饶平二中高二数学理科试卷

饶平二中高二数学理科试卷
考试时间：100分钟
一、选择题（每小题3分，满分30分。

请把答案的字母填在答题卡上） 1．“凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数.”以上三段推理 A.完全正确 B.推理形式不正确
C.不正确，因为两个“自然数”概念不一致
D.不正确，因为两个“整数”概念不一致
2．如图是导函数/
()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数
A. 13(,)x x
B. 24(,)x x
C.46(,)x x
D.56(,)x x 3．设,,,a b c d R ∈，若
a bi
c di
+-为实数，则 A.0bc ad +≠ B.0bc ad -≠ C.0bc ad += D. 0bc ad -= 4．设O 是原点，向量,OA OB 对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA 对应的复数是 A. 55i -+ B. 55i -- C. 55i + D. 55i -
5．质量为5千克的物体按规律2
23S t t =+作直线运动，其中S 以厘米为单位，t 以秒为单位，则物体受到的作用力为
A. 30牛
B. 5
610-⨯牛 C. 0.3牛 D. 6牛 6. 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是
A./
/
0(2)(3)(3)(2)f f f f <<<- B./
/
0(3)(3)(2)(2)f f f f <<-< C. /
/
0(3)(2)(3)(2)f f f f <<<- D./
/
0(3)(2)(2)(3)f f f f <-<< 7．1
x
e dx ⎰
与2
1
x e dx ⎰相比有关系式
A.
2
1
1
x x e dx e dx <⎰
⎰ B. 2
11
x x e dx e dx >⎰⎰
C.2
1
1
2
00
()x
x e dx e dx =
⎰⎰
D. 2
11
()x x e dx x e dx =⎰⎰
8．函数3
2
()cos sin cos ,f x x x x =+-在[0,2)π上是的最大值为 A.
427 B.827 C.1627 D.3227
9．设,ααβ+均不等于,2
k k Z π
π+
∈,则3sin sin(2)βαβ=+是tan()2tan αβα+= 的
A.充要条件
B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件
D.既不充分又不必要条件
10．设()f x 、()g x 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且/
/
()()()()0f x g x f x g x -<，则当a x b <<时有
A. ()()()()f x g x f b g b >
B. ()()()()f x g a f a g x >
C. ()()()()f x g b f b g x >
D.()()()()f x g x f a g a > 二、填空题（每小题4分，满分16分。

请把答案填在答题卡上） 11．设x R ∈，且0,x ≠若1
3,x x
-+=猜想22*()n n
x x n N -+∈的个位数字是________
12．函数()y f x =的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在
[,]a b 上的面积，已知函数sin y nx =在[0,
]n
π
上的面积为
*2
()n N n
∈，则函数sin 3y x =在2[0,
]3
π
上的面积为_____________ 13．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为3
()x x ρ=（取细棒所在的直线为x 轴，细棒的一端为原点），棒长为1，试用定积分．．．表示细棒的质量M = 14．函数3
2
y x ax bx c =+++有与y 轴垂直的切线，则,a b 满足的关系式是 三、解答题（6小题，满分54分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 15．（本小题8分）已知2
3||()2i
z z z i i
-++=
+，其中z 是z 的共轭复数，求复数z . 16．（本小题8分）已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++，当1x =-时，()f x 的极大值为7；当3x =时，()f x 有极小值．求 （1）,,a b c 的值； （2）函数()f x 的极小值．
17．（本小题9分）求由2
4y x =与直线24y x =-所围成图形的面积. 18．（本小题9分）某厂生产某种产品x 件的总成本3
2()120075
c x x =+
（万元），已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？
19．（本小题10分）已知0a > ，函数1(),(0,)ax f x x x -=
∈+∞.设12
0x a
<<，记曲线在1x x =处的切线为l
（1） 求l 的方程；
（2） 设l 与x 轴交点为2(,0)x .证明： ①21
0x a
<≤
；
②若11x a <
，则121x x a
<<. 20．（本小题10分）已知数列{}n x 满足下列条件：12,,x a x b ==11(1)0n n n x x x λλ+--++=
(,2)n N n *∈≥，其中,a b 为常数，且a b <，λ为非零常数．
（1）当0λ>时，用数学归纳法．．．．．证明：对1n ≥，总有1n n x x +>； （2）猜想n x 的表达式，并用数学归纳法．．．．．证明．
答题卷
高 年级 班、座号 姓名 得分
一、选择题（每小题3分，满分30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题（每小题4分，满分16分）
11、 12、 13、 14、
三、解答题（6小题，满分54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15、（本小题8分）
16、（本小题8分）
17、（本小题9分）
18、（本小题9分）
19、（本小题10分）
20、（本小题10分）
参考答案
一、选择题（每小题3分，满分30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
B
C
D
C
B
B
D
A
C
二、填空题（每小题4分，满分16分） 11、7 12、
43
13、130x dx ⎰ 14、2
3a b ≥
三、解答题（6小题，满分54分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 15、解：由已知得 2
||()1z z z i i ++=- …………………………………………3分 设,(,)z x yi x y R =+∈，代入上式得2
2
21x y xi i ++=- ………………………5分
22121x y x ⎧+=∴⎨
=-⎩，解得123
x y ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ …………………………………………7分 故复数z 为132-
± ………………………………………………………………8分 16、解：（1）由已知得/
2
()32f x x ax b =++ …………………………………………2分
//(1)03203(3)027609(1)7172
f a b a f a b b f a b c c ⎧-=-+==-⎧⎧⎪⎪⎪=∴++=∴=-⎨⎨⎨⎪⎪⎪-=-+-+==⎩⎩⎩
……………………………………6分 （2）由（1），/
()3(1)(3)f x x x =+-
当13x -<<时，/
()0f x <；当3x >时，/
()0f x >…………………………………7分
x
B ( 4,4 ) (1,2)
A -
0 y
C (2,0 )
故3x =时，()f x 取得极小值，极小值为(3)25f =- …………………………………8分
17、解：由2424
y x
y x ⎧=⎨=-⎩得交点坐标为(1,2),(4,4)-，如图
（或答横坐标） …………………………2分 方法一：阴影部分的面积
14
1
22[2(24)]S xdx x x dx =+--⎰⎰ …………4分
3
312422
1442()|(4)|33
x x x x =+-+ …………………7分 9=
…………………………9分
方法二：阴影部分的面积 2
4
24(
)24
y y S dy -+=-⎰ ……………………………4分 234211
(2)|412
y y y -=+- = 9 ……………7分及9分 方法三：直线与x 轴交点为（2，0）所以阴影部分的面积
4412
2
1
2(24)(2)(24)S xdx x dx x dx x dx =------⎰⎰⎰⎰
33
42412222020144()|(4)|()|(4)|33
x x x x x x =--+-- = 9 18、解：设单价为a , 总利润为y , 由已知得2
k
a x
=
, ……………………………2分 把x = 100，a = 50 代入前式得k = 250000，即a x
=
………………………4分 所以32
()120075y ax c x x x
=-=
-- …………………………………………6分
令/
2
2025
y x x =
=，得x = 25 …………………………………………8分
易知x = 25是极大值点，也是最大值点。

