根据对数函数单调性得，再解不等式得结果.
【详解】（1）由，可得或（舍去），∴.
（2）∵，∴，
∴是偶函数.
（3），即，
∴，∴，
∴所求不等式解集为.
【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
20. 市某机构为了调查该市市民对我国申办年足球世界杯的态度，随机选取了位市民进行调查，调查结果统计如下：
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：
（i）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关；
（ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教师，现从这位退休老人中随机抽取人，求至多有位老师的概率.
附：，其中.
【答案】（1）见解析；（2）（i）能，（ii）.
【解析】
【分析】
（1）根据2×2列联表性质填即可；
（2）求出，与临界值比较，即可得出结论；
（3）根据排列组合的性质，随机抽取3人，即可求出至多有1位老师的概率．
【详解】（1）
（2）（i）因为的观测值，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关.
（ii）记人分别为，，，，，其中，表示教师，从人中任意取人的情况有种，其中至多有位教师的情况有种，
故所求的概率.
【点睛】本题主要考查概率统计的相关知识，独立性检验知识的运用，考查概率的计算，属于中档题
21. 已知与之间的数据如下表：
（1）求关于的线性回归方程；
（2）完成下面的残差表：
并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若，则认为回归效果良好）.
附：，，，.
【答案】（1）；（2）良好.
【解析】
【分析】
（1）由题意求出，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）根据公式计算并填写残差表；由公式计算相关指数，结合题意得出统计结论．
【详解】（1）由已知图表可得，，，，
则，，
故.
（2）∵，∴，，，，，则残差表如下表所示，
∵，
∴，
∴该线性回归方程的回归效果良好.
【点睛】本题考查了线性回归直线方程与相关系数的应用问题，是中档题．
22. 已知函数.若在上的值域为区间，试问是否存在常数，使得区间的长度为？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由（注：区间的长度为）. 【答案】32
【解析】
分析：首先化简函数解析式，将其化为，之后将问题转化，对的取值进行分类讨论，最后求得结果.
详解：
.
原问题等价于在上的值域的区间长度为.
①当，即时，
由，即，
得.
②当，即时，
由，∴，又，∴不合题意.
③当，即时，
由.
解得或，又，∴.
综上所述：只有符合题意.
点睛：该题考查的是有关是否存在类问题，解决此类问题的方法步骤是先假设存在，按照题的条件，建立参数所满足的关系式，分类讨论，求得结果，如果推出矛盾，就说明不存在，如果能够求出结果，那就是存在.。