【精品】2020年新疆兵团第二师华山中学高二上学期期中数学试卷和解析文科

2018学年新疆兵团第二师华山中学高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1．（5分）下列说法错误的是（）
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
C．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
2．（5分）从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）
A．1，2，3，4，5 B．5，16，27，38，49
C．2，4，6，8，10 D．4，12，22，31，40
3．（5分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）
A．1，3 B．4，1 C．0，0 D．6，0
4．（5分）一个容量为10的样本数据，分组后，组距与频数如下：[1，2），1；[2，3），1；[3，4），2；[4，5），3；[5，6），1；[6，7），2．则样本在区间[1，5）上的频率是（）A．0.70 B．0.25 C．0.50 D．0.20
5．（5分）有下述说法：
①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件．
②a＞b＞0是的充要条件．
③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．则其中正确的说法有（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（5分）若方程+=1表示准线平行于x轴的椭圆，则m的范围是（）
A．m＞B．m＜C．m＞且m≠1 D．m＜且m≠0
7．（5分）袋内装有红、白、黑球分别为3、2、1个，从中任取两个，则互斥而不对立的事件是（）
A．至少一个白球；都是白球
B．至少一个白球；至少一个黑球
C．至少一个白球；一个白球一个黑球
D．至少一个白球，红球、黑球各一个
8．（5分）以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（）
A．B．C．D．
9．（5分）一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A．m＞1，且n＜1 B．mn＜0 C．m＞0，且n＜0 D．m＜0，且n＜0
10．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）
A．B．C．D．
11．（5分）一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个小的正方体，若将这些小正方体均匀搅拌在一起，则任意取出的一个小正方体其两面均涂有油漆的概率是（）
A．B． C．D．
12．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）
A．B． C．D．
二、填空题（共4小题，每题5分，共计20分）
13．（5分）若椭圆的离心率为，则k的值为．
14．（5分）命题“ax2﹣2ax﹣3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是．
15．（5分）下列各数85（9）、210（6）、1000（4）、111111（2）中最小的数是．
16．（5分）某公司为改善职工的出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司的距离d（单位：千米）．若样本数据分组为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的人数为人．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，17题10分，其余每题12分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．
（1）用列表或画树状图的方法列出所有可能结果；
（2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，求事件A=“点（x，y）落在直线y=x+1上方”的概率．
18．（12分）已知椭圆C：=1（a＞2）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2（右）的
距离的和是6．
（1）求椭圆C的离心率的值；
（2）若PF2⊥x轴，且p在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．
19．（12分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
20．（12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）
能赚多少钱？
21．（12分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
（1）求线性回归方程；
（2）据（1）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．
22．（12分）在直线l：x﹣y+9=0上任取一点M，过M作以F1（﹣3，0），F2（3，0）为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程．
2018学年新疆兵团第二师华山中学高二（上）期中数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1．（5分）下列说法错误的是（）
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
C．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
【解答】解：对于A，在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体，A正确；
对于B，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，B正确；
对于C，一组数据的平均数不一定大于这组数据中的每个数据，如1，1，1，1，1，这组数据的平均数为1，不大于这组数据中的每个数据，故C错误；
对于D，设一组数据为x1，x2，…，x n，其平均数为，方差为s2，则
s2=[++…+]，
方差反应这组数据的波动情况，方差越大，说明这组数据的波动越大，D正确．
故选：C．
2．（5分）从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）
A．1，2，3，4，5 B．5，16，27，38，49