答：产量定为25件时总利润最大。

…………………………………………9分
19、（1）求()f x 的导数为：/21()f x x =-
…………………………………………2分 由此得l 的方程为：11211
11()ax y x x x x --=-- ……………………………………… 4分 （2）在l 的方程中令0y =，得211111(1)(2)x x ax x x ax =-+=- …………………5分 ①1120,002x a ax a
<<
>∴<<，故20x > ……………………6分 2211111(2)()x x ax a x a a =-=--+，21x a
∴≤。

当且仅当11x a =时，21x a
= 故210x a
<≤ （或用比较法） ………………………………………8分 ②1110,01x a ax a
<<>∴<2111(1)x x ax x ∴=-> ……………………9分 且由①21x a
< 故121x x a << ……………………………………………………………10分 20（1）证明：
①当1n =时，由b a >可知21x x >，不等式成立。

②假设*()n k k N =∈时，不等式成立，即1k k x x +>，……………………………1分
则10k k x x +->,又因为0λ>，故1()0k k x x λ+->
于是21111(1)()k k k k k k k x x x x x x x λλλ+++++=+-=-+>，即(1)11k k x x +++>
所以，当1n k =+时，不等式也成立。

根据①②，当0λ>时，对1n ≥，总有1n n x x +>成立。

………………………4分
（2）由1112(1)0,,,n n n x x x x a x b λλ+--++=== 得321(1)(1)(),x x x b a b b a λλλλλ=+-=+-=+- 2432(1)(1)[()]()(),x x x b b a b b b a λλλλλλλ=+-=++--=+-+ 23543(1)()(),x x x b b a λλλλλ=+-=+-++ 猜想：221()(...)()1n n n b a x b b a b λλλ
λλλ---=+-+++=+--。

………………7分 下面用数学归纳法证明猜想的正确。

①当1n =时，1(1)1b a b a x λλ
-+-==-， 当2n =时，2()1b a b b x λλλ
-+-==-，猜想正确。

②假设*(n k k N =∈且2)k ≥时，猜想正确。

即121(),()11k k k k b a b a x b x b λλλλλλ
-----=+-=+---。

…………………………8分 11
12(1)1(1) =(1)[()][()]11 =()=()11k k k k k k k x x x b a b a b b b a b a b b λλλλλλλλλλ
λλλλλλ+---+-=+---++
--+-----+-+--- 所以，当1n k =+时，猜想也成立。

根据①②，对*1,()1n n b a n N x b λλλ
--∈=+--都成立。

……………………………10分 另外,本题若不要求数学归纳法,可用下列方法
（1）证明：由已知得11()n n n n x x x x λ+--=-及210x x b a -=->知：数列1{}n n x x +-是首项为b a -，公比为λ的等比数列，故11()n n n x x b a λ-+-=-⋅，由此及0λ>知：
10n n x x +->，即1n n x x +>；
（2）由已知得1121n n n n x x x x x x b a λλλλ+--=-==-=-，即1n n x x b a λλ+-=-
由此及（1）的结论11()n n n x x b a λ-+-=-⋅，消去1n x +，得
1()1n n b a b a x λλλ----⋅=-，。