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第二十七章、相似 27.1 图形的相似
一、选择题
1、如图，下面四组图形中，两个图形不相似的有（ B ）
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组 2、下列说法正确的是（ C ） A ．形状相同的两个图形大小也相同
B ．一个图形经过翻折后的图形与原图形形状不同
C ．两个形状相同的图形，把一个图形经过适当的放大或缩小可以与另一个图形重合
D ．两个图形形状虽然不同，但把一个图形经过适当的放大或缩小与另一个图形重合 3、已知
8
75c
b a ==，且3a －2b ＋c=3，则2a ＋4b －3c=（ D ） A ．14 B ．42 C ．7 D ．
3
14 4、下列说法正确的有（ B ）
①同一底片洗出来的两张照片是相似形； ②边长相同的两个五边形是相似形； ③望远镜看到的物体与实物是相似形； ④两个大小不同的矩形是相似形．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5、在比例尺为1︰20000的地图上，A 、B 两点间的距离为5厘米，则A 、B 两地的实际距离为（ A ） A ．1千米 B ．4千米 C ．400米 D ．500米
6、两个相似的五边形中，一个五边形各边长分别为1，2，3，4，5；另一个五边形最大边长为8，则第二个五边形的周长是（ B ）
A ．27
B ．24
C ．21
D ．8 7、下列图形中，是相似形的是（ D ）
A ．所有平行四边形
B ．所有矩形
C ．所有菱形
D ．所有正方形 8、已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应高分别为h a 、h b 、h c ，且a ︰b ︰c=3︰4︰5，那么h a ︰h b ︰h c 等于（ C ）
A ．3︰4︰5
B ．5︰4︰3
C ．20︰15︰12
D ．12︰15︰20 二、填空题
9、若
)0(2
3
≠+==c a c d a b ，则
c a
d b ++= 23 . 10、（1）已知x ∶y ∶z=2∶3∶5，则x
z
y x ++= 5 .
（2）k b
c
a a c
b
c b a =+=+=+，求k 的值． 2或-1 三、解答题
11、在一矩形ABCD 的花坛四周修建小路，使得相对两条小路的宽均相等，如果花坛AB=20米，AD=30米．试问小路的宽x 与y 的比值是多少时，能使得小路四周所围成的矩形A′B′C′D′能与矩形ABCD 相似，请说明理由．
意有
姓名: 教案
2022030230''''y
x AB B A AD D A +=
+∴=， )220(3)230(2y x +=+∴
2364=∴=y x y x ，
即是当2
3
=y x 时，小路四周围成的矩形A′B′C′D′与花坛ABCD 相似．
27.2.1 相似三角形的判定
一、选择题
1、如图所示，△ABC 中，BD 、CE 是高，则图中相似三角形共有（ D ）
A ．2对
B ．4对
C ．5对
D ．6对 2、P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线有（ C ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
3、如图所示，□ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中有相似三角形（ D ）
A ．3对
B ．4对
C ．5对
D ．6对 4、已知△ABC 与△A′B′C′相似，102==AC AB ，，BC=2，A′B′=1，5''=C A ，则B′C′等
于（ B ） A ．
2
2
B ．2
C ．2
D ．22 5、如图，已知等腰三角形ABC 中，顶角A=36°，BD 是∠ABC 的平分线，则AC
AD
的值等于（ B ）
A．
2
1
B．
2
1
5-
C．1D．
2
1
5+
6、如图：在△ABC中，，
3
8
=
EC
BC
DE∥AC，则DE∶AC（ D ）
A．8︰3B．3︰8 C．8︰5D．5︰8
7、如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中；
①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；
③AC2=AP·AB；④AB·CP= AP·CB．
其中，能满足△APC和△ACB相似的条件是（ D ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③
8、在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12.在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为（ D ）
A．16B．14 C．16或14D．16或9
二、解答题
9、如图，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动，当
DM=___
5
5
2
5
5
或_____时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
10、如图，BE、CF分别是△ABC的中线，且交点是G，求证：GB∶GE=GC∶GF=2∶1．
证明：连接EF．
∵E、F分别是AC、AB的中点，∴EF∥BC，BC=2EF．
∴△BGC∽△EGF，∴BG:GE=CG:GF=BC:EF=2:1．
11、已知，如图E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且
AD
AC
AE
AB
=，∠1=∠2，试说明∠ABC=∠AED.
