四川省内江六中2020届高考数学热身试卷1 (含答案解析)

四川省内江六中2020届高考数学热身试卷1
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合A ={x|y =√1−x}，B ={x|(x +1)(x −3)<0}，则(∁R A)∩B =( )
A. [1,3)
B. (1,3)
C. (−1,0]∪[1,3)
D. (−1,0]∪(1,3)
2. 已知i 是虚数单位，若复数z =3−4i ，则计算z .
i
的结果为( )
A. −4−3i
B. 4−3i
C. 4+3i
D. −4+3i
3. 已知cos(π+α)=2
5，则sin (π
2+2α)=( )
A. 7
25
B. −7
25
C. 17
25
D. −17
25
4. 已知直线l ⊥平面α，直线m//平面β，则“α//β”是“l ⊥m ”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
5. 数列{a n }为等比数列，首项a 1=1，前3项和S 3=3
4，则公比为( )
A. −2
B. 1
2
C. −1
2
D. 3
6. 小王、小张、小赵、小李四个人比赛，赛前甲说小王第一，小张第三；乙说小李第一，小赵第
四；丙说小赵第二，小王第三．比赛结果没有人并列且三人各猜对一半，则小王名次是( )
A. 第一
B. 第二
C. 第三
D. 第四
7. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三
视图，则该几何体的体积为( )
A. π
12+3 B. π
12+6 C. π3+3 D. π3+6
8. 如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A
点测得∠NAM =60∘,∠CAB =45∘以及∠MAC =75∘.从C 点测得∠MCA =60∘.已知山高BC =300米，则山高MN =( )米．
A. 300
B. 300√2
C. 450
D.
450√2
9. 函数f(x)=sinx +
cosx x
的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
10. 记max{a,b}={a,a ≥b b,a <b
，则函数f(x)=max{xlnx,e x
x 2}，的最小值为( )
A. −1
e
B. 0
C. e
D. e 2
4
11. 设双曲线C ：x 2
a 2−
y 2b 2
=1(b >a >0)的左、
右焦点分别为F 1，F 2.若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )
A. (1,2]
B. (√2,2]
C. (√2,2)
D.
(1,2)
12. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，给出以下结论：
①直线A 1B 与B 1C 所成的角为60°；
②若M 是线段AC 1上的动点，则直线CM 与平面BC 1D 所成角的正弦值的取值范围是[√3
3,1]；
③若P ，Q 是线段AC 上的动点，且PQ =1，则四面体B 1D 1PQ 的体积恒为√2
6．
其中，正确结论的个数是( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0
x +y −1≥0x <2
，则z =2x −y 的取值范围是______．
14. 已知两个单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120∘，则|2a ⃗ −b ⃗ |的值为______． 15. 已知椭圆C 1：
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)和圆C 2：x 2+y 2=r 2都过点P(−1,0)，且椭圆C 1的离心率
为√22
，过点P 作斜率为k 1，k 2的直线分别交椭圆C 1，圆C 2于点A ，B ，C ，D(如图)，k 1=λk 2，若直线BC 恒过定点Q(1,0)，则λ= ______ ．
16. 数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若a 1+a 2=2，a 2+a 3=−1，则n →∞lim
S n = ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=−10．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{a
n
2n−1}的前n 项和．
18. 某商店经营一批进价为每件40元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x 元与日销售
量y 件之间的关系如下表所示： x (元) 50 60 70 80 90 y (件)
10
8
9
6
1
(1)求回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂；
(2)假设今后销售依然服从(1)中的关系，预测销售单价为多少元时，日利润最大？(利润=销售收入−成本)．
参考公式及数据：b ̂=∑x i n
i=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx
2，a ̂=y −b ̂x ，∑x i 5i=1y i =2180，∑x i 25i=1=25500．
19. 如图，在三棱锥A −BCD 中∠BAC =∠BAD =∠DAC =60°，AC =AD =2，AB =3．
(1)证明：AB ⊥CD ；
(2)求CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
20. 已知函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)．
(1)证明f′(x)≥2；
(2)如果f(x)≥ax 对x ∈[0,1)恒成立，求a 的范围．
21. 已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的离心率为√2
2
，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是坐标平面内一点，且|OP|=√72
，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(O 为坐标原点)． (1)求椭圆C 的方程；
(2)若过F 1的直线L 与该椭圆相交于M 、N 两点，且|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求直线L 的方程．
22. 已知直线l 的参数方程为{x =m −1
2t
y =√3
2
t
(其中t 为参数，m 为常数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l 与曲线C 交于点A ，B 两点． (1)若|AB|=√15
2，求实数m 的值；
(2)若m =1，点P 坐标为(1,0)，求1|PA|+1
|PB|的值．
23. 已知函数f(x)=|x +1|．
(Ⅰ)解不等式f(x)>3−|x +2|；
(Ⅱ)已知a >0，b >0，且a +2b =√2，求证f(x)−|x|≤√a 2+4b 2．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
本题考查了集合的化简与混合运算，是基础题． 化简集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出(∁R A)∩B ．
解：集合A ={x|y =√1−x}={x|1−x ≥0}={x|x ≤1}=(−∞,1]； 集合B ={x|(x +1)(x −3)<0} ={x|−1<x <3}=(−1,3)， 则∁R A =(1,+∞)； 所以(∁R A)∩B =(1,3)． 故选B ．
2.答案：B
解析：解：复数z =3−4i ，则z
.
i =
3+4i i
=
−i(3+4i)−i⋅i
=4−3i ，
故选：B ．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.答案：D
解析：
本题考查利用诱导公式以及二倍角公式进行化简求值，属于基础题． 先由诱导公式求得cos α=−2
5，再结合二倍角公式与诱导公式求解即可． 解： 由已知得cos α=−2
5，
所以sin (π
2+2α)=cos 2α=2cos 2α−1=2×4
25−1=−17
25． 故选D ．
4.答案：A
解析：解：若α//β，∵直线l ⊥平面α， ∴直线l ⊥β， ∵m//β， ∴l ⊥m 成立．
若l ⊥m ，当m//β时，则l 与β的位置关系不确定，
∴无法得到α//β．
∴“α//β”是“l⊥m”的充分不必要条件．
故选：A．
结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间直线和平面的位置关系是解决本题的关键．5.答案：C
解析：解法一：∵数列{a n}为等比数列，首项a1=1，前3项和S3=3
4
，
∴S3=1×(1−q3)
1−q =3
4
，
解得q=−1
2
．
故选：C．
解法二：∵数列{a n}为等比数列，首项a1=1，前3项和S3=3
4
，
∴1+q+q2=3
4
，
解得q=−1
2
．
故选：C．
利用等比数列的前n项和能求出公比．
本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.答案：D
解析：解：①设小王第一，由比赛结果没有人并列且三人各猜对一半，则小赵第二，则小李第一，此情况与题设矛盾，
②设小张第一，由比赛结果没有人并列且三人各猜对一半，则由甲说的可得小王第一，此情况与题设矛盾，
③设小赵第一，由比赛结果没有人并列且三人各猜对一半，由乙说的可得小李第一，此情况与题设矛盾，
④设小李第一，由比赛结果没有人并列且三人各猜对一半，则小张第三，小赵第二，小王第四，此情况与题设相符，
综合①②③④得：小王名次是第四，
故选：D．
先阅读题意，再结合简单的合情推理，逐一检验即可得解．
本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．。