知识讲解不等关系与不等式

不等关系与不等式
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系；
2．会用差值法比较两实数的大小；
3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立.
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：0,00a b ab >>⇒>；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：0,00a b ab ><⇒<
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数a 、b
①0b a b a ->⇔>；
②0b a b a -<⇔<；
③0b a b a -=⇔=.
对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立.
要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.
要点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
(1) 对称性：a>b b<a ⇔
(2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒
(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c∈R)
(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩
⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000
运算性质有：
(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+
(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅
(3) 可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈⇒>>
(4)
可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>⇒>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
要点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小.
①0b a b a ->⇔>；
②0b a b a -<⇔<；
③0b a b a -=⇔=.
作商法：
任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较a b
与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①
1b a a b
>⇔>； ②1b a a b
<⇔<； ③1b a a b =⇔=. 中间量法：
若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
利用函数的单调性比较大小
若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.
作差比较法的步骤：
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；
最后下结论.
要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.
【典型例题】
类型一：用不等式表示不等关系
例1.某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m ，
可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.
【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。

【解析】假设装修大、小客房分别为x 间，y 间，根据题意，应由下列不等关系：
（1）
总费用不超过8000元 （2）
总面积不超过2180m ； （3）
大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.
即有： **1800(0(100060080001815))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩ 即**600(0(534065)
)x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩
此即为所求满足题意的不等式组
【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.
举一反三：
【变式】某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
【答案】假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负.
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
类型二：不等式性质的应用
例2．已知22π
π
αβ-≤<≤，求2αβ
+，2
αβ
-的取值范围． 【解析】 因为22ππαβ-
≤<≤，所以424παπ-≤<，424πβπ-<≤. 两式相加，得222παβπ+-
<<. 因为424π
βπ-<≤，所以4
24πβπ-≤-<， 则222
παβπ--≤<. 又α＜β，所以02αβ-<，
则022π
αβ
--≤<.
【总结升华】求含字母的数（式）的取值范围，一是要注意题设中的条件，充分利用条件，二是在变换过程中要注意利用不等式的基本性质以及其他与题目相关的性质等.
举一反三：
【变式1】【变式】已知23,14a b <<<<，求（1）?,a b -(2)
a b 的取值范围. 【答案】（1）22a b -<-<；（2）132a b
<< 【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型三 不等式性质的应用】
【变式2】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．
【答案】f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .
设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .
∴42m n m n +=⎧⎨-=-⎩∴13m n =⎧⎨=⎩
∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．
∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，
∴5≤f (－2)≤10.
例3．对于实数a,b,c 判断以下命题的真假
（１）若a>b, 则ac<bc;
（２）若ac 2>bc 2，则a>b;
（３）若a<b<0, 则a 2>ab>b 2;
（４）若a<b<0, 则|a|>|b|;
（５）若a>b, a 1>b
1, 则a>0, b<0． 【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。