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1＋∠EAC=∠2＋∠EAC，即∠BAC=∠EAD.
又∵
AD
AC
AE
AB
=，∴△ABC∽△AED ，
∴∠ABC=∠AED.
12、如图，在△ABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发沿AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动.同时点Q 从点C 出发沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动的时间为x. （1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？ （2）当
31
=ABC BCQ S S △△时，求
ABC
BPQ S S △△的值.
解：（1）依题意AP=4x,CQ=3x.∴AQ=30－3x. 若PQ ∥BC ，则AC AQ AB AP =即30
330204x
x -=
. ∴)(310
秒=x
即当3
10
=x 秒时，PQ ∥BC.（这种方法在数学上叫“执果索因”法）.
（2）∵31=ABC BCQ S S △△，由面积公式31
312
12
1
=→=CA CQ CAh CQh . ∴，31303=x 3
10=x .
由（1）可知，此时PQ ∥BC ，又BP=AB －AP=20－4x=20－4×310=3
20
.
∴31'2
1'21
====CA CQ AB PB ABh PBh S S BPQ
BPQ △△.
而ABC ABC ABC BCQ ABC ABQ S S S S S S △△△△△△3
2
31=-=-=.
∴ABQ ABC S S △△2
3
=，∴
9231322
3=⋅==ABQ BPQ ABC BPQ S S S S △△△△.
27.2.2 相似三角形应用举例
一、选择题
1、小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5m ，幻灯片上小树的高度是10cm ，则屏幕上小树的高度是（ C ）
A ．50cm
B ．500cm
C ．60cm
D ．600cm 2、如图，Rt △ABC 中，有三个内接正方形，DF=9cm ，GK=6cm ，求第三个正方形的边长PQ （ B ）
A ．3㎝
B ．4㎝
C ．5㎝
D ．6㎝
3、如图是小颖从报纸上剪下的某种产品的标志图案，最长边为2.4cm ，最短边为1cm ，有一天，小颖看到路边的灯箱广告上也有这个图案．她测量得到最短边为0.5m ，于是便知道了灯箱广告上的最长边为（ C ）
A ．4.8cm
B ．48cm
C ．120cm
D ．110cm
4、针孔成像问题：根据图(AB//A′B′)，可以知道物像A′B′的长与物AB 的长之间的关系是（ A ）
A ．AB=4A′B′
B ．AB=2A′B′
C ．AB=3A′B′
D ．AB=
2
5
A′B′ 5、一个钢筋三角架的三边长分别是20cm ，60cm ，50cm ，现要作一个与其相似的钢筋三角架，因只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，问有几种截法，并指出余料最少的截法截出的三边长各为（ A ） A ．12cm ，30 cm ，36cm B ．8cm ，20 cm ，30cm C ．20cm ，30 cm ，36cm D ．10cm ，20 cm ，30cm
6、科学家研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm ，下肢长92cm ，该女士穿的高跟鞋鞋根的最佳高度约为（ A ）cm(精确到0.1cm)．
A ．6.7cm
B ．4.8m
C ．5.4cm
D ．6.2cm
7、在同一时刻，身高1.6m 的小强的影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ，则旗杆的高为（ C ） A ．16m B ．18m C ．20m D ．22m
8、为测一河岸两岸相对两电线杆A 、B 间的距离，如图所示，有四位同学分别测量出了以下四组数据：①AC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，AD ；④DE ，DF ，AD ．能根据所测数据，求出A ，B 间距离的共有（ D ）
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组 二、填空题
9、如图，要测量A 、B 两点间的距离，在O 点设桩，取OA 中点C 、OB 中点D ，测得CD=31.4米，则AB= 62.8 米．
10、某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30厘米，CB=40厘米，依次裁下宽为1厘米的矩形纸条a1，a2,a3……若使裁得的矩形纸条的长都大于5厘米，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是26 .
