数学期望6

可以得到这100天中 每天的平均次品数为
32天没有出次品; 30天每天出一件次品; 17天每天出两件次品; 21天每天出三件次品;
这个数能否作为 X的平均值吗？
0 32 1 30 2 17 3 21 1.27 100 100 100 100
一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出 三件废品)
甲获胜的概率0.75 ,乙获胜的概率0.25，意味着堵四 局甲获胜3局，获赌资300元，乙获胜1局，获100元
因此 按照甲75,乙25分配比较合理
甲获得 100
0
概率 0.75
0.25
于是 75=100 0.75+0 0.25 正是甲期望得到的
期望值正来源于赌博,虽然字面含义不清,但也成为了
习惯名称,相对而言均值更直观
例9 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，
其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。
求EX，E(-3X+2Y)，E(XY)。
y
解： f (x, y) 02,,
(x, y) A 其它；
0x
0
0
1
EX= xf (x, y)dxdy dx x 2dy
1 1x
3
x y 1 0
看一下大家普遍关注本科生、研究生初次就业的起薪 起薪可以看作是一个随机变量，要明确的写出来他的 分布函数是一件不可能的事情 实际上，用平均数 以及高低差就能说明一个大概
平均数和高低差用一个数字在某种意义上对随机变量 (起薪)进行了刻画 我们称之为随机变量的数字特征
思考题：体会掷骰子掷出点数的平均值 第一种思路：重复掷大量次数，取平均 第二种思路：不做试验，尝试利用分布规律计算 1、每个面出现的概率均为1/6，平均值为？ 2、如果筛子五个面为1，一个面为6，平均值多少？ 简单平均不合理，应采用加权平均，权重如何取？ 分析：概率大代表着取到的机会就大，赋权就大 权重取各个可能值得概率应该是一个合理的选择
1.离散型随机变量的数学期望
引例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张 每天生产的次品数X是一个随机变量. 如何确定小张 每天生产的次品数的平均值呢？（平均值反映小张
的技术水平，是一个常数） 我们可以通过实验的方法得到，先观察小
张100天的生产情况 （假定小张每天至多出现三件次品 ）
若统计100天,
0 p0 1 p1 2 p2 3 p3
以频率为权 的加权平均
以概率为权 的加权平均
这是一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 .
定义1 设离散型随机变量X 的分布律为
P{X xk } pk ,(k 1,2,3,)
若级数 xk pk 绝对收敛 。 k 1
则称此级数的和为X 的数学期望。
2. 若k是常数，则E(k X )=k E(X );
3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);
n
n
推广: E[ Xi ] E(Xi )
i 1
i 1
4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y );
注意:由E(XY )=E(X )E(Y )不一定能推出X,Y独立
n
n
推广 : E[ Xi ] E( Xi )（诸Xi独立时）
,
other
求 E( X ), E(Y ), E( XY )
解： E( X )
x f ( x, y)dxdy
1
1 x( x y)dxdy 2
00
7
E(Y ) 2 7
11
E(XY )
xyf ( x, y)dxdy xy( x y)dxdy
00
1 E( X )E(Y ) 3
一般情况
x x1 x2 x3 x4
Y= g(x1) g(x2) g(x3) g(x4) g(x) p P1 p2 p3 p4
对于连续型随机变量
定理 :p95
g( xk ) pk , X离散型
E(Y ) E[g( X )] k1
g( x) f ( x)dx,
X 连续型
定理
若(X ,Y ) 是二维随机变量， g(x, y) 是二元连续函数，
关于期望值的理解: 1、随机现象大量次试验的平均值 2、期望值的计算公式为各种可能取值的加权平均
2.连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在
数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …, 则X落在小区 间[xi, xi+1)内的概率是
xi1 f ( x)dx xi
阴影面积近似为
例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能
打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去 开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次 数的数学期望.
解: 设试开次数为X,
PX k 1
n
k 1, 2, , n.
于是 EX n k 1 1 (1 n)n n 1
k 1 n n 2
Y 150 X 2
X 0 X 0
求甲、乙二人在一月内获该项奖金额的数学期望。
解 直接用公式
E Y1 g xk pk k 1
E Y2 g xk pk k 1
50 0.4 0 0.3 3 0.2 8 0.1 18.6 50 0.2 0 0.5 3 0.2 8 0.1 8.6
定理：绝对收 敛级数经改变 项的位置后构 成的级数也收
简称期望或均值，记为 E(X).
即
E( X ) xk pk
敛，且与原级 数有相同的和
k 1
注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的
级数的和. 数学期望是随机变量的平均值，与 X 的取
值 x k 的顺序无关（唯一性），所以要求级数绝对收敛。
均匀分布的数学期望
设X~u(a,b) 求 E(x)
正态分布的数学期望
3 随机变量函数的数学期望 问题的提出：
设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是X 的期望， 而是X 的某个函数g(X)的期望.