【解析】
（１）因为c 的符号不定，所以无法判定ac 和bc 的大小，故原命题为假命题.
（２）因为ac 2>bc 2, 所以c ≠0, 从而c 2>0，故原命题为真命题.
（３）因为⎩⎨⎧<<0
a b a ，所以a 2>ab ① 又⎩⎨⎧<<0
b b a ，所以ab>b 2 ②
综合①②得a 2>ab>b 2 ，故原命题为真命题．
（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题． （５）因为⎪⎩⎪⎨⎧>>b a b a 11 ，所以0110a b a b
->⎧⎪⎨->⎪⎩
所以⎪⎩⎪⎨⎧>-<-00ab
a b a b ，从而ab<0 又因a>b ，所以a>0, b<0，故原命题为真命题．
【总结升华】题目中要注意不等式变形的等价性，性质的应用要合理.
举一反三：
【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型二 不等式的性质】
【变式1】若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)
0a b d c +<；(3)a －c ＞b －d ； (4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立
的个数是( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C ；
【变式2】若a<b<0，则下列结论正确的是（ ）. A.1111a b |a ||b |
>>和均不成立 B.
1111a-b a |a ||b |>>和均不成立 C.221111a )(b )a b a b a
>+>+-和(均不成立 D.
221111(a )(b+)|a ||b |b a >+>和均不成立 【答案】B ；
【解析】特殊值法：a b 0,<<∴取a=-2,b=-1 ,分别代入四个选项，即得选项B.
例4．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
【解析】设甲地与乙地的距离为S ，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)， 则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间222S S uS t u v u v u v
=+=+-- 平均速度22
2S u v u t u
-==，
∵222
0u v v u u u u u
--=-=-< ， ∴ u u <
因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度.
【总结升华】 恰当的设出变量，利用了做差比较大小是本例的关键.
举一反三：
【变式】甲乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a 行走一半路程，用速度b 行走另一半路程，若a
b ≠，试判断哪辆车先到达B 地. 【答案】甲车先到达B 地；
【解析】设从A 到B 的路程为S ，甲车用的时间为1t ，乙车用的时间为2t ， 则1112211,,(),22222t t S S S S a b S t t a b a b a b
+=∴==+=++ 所以，甲车先到达B 地.
类型三：作差比较大小
【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型一 比较大小】
例5. 已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．
【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。

根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。

比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。

【解析】∵222()a b c ab bc ca ++-++ =2221[()()()]02
a b b c c a -+--≥，
当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．
∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 【总结升华】用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；
第三步：得出结论。

【总结升华】
用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论.
举一反三：
【变式1】在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)2 6+
（2）2 21)；
（3
； （4）当0a b >>时，12log a 12log b .
【答案】(1)＜； （2）＜ ； （3）＜； （4）＜
【变式2】比较下列两代数式的大小：
（1）(5)(9)x x ++与2(7)x +；（2）22
222a b ab +-与223a b +-.
【答案】
（1）2(5)(9)(7)x x x ++<+
（2）22(222)(223)a b ab a b +--+- 222(1)(1)()110a b a b =-+-+-+≥>，
∴22222223a b ab a b +->+-.
例6.已知a b >(0ab ≠), 试比较
1a 和1b 的大小. 【解析】11b a a b ab
--=， ∵a b >即0b a -<，
∴当0ab >时0b a ab -<，11a b
<； 当0ab <时0b a ab ->，11a b
>. 【总结升华】变形一步最为关键，直至变形到能判断符号为止；另需注意字母的符号，必要时需要分类讨论
举一反三：
【变式】已知a 0,b>0a b >≠且，比较22
a b a b b a
++与的大小 【答案】22
()a b a b b a
+-+（）
类型四：作商比较大小
例7．已知：a 、b R +∈, 且a b ≠,比较a b b a
a b a b 与的大小.
【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法.
【解析】 ∵a 、b R +∈ ，∴0a b a b >，0b a a b > 作商：()()()()()a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b
--=== （*） (1)若a>b>0, 则
1>b a ，a-b>0, 1)(>-b a b
a , 此时a
b b a a b a b >成立； (2)若b>a>0, 则10<<b a , a-b<0，1)(>-b a b a , 此时a b b a a b a b >成立. 综上，a b b a a b a b >总成立.
【总结升华】
1、作商比较法的基本步骤是:
判定式子的符号并作商→变形→ 判定商式大于1或等于1或小于1 →结论.
2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.
举一反三：
【变式】已知a b c 、、为互不相等的正数，求证：2a 2b 2c b c c a a b a b c a b c .+++>
【答案】a b c 、、为不等正数，不失一般性，设a b c 0,>>>
这时2a 2b 2c a b c 0>，b c c a a b a b c 0+++>，则有： 由指数函数的性质可知：a b b c c a a b c ()1,()1,()1b c a
--->>> 2a 2b 2c
b c c a a b a b c 1a b c +++∴>，即2a 2b 2c b c c a a b a b c a b c +++>.。