Z—循环分块矩阵的一些性质

,
1 一 九 (右 )
’
,
…
,
几 (氛
一
l
) 一 ’) T
一 ’,
即
A一
’
( 的l
,
) j
位置 块矩 阵为
’
:
1
n王 之
一 乏教
几 ( 氛)
一
,
印 + lj
’
一
二
I
’
I , 。
浏
r
,
,
、
_
`
,
n乙 Z
全
。
J
,
味
)
’
、二 一
一
`
“
,
”
’
1
二
不
’
乏 几 ( 轰) 一 ’
令
,
3 ) (
i
, ,
) 式知 因 为 由( 3
ù 10 2
0 o 0 ù 几
0 o u ù 1 ,
的分块 矩 阵叫做基 本
`
Z
.
—
循环分 块矩 阵
收 稿 日期
19 98一
0
7一 2 5
第
期
,,
李 珍珠 2
。
,
Z 一 循 环分 块 矩 阵 的 一 些性 质
定义
,
设
A B )
.
任
从
( 尸 ) B 任 尸 (C ) B 与
”
,
A
的积 是
,
B
遍乘
, ,
第
8
卷 第
期
月
年
0
零陵 师范高 等专科学 校 学报 a l l f L i 啥 11眼 T h J o ll g C
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’
V o l 19 N o
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3
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O
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t
.
1998
Z一 循 环 分 块 矩 阵 的 一 些 性 质
李珍 珠
( 零陵 师 专 数 学 系
,
’
永州
4
2500 6 )
a
升
,
少
嗽
_
1
L Z去
恕二 { 几
1
。
$ ,n
一
1
, 1
所以
T一
’
AT 一
AO O D +
,
A ID
十 A Z介 + … +
.
, ,
A,
一 1
少
一
’
)
一 i d
g
j 认(氛 ) 几 ( 宁 ) … 九 (氛 (
一 :
)
( 2)
因
A 可逆
,
2 ) 式得 由(
A一
1
:
=
’ T 己i a g ( 几 (氛 ) 一
1 ,
,
,
则
八一 ’ 是
A 一 一
O AO D +
( 肠t
,
, ,
D
,
+
人口
,
十 … +
A二 一
沙
,
一
而 D 的特 征 多 项 式
肠 (e d t
2 …
, ,
( 凡D 一 D )
。
护五 一 2 1 , ) 一 (妙 一 Z )
, `
当Z 并
一 }l z
)
。时
,
在 复数域 内 D 的互不 重
“
( 复 的特 征根 为 宁 k
二
、
、
.
一 {A 任 几几 ( 尸 ) } 月
, ,
为
Z
量空间 证明 性质
Z一
’ :
—
A
循环 分块矩 阵 } 则
—
循环分 块矩 阵
,
v
:
构成 复数域 上 的 向
3
设 因为
。
A 任 八 式 (尸 )
.
”
。
为可逆 矩 阵且 A I
, ,
是
Z
— 证明
t
循环 分块矩 阵
:
—
” ,
) 循环 分块 矩阵 ( Z 并 0
) ~
凡 ’ D t
)
, ,
一
几 ( D ) 注意到 少
”
一 Z
口
k
为非 负整数 因而
AB
AB ~
几
Z
(D )
.
f (D
,
其 中 f ( x ) 是 一 个次数 不超过
AB
m 一 1
的矩 阵多 项式 从 而
是 一个
循 环分块 矩 阵 且 同理 性质
.
任
从
(尸 )
。
.
—
Z 2
— 令V
(略 )
.
循 环分块 矩 阵的和 差 常数 倍均 为 Z
一 1)
.
A一
t 的(
,
) 位置块 矩 阵与 ( i + j
A
的各 个子块 记 为
,
,
B. A
( 类 似地 定 义
ห้องสมุดไป่ตู้易知 若
:
BA Z
的子块
BA
、 ,
=
月
;
,
B
,
(i =
月
l
,
2 …
, ,
,
P j =
,
z 2 … 穿) Z
,
则
B八 =
.