那么应该如何计算呢？
引例分析
X 0123 P 0.4 0.3 0.2 0.1 X2 0 1 4 9
i 1
i 1
3. E( X +Y )=E(X )+E(Y );
证明: 设 X .Y ~ f x, y
E( X Y ) ( x y) yf ( x, y)dxdy
x[ f ( x, y)dy]dx y[ f ( x, y)dx]dy
得分的期望值 3 0.25+(-1) 0.75=0 此种情况下，蒙不蒙效果都一样 但是，如果肯定可以排除一个，效果就不一样了
再看一个例子 ,假如甲乙二人赌博,胜者获得100元, 规则为三局两胜制. 现假定甲先赢一局,此刻停住. 赌资如何分配? 假设二人每局获胜的概率相同 分析: 平分或者全部给甲均不合理
第一节
随机变量的数学期望
一 、数学期望的概念 二、离散型数学期望 三 、连续性数学期望 四、随机变量函数的数学期望 五、数学期望的性质
关于数字特征的概述
分布函数和密度函数等是对随机变量的精密刻画,在对 具体问题的研究中 ，求出随机变量的具体分布函数或 密度函数是一件相当困难的事情， 有时，也没有必要。
n0天没有出次品; n1天每天出一件次品; n2天每天出两件才品; n3天每天出三件次品.
可以得到n天中每天的平均次品数为
0 n0 1 n1 2 n2 3 n3 nn n n
0 n0 1 n1 2 n2 3 n3 nn n n
当n很大时，频率接近于概率， 所以我们在求次品数X的平均值 时，用概率代替频率，得平均 值为
则 Z= g(x, y) f (x, y)dxdy 。
例11 甲、乙二人分别看管两台机床， 在一个月内发生
故障次数分别记为X1，X2。 已知故障次数的分布律为:
X1 0 1 2 3 Pk 0.4 0.3 0.2 0.1
X2 0 1 2 3 Pk 0.2 0.5 0.2 0.1
若奖金函数为（单位元）
f ( xi )xi
f ( xi )( xi1 xi )
f ( xi )xi
小区间[xi, xi+1)
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值 可以用xi来近似代替.
因此X与以概率 f ( xi )xi 取值xi的离散型r.v
近似, 该离散型r.v 的数学
期望是
阴影面积近似为
0
E(-3X+2Y)= dx
0 2(3x 2 y)dy 1
1 x1
3
E(XY )
xyf x, ydxdy 2
0
xdx
0
ydy 1
1
1 x
12
一般来说， E(XY) E(X )E(Y )，何时相等？ 看下面数学期望性质
4 数学期望的性质
1. 设C 是常数，则E(C )=C;
计算期望值：
若经营西瓜，期望值E1=0.7×2000＋0.3 × （－1000）=1100元． 而经营工艺品期望值E2＝0.95×1000+0.05 × （－500）＝
925元．
再如:考试中经常碰到选择题，选对3分，错了扣1分 没有任何线索的情况下，能不能碰碰运气 计算得分的期望值
蒙对答案的概率0.25
解: 以X记录射击次数
p( X k ) p(1 p)k1 pqk1
E( X ) kpqk1 p kqk1
K 1
K 1
p( qk ) K 1
p (1 q)2
1 p
p( 1 ) 1q
期望值在决策（决策就是方案选择）中有着广泛的应用
假如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜，风险大 但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元，否则亏损 1000)； 如经营工艺品，风险小但获利少(95％会赚， 但利润为1000元，否则亏损500元)．究竟该如何决策？
E(X 2)
x2
x2
e 2 dx
2
x
x2
de 2
2
1
x2
e 2 dx
1
2
E(X 3)
x3 x2 e 2 dx
0
2
E(X 4)
x4 x2
e
2
2 dx
x3
x2
de 2 3
2
例8 已知(X ,Y )的概率密度
f
(
x,
y)
x
0
y
, 0 x 1, 0 y 1
xi f ( xi )xi
f ( xi )xi
i
这正是
x f (x)dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义2 设X是连续型随机变量，其概率密度为 f (x),
如果积分
xf (x)dx
绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即
E( X ) x f (x)dx
注意: 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛 的广义积分.
xfX ( x)dx yfY ( y)dy E( X ) E(Y )
4. 若 X 与 Y 独立，则 E(X Y )=E(X )E(Y ).
证明: 设 X .Y ~ f x, y
E( XY ) xyf ( x, y)dxdy
2
（0，1）分布的数学期望 设X~(0,1) 求E(X)
常用级数求和公式技巧
1. e x =1+x x2 x3 2! 3!
xk
= k0 k !
2. nan xn1 ( an xn )
n=1
n=1
泊松分布的数学期望
已知X服从泊松分布, 求数学期望 X ~ ( )
例题2 某射手对同一目标进行射击,直到命中为止. 设每次射击的命中率为p,求该射手射击次数的数学期望
例题7
x y 01 2 0 0.1 0.25 0.15 1 0.15 0.2 0.15
例题6
x
y
0
0 0.1
1 0.15
1 0.25 0.2
2 0.15 0.15
=0.25
例5 设X 服从 N (0，1) 分布，求E (X2), E (X3), E (X4)
解：
1
x2
f (x)
e2
2
x
指数分布的数学期望 已知某电子元件的寿命X服从参数为
0.002 的指数分布(单位：小时）。
求这类电子元件的平均寿命E(X)。
e x , x 0
解 f (x) 0 ,x0
0
EX
xf ( x)dx
x e xdx
1
0
0.002
EX 500 小时。
思考题
概率密度可以类比质量棒的线密度，期望值是数轴 上的一个点，它同物理质量棒的重心有没有可比性？
Z g(x, y)
(1). 若 ( X ,Y ) 的分布律为 P{X xi ,Y y j } Pij ，
且 g(xi , y j )Pij 绝对收敛；则 EZ= g(xi , y j )Pij 。
i, j1
i, j1
(2). 若 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y) ，
且 g(x, y) f (x, y)dxdy 绝对收敛，