江西省宜春市花桥中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析

江西省宜春市花桥中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若m＞0且m≠1，n＞0，则“log m n＜0”是“(m－1)(n－1)＜0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
2. “一支参加科技创新竞赛的师生的队伍中，包括我在内，总共是13名.下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化.在这此师生中：①学生不少于老师；②男老师多于女学生；③女学生多于男学生；④至少有一位女老师.”，由此推测这位说话人是（）
A．男学生B．女学生C．男老
师D．女老师
参考答案：
A
3. 已知，则“”是“”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
A
4. 已知数列为等差数列，且满足．若展开式中项的系数等于数列的第三项，则的值为（）
A．6 B．8 C．9 D．10
参考答案：
C
5. 如图，在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是（）A． B． C． D．
参考答案：
A
6. 已知函数是定义在上的奇函数，其最小正周期为3, 且
（）
A．－2 B．2 C． D．4高考资源网
参考答案：
A
略
7. 定义域为的函数图象的两个端点为，是图象上任意一点，其中
，已知向量，若不等式恒成立，则称函
数在上“阶线性近似”．若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为( )
A．[0，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，＋∞) D．[，＋∞)
参考答案：
D
略
8. 某种实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有
A．24种 B．48种 C．96
种 D．144种
参考答案：
C
9. 设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点为在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离
心率的取值范围为（）
A．（0，）B．（1，）C．（，1）D．（，+∞）
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A，B的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围．
【解答】解：渐近线y=±x
准线x=±，
求得A（）．B（），
左焦点为在以AB为直径的圆内，
得出，
，
b＜a，
c2＜2a2
∴，
故选B．【点评】本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查圆内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1．
10. （5分）下列函数中，周期为1的奇函数是（）
A． y=1﹣2sin2πx B．y=sinπxcosπx C． y=tan x D． y=sin（2πx+）
参考答案：
B
【考点】：三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．
【专题】：三角函数的图像与性质．
【分析】：对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于D验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．
解：A，y=1﹣2sin2πx=1﹣（1﹣cos2πx）=cos2πx，由于f（﹣x）=cos（﹣2πx）=cos2πx=f （x），故为偶函数，不符合；
B，对于y=sinπxcosπx=sin2πx，为奇函数，且T==1，满足条件．
C，由正切函数的周期公式可得T=2，不符合；
D ，对于函数y=sin （2πx+），f （﹣x ）=sin （﹣2πx+）≠﹣sin （2πx+），不是奇函
数，排除． 故选：B ．
【点评】： 本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin （wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题，属于基础
题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设
，且满足：
，
，则。

参考答案：
由柯西不等式知
，结合已知条件得
，从而解得
，。

【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）
12. 在如下程序框图中，输入，则输出的是__________.
参考答案：
13. 已知变量
满足约束条件
，则
的最大值为
．
参考答案：
2
14. 设G 为ΔABC 的重心，若ΔABC 所在平面内一点P 满足
=0，则的值等于
_______
参考答案：
略
15. 函数
的图象中相邻两条对称轴的距离为____________________________．
参考答案：
解：相邻对称轴间的距离为半个周期，故此题关键是求函数的周期．T ＝
=．
16. 设x ，y 满足约束条件，则z=2x ﹣y 的最大值为 _________ ．
参考答案：
略
17. 函数在
上单调递减，则的取值组成的集合是_______。

参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，
，且
AD ∥BC ，AD ＝AE ＝1，∠ABC ＝60°，EF =
AC ，且EF ∥AC .
（Ⅰ）证明：AB⊥CF；
（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．
参考答案：
（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由EA⊥平面ABCD得BA⊥AE．由四边形ABCD为等腰梯形，，且，∠ABC＝60°，得AB⊥AC，进而推出AB⊥平面ACFE．即可得AB⊥CF．
（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BEF的一个法向量，平面DEF的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
【详解】（Ⅰ）由题知EA⊥平面ABCD，BA平面ABCD，∴BA⊥AE．
四边形ABCD为等腰梯形，，且，AD＝1，所以BC=2，∠ABC＝60°，
过点A作AH⊥BC于H，在RT△ABH中，，∴AB＝1，
在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcos60°＝3，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，
且AC∩EA＝A，∴AB⊥平面ACFE．又∵CF?平面ACFE，∴AB⊥CF.
（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
EF=AC，且EF AC，AD＝AE＝1，则，
设为平面BEF的一个法向量，则令，得
，
设为平面DEF的一个法向量，则令，得，
∴，二面角B﹣EF﹣D的余弦值为.
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，向量法求二面角的平面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
19. 央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名观众进行调查，其中有名男观众和名女观众，将这名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在分钟以上（包括分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在分钟以下（不包括
分钟）的称为“非朗读爱好者”.
（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；
（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各
名，求选出的这
两名观众时间相差5分钟以上的概率.
参考答案：
（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是
选中的“朗读爱好者”有人，记为，“非朗读爱好者”有人，记为1,2,3；记：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有，，，，，，，，，共10个；满足事件的有，，，，，，共7个，则
（2）收视时间在40分钟以上的男观众分别是，，，，，女观众分别是，现要各抽一名，则有，，，，，，，，，共10种情况.
收视时间相差5分钟以上的有，，，，共4种情况.
故收视时间相差5分钟以上的概率.
20. （本小题满分12分）如图，已知AC⊥平面CDE，BD//AC，△ECD为等边三角形，F为ED边的中点，CD=BD=2AC=2
（1）求证：CF∥面ABE；
（2）求证：面ABE⊥平面BDE：
（3）求三棱锥F—ABE的体积。

参考答案：
解：（Ⅰ）证明：取BE的中点G，连FG∥,AC∥，四边形为平行四边形,故CF∥AG，即证CF∥面ABE …………………………3分
（Ⅱ）证明：△ECD为等边三角形，得到CF⊥ED又CF⊥BD CF⊥面BDE 而CF∥AG ，故⊥面BDE，
平面ABE，平面ABE ⊥平面BDE……………………………… 7分
（Ⅲ）由CF⊥面BDE，面BDE，所以
21. 已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线A1S交椭圆C于点M，直
线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求的最大值．
参考答案：
【考点】KO：圆锥曲线的最值问题；K3：椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由c=丨OF丨=丨PQ丨=1，根据三角形的面积公式，即可求得b的值，a2=b2+c2=2，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设S点坐标，求直线A1S及A2S代入椭圆方程，求得M和N点坐标，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）弦PQ过椭圆中心，且∠PFQ=90°，则c=丨OF丨=丨PQ丨=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
不妨设P（x0，y0）（x0，y0＞0），
∴，△PQF的面积=×丨OF丨×2y0=y0=1，则x0=1，b=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
a2=b2+c2=2，
∴椭圆方程为+y2=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）设S（2，t），直线A1S：x=y﹣，则，
整理（+2）y2﹣y=0，解得y1=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
得（+2）y2+y=0，解得y1=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
则=丨×丨﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
≤×=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
当且仅当t2+9=3t2+3，即t=±时取“=”﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
22. （本小题满分12分）
已知函数对任意实数恒有，且当x＞0时，又.
（1）判断的奇偶性；
（2）求证：是上的减函数；
（3）求在区间[－3,3]上的值域；
（4）若，不等式恒成立，求的取值范围.
参考答案：
（1）解：取则
取
对任意恒成立∴为奇函数.。