C．2，4，6，8，10 D．4，12，22，31，40
【解答】解：∵50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，
∴每一组号码间距相同．
5，16，27，38，49的间距相同，
∴B有可能．
故选：B．
3．（5分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）
A．1，3 B．4，1 C．0，0 D．6，0
【解答】解：∵a=1，b=3
∴a=a+b=3+1=4，
∴b=a﹣b=4﹣3=1．
故输出的变量a，b的值分别为：4，1
故选：B．
4．（5分）一个容量为10的样本数据，分组后，组距与频数如下：[1，2），1；[2，3），1；[3，4），2；[4，5），3；[5，6），1；[6，7），2．则样本在区间[1，5）上的频率是（）A．0.70 B．0.25 C．0.50 D．0.20
【解答】解：由组距与频数的关系知样本在[1，5）上的频数为1+1+2+3=7，
所以样本在[1，5）上的频率为7÷10=0.7；
故选：A．
5．（5分）有下述说法：
①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件．
②a＞b＞0是的充要条件．
③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．则其中正确的说法有（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，故①错误；
a＞b＞0⇒，反之则不成立，故②错误；
a＞b＞0⇒a3＞b3，反之由不成立，故③错误．
故选：A．
6．（5分）若方程+=1表示准线平行于x轴的椭圆，则m的范围是（）
A．m＞B．m＜C．m＞且m≠1 D．m＜且m≠0
【解答】解：解：因为方程+=1表示准线平行于x轴的椭圆，
所以椭圆的交点在y轴上，
所以0＜m2＜（m﹣1）2，解得m＜且m≠0．
故选：D．
7．（5分）袋内装有红、白、黑球分别为3、2、1个，从中任取两个，则互斥而不对立的事件是（）
A．至少一个白球；都是白球
B．至少一个白球；至少一个黑球
C．至少一个白球；一个白球一个黑球
D．至少一个白球，红球、黑球各一个
【解答】解：选项A，“至少一个白球”是指1个白球或都是白球，故和“都是白球”不是互斥事件；
选项B，“至少一个白球”是指1个白球或都是白球，“至少一个黑球”是指恰有1个黑球，故也不是互斥事件；
选项C，“至少一个白球”是指1个白球或都是白球，“一个白球一个黑球”含在前面，故也不是互斥事件；
选项，“至少一个白球”是指1个白球或都是白球，“红球、黑球各一个”则没有白球，故互斥，而没有白球也不一定是红球、黑球各一个，故不对立．
故选：D．
8．（5分）以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共
可构成个分数，
由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数，
故这种分数是可约分数的共有个，
则分数是可约分数的概率为P==，
故选：D．
9．（5分）一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A．m＞1，且n＜1 B．mn＜0 C．m＞0，且n＜0 D．m＜0，且n＜0
【解答】解：若一次函数的图象同时经过第一、三、四象限
则＞0，＜0，即m＞0且n＜0
故“m＞1，且n＜1”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的不充分也不必要条件；
“mn＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的必要但不充分条件；“m＞0，且n＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的充要条件；“m＜0，且n＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的不充分也不必要条件；
故选：B．
10．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，
∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，
∵在定义域内任取一点x0，
∴x0∈[﹣5，5]，
∴使f（x0）≤0的概率P==
11．（5分）一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个小的正方体，若将这些小正方体均匀搅拌在一起，则任意取出的一个小正方体其两面均涂有油漆的概率是（）
A．B． C．D．
【解答】解：有题意知本题是一个等可能事件的概率，
一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的小正方体，
其中满足两面漆有油漆的小正方体有12×8=96个
∴从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率P==
故选：B．
12．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）
A．B． C．D．
【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都
在原点，
且它们有四个交点，
∴圆的半径，
由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，
在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，
∴；
由，得b+2c＜2a，
再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，
∴3c2+4bc＜3a2，
∴4bc＜3b2，
∴16c2＜9b2，
∴16c2＜9a2﹣9c2，
∴9a2＞25c2，
∴，
∴．
综上所述，．
故选：A．
二、填空题（共4小题，每题5分，共计20分）
13．（5分）若椭圆的离心率为，则k的值为k=4或．
【解答】解：若焦点在x轴上，
则，
解得k=4．
若焦点在y轴上，
则，
解得k=﹣．
故答案为：4或﹣．
14．（5分）命题“ax2﹣2ax﹣3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【解答】解：命题“ax2﹣2ax﹣3＞0不成立”是真命题，即对于任意的x∈R，不等式ax2﹣2ax ﹣3＞0都不成立
①当a=0时，不等式为﹣3＞0，显然不成立，符合题意；
②当a≠0时，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3在R上恒小于或等于0
∴，解之得﹣3≤a＜0
综上所述，得实数a的取值范围是﹣3≤a≤0
故答案为：[﹣3，0]
