2016-2017数学苏教版必修4 第2章2.4向量的数量积(二) 作业 Word版含解析

[学业水平训练]
1．已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝________．
解析：由题意知，|a |＝9＋x 2＝5.∴x ＝±4.
答案：±4
2．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________． 解析：由题意知6－m ＝0，∴m ＝6.
答案：6
3．若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝__________． 解析：∵a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，∴8a －b ＝(8，8)－(2，5)＝(6，3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6，3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.
答案：4
4．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.
解析：∵|a ＋b |＝52，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴b 2＝25，
∴|b |＝5.
答案：5
5.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →＝________.
解析：法一：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图
略)，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x ，2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x ，2)，AE →＝(2，
1)，BF →＝(x －2，2)，
∴AB →·AF →＝(2，0)·(x ，2)＝2x .
又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)．
∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.
法二：设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →.
AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)
＝xAB →2＝2x ，∴x ＝22
. ∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋(22
－1)AB →. ∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·[BC →＋(22
－1)AB →] ＝(AB →＋12BC →)[BC →＋(22
－1)AB →] ＝(22－1)AB →2＋12BC 2→＝(22－1)×2＋12
×4＝ 2. 答案： 2
6．设向量a ＝(1，2)，b ＝(x, 1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于__________． 解析：a ＋2b ＝(1＋2x ，4)，2a －b ＝(2－x ，3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x )×3－
4×(2－x )＝0，∴x ＝12，a ·b ＝(1，2)·(12，1)＝1×12＋2×1＝52
. 答案：52
7.(2014·大连高一检测)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时：
(1)k a ＋b 与a －3b 垂直？
(2)k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们同向还是反向？
解：(1)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0.解得k ＝19，即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．
(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在惟一的实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋
2)＝λ(10，－4)，得：⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，
2k ＋2＝－4λ.解得⎩
⎨⎧k ＝－13，λ＝－13
. 所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 因为λ＜0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．
8．已知a ＝(2，－3)，求与a 垂直的单位向量的坐标．
解：设单位向量为e ，其坐标为(x ，y )．
根据题意有⎩
⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x 2＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x 1＝3
1313y 1＝21313或⎩⎨⎧x 2＝－3
1313y 2
＝－21313， 所以e ＝(31313，21313)或(－31313，－21313
)． [高考水平训练]
1．已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P
的坐标是__________．
解析：设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x
－4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，此时点P 的坐
标为(3，0)．
答案：(3，0)
2.如果向量a 与b 的夹角为θ，那么我们称a ×b 为向量a 与b 的“向量积”，a ×b 是一个向量，它的长度为|a ×b |＝|a |·|b |sin θ.如果|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－3，则|a ×b |＝________．
解析： 由于a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－3，所以cos θ＝－35
. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ＝45
， 所以|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝4.
答案：4
3.已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭
⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2
t
的最小值． 解：由已知得|a |＝
（3）2＋（－1）2＝2， |b |＝⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭
⎫322＝1， a·b ＝3×12－1×32
＝0.∵x ⊥y ，∴x·y ＝0， ∴[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.
化简得k ＝t 3－3t 4
， ∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74
， 即当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74
. 4．已知c ＝m a ＋n b ＝(－23，2)，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为120°，且b ·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.
解：∵a 与c 垂直，∴a ·c ＝0.
又∵c ＝m a ＋n b ，∴c ·c ＝m a ·c ＋n b ·c ，
∴12＋4＝－4n ，∴n ＝－4.
∵b ·c ＝|b ||c |cos 120°，
∴－4＝|b |×4×(－12
)，∴|b |＝2. 又a ·c ＝m a 2－4a ·b ，|a |＝22，∴a ·b ＝2m .
又b ·c ＝m (a ·b )－4b 2，
∴－4＝2m 2－16，∴m 2＝6，∴m ＝±6.
当m ＝6时，a ·b ＝2 6.
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝2622×2＝32
， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6
. 当m ＝－6时，a ·b ＝－2 6.
∴cos θ＝－32，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6
. 因此m ＝6，n ＝－4时，θ＝π6；m ＝－6，n ＝－4时，θ＝5π6
.。