八刀
任 意 一个 的 多项式
—
循环分 块矩 阵 A 任 从 ( 尸 ) 都 可 以 表示 为基本
—
循环 分块矩 阵 D
A 一
O A
几
叭 户 g l
主 门 了 -
,
登I
,
子一 , I
,n
n
印
一
’
I
、
户 叮
I
。
架二 } 几
零陵师 范 高等 专科 学 校 学报
199
年
使得
T
一
I
DT 一 d l
“
g
(氛 I ,
,
,
右I
!
。
,
… 氛一 1 .)
,
1
,
ù . 易 容
了 1 丈 汀 曰 .1 ,
{ 1,
T一
’
2
印
钾
一
’
, I
Iù 印
一
引
T 一’ (
【 摘要 】 定 义 了 Z 一循环分块 矩 阵 讨论了 它的 一 些 性质
,
。
关键词
Z一循环 分块 矩
阵
对角 线分块矩 阵
逆矩 阵
相似
1
引言与引理
令
尸 (c )
,
表 示所 有的
,
n
阶 复方 阵集合
,
;
.
蛛
一
,
。
( 尸 ) 表 示分 为 p x
”
.
,
q
块 且每 一子块 都属 于
A 任 八 九(尸 ) A
,
,
尸 (C )
,
的分块 矩 阵集合 特 别地 当
X 任
.
P ~
尼
,
q
。
r
时 简记 为 材卜(尸 ) 若对
AX ~ X 八
,
,
存在
八任
( 及 列 ) 满 秩矩 阵 凡( C )
从
:
(尸 )
使
则称 八 为
的块特 征值 X 为
,
相应 的块特 征 向量 定义
1
若
A 任 人 几(尸 )
,
,
且形 如
A A
l
A
,
o
A A
2
Z
… … …
A,
一
l
ZA 一 Z A,
一 2
o
-
A 二一 A,
2
Z A m一
A
o
一 3
ZA
I
ZA
Z
ZA
3
…
.
A
o
的分 块矩 阵 (其 中 Z 是 复数 ) 口lL 做
.
Z
分 块矩 阵 若
: D 任 叼力 (尸 ) n
,
—
循环分 块矩 阵 当 Z
~
1
时 这个 分块矩 阵就是循 环
,
且形 如
) r l
,
一 。 1 2 …
一 1 )
:
令
, ,
z 一
:
尹(
,
:
则 氛一 从
.
粤
,
(k 一 。 1
D
,
,
一 1 ) 从 而 不难得 到块特 征值 氛I
“
宁I
,
、
,
熟五 … 氛 一 I
,
,
”
因此在 复数域 内
块相 似
于矩 阵 i d
g
( 氛I
,
,
子I
!
。
,
… 宁
I
。
,
, 一
1
1 )
,
,
即存在 一 个块 范德 蒙可逆 矩 阵
,
. ,
A
的元 素 (块 ) 完 全 由
,
n
… A
,
。一 l
与 复数
, , ,
Z
确
`
引理 设
任
为可逆 矩阵 且
P
.
,
( C ) 中的矩 阵乘积 可换 B 一 ( 民 及 …
,
风)
从
1
(尸 ) 则矩 阵方程 A X 一 B 有 唯一解
:
证明
见文 [ 3 〕
.
2
2
—
1
:
循环分块矩阵的 性质
若
A B 任
、
性质
鱿
而
(尸 ) 且 A B 均 为 Z
。
.
,
,
,
环 分块矩 阵且 证明
“
AB 任 八 了 从(尸 )
A 一
一
,
—
循环 分块矩 阵 那 么
l
,
AB
也是
+
Z
—
循
设
AO O D +
一
’
A D +
,
!
“ 人D + … + + 乏
A二一
少
,
一’
一
几 (D
,
) B ~ B 0
,
,
侧
尽D +
几D 十 … + 几 (D
“
D
“
+
I
A D 十 A Z介 十
」
一十 A
I
, 一 ,
少
’
.
一
’
一
,
八(D)
A
。 ,
,
(l )
A
其 中 几 (二 ) 是 一个
.
一 A X
o
+
A X 十
,
Z 人X 十 … 十
A m一 X
m一
反之 若 阶方 阵
A
可以 表示 成 形 ( 1 ) 则
A
!
,
Z
定
月
.
—
:
。
循环分块 矩 阵 且
A 任 几 式 (尸 )