15．（5分）下列各数85（9）、210（6）、1000（4）、111111（2）中最小的数是111111（2）．
=5+8•91=77，
【解答】解：85
（9）
210（6）=0+1•6+2•62=78，
1000（4）=1•43=64，
111111（2）=1+1•2+1•22+1•23+1•24+1•25=63，
最小的数是111111
．
（2）
．
故答案为111111
（2）
16．（5分）某公司为改善职工的出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司的距离d（单位：千米）．若样本数据分组为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的人数为24人．
【解答】解：样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的频率为：（0.1+0.14）×2=0.48，所以样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的人数为：50×0.48=24人
故答案为：24．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，17题10分，其余每题12分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．
（1）用列表或画树状图的方法列出所有可能结果；
（2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，求事件A=“点（x，y）落在直线y=x+1上方”的概率．
【解答】解：（1）由题意知共有25种结果，下面列举出所有情况：
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）
（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）
（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是25，
满足条件的事件是点（x，y）落在直线y=x+1上方的有：
（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5）共6种．
∴P（B）=．
18．（12分）已知椭圆C：=1（a＞2）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2（右）的
距离的和是6．
（1）求椭圆C的离心率的值；
（2）若PF2⊥x轴，且p在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）根据椭圆的定义得2a=6，a=3；
∴c=；
∴；
即椭圆的离心率是；
（2）；
∴x=带入椭圆方程得，y=；
所以Q（0，）．
19．（12分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
【解答】解：¬p：|4﹣x|＞6，解得x＞10，或x＜﹣2，
记A={x|x＞10，或x＜﹣2}．
q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，
记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}
而非p是q的充分不必要条件，而¬p⇒q，∴A⊊B，
∴，∴0＜a≤3．
20．（12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
【解答】解：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个
（1）事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123：
P（E）==0.05
（2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，
P（F）==0.45
（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，
P（G）=（4）=0.1，
假定一天中有100人次摸奖，
由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次．
则一天可赚90×1﹣10×5=40，每月可赚1200元
21．（12分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
（1）求线性回归方程；
（2）据（1）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．
【解答】解：（1）=（115+110+80+135+105）=109，=（24.8+21.6+18.4+29.2+22）=23.2，
设所求回归直线方程为=bx+a，则，
∴a=﹣b=．
∴所求回归直线方程为=0.1962x+1.8166．
（2）由第（1）问可知，当x=150m2时，销售价格的估计值为=0.1962×150+1.8166=31.2466（万元）．
22．（12分）在直线l：x﹣y+9=0上任取一点M，过M作以F1（﹣3，0），F2（3，0）为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程．
【解答】解：设F1（﹣3，0）关于l：x﹣y+9=0的对称点F（x，y）
则，即F（﹣9，6），
连F2F交l于M，点M即为所求．
F2F：即x+2y﹣3=0
解方程组，即M（﹣5，4）
当点M′取异于M的点时，|FM′|+|M′F2|＞|FF2|．
满足题意的椭圆的长轴
所以，b2=a2﹣c2=45﹣9=36
所以椭圆的方程为：．
赠送初中数学几何模型【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．
(1)如图1，设⊙O的半径是r，若︵
AB l＋
︵
CD l＝πr，求证：AC⊥BD；
(2)如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN＝EF．
F 图1 图2
4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．
(1)求证：︵
BD ＝︵
BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．
5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则
AE、PE与
PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD于E，F为AB中点。

（1）如图1，若连接FE并延长交DC于H，求证：FH⊥DC；
（2）如图2，若OG⊥DC于G，试判断线段OG与EF的关系，并说明理由。

图1 图2。