11、雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影.如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度为1.5米，那么旗杆的高度是30 米.
三、解答题
12、如图，路灯A、B间的距离为20米，某同学身高1.6米，他站在AB中点C处的影长为2米，求灯杆的高度．
解：设灯杆的高度为x，
x
6.1
10
2
2
=
+
，c=9.6米，灯杆高9.6米.
13、小冰在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到P点时发现他身后的影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部，当他再向前步行12米到达Q点时，发现他身前的影子的顶部刚好接触到路灯B的底部，已知小冰的身高1.65米，两个路灯的高度是9.9米，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小冰走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
解：（1）∵CA⊥AB，FQ⊥AB
∴∠FQB＝∠CAB＝90°
∵∠CBA＝∠CBA
∴△BFQ∽△BCA
AB
BQ
CA
FQ
=
∴
设AP＝BQ＝x
12
2
9.9
65
.1
+
=
∴
x
x
解得：x＝3
米
18
2
12=
+
∴x
（2）如图：
同理可证△EBD∽△EAC
AC
BD
AE
EB
=
∴
9.9
65
.1
18
=
+EB
EB
解得：EB＝3.6米
14、已知如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB=5cm ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC=3cm.
（1）请你在下图中画出此时DE 在阳光下的投影．
（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算出DE 的长．
（3）若同一时刻DE 的影子有2m 落在墙上，而DE 与墙之间的距离为4m ，你能求出DE 的长吗？ 解：（1）连结AC ，过D 作DF//AC 交地面于F ，则EF 即为立柱DE 的影子（图略）．
（2）
)(106
35m DE DE
EF DE BC AB =⇒=⇒= （3）)(3
2
8m DE =
15、如图学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上C 处直立3米高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE=3米，乙的眼睛到地面的距离FE=1.5米，丙在C 1处也直立3米高的竹竿C 1D 1，乙从E 处退后6米到E 1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，量得C 1E 1=4米，求旗杆AB 的高.
解：设直线F 1F 与AB 、CD 、C 1D 1分别交于点G 、M 、N ， BG=x ，GM=y.
∵MD//BG ，∴△FMD ∽△FGB ，
FG MF
BG MD =
∴
①y
x +=-∴33
5.13 同理，GF
N
F B
G N D BG ND 111,//=
∴ ②3
64
5.1++=∴
y x 由①、②解得159==y x ， 米的高为旗杆5.10AB ∴
27.3 相似三角形的周长与面积、位似
一、选择题
1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB=1∶2，则S △ADE ∶S △ABC 等于（ D ）
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．1∶8
D ．1∶9
2、两个相似三角形的对应边上的中线之比是2︰3，周长之和是20，那么这两个三角形的周长分别是（ A ）
A．8和12B．9和11 C．7和13D．6和14
3、平行四边形ABCD中，P在BC延长线上，AP交BC于P，交CD于Q，若DQ︰CQ=4︰3，则AP︰PQ为（ D ）
A．4︰3B．3︰4 C．3︰7D．7︰3
4、两个相似三角形对应中线之比为1:3，其中一个三角形面积是9，则另一个三角形面积是（ B ）
A．3
9
3
3或B．3或27 C．27D．3
5、如图，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC的面积的一半，若2
=
AB，则此三角形移动的距离AA′是（ A ）
A．1
2-B．
2
2
C．1D．
2
1
6、下列说法中正确的个数是（ C ）
①位似图形一定是相似图形；
②相似图形一定是位似图形；
③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；
④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，
则其中△ABC与△A′B′C′也是位似的，且位似比相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7、要作一个多边形与已知多边形相似，且使面积扩大为原来16倍，那么边长应为原来（ B ）A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍
8、七边形ABCDEFG，位似于七边形A1B1C1D1E1F1G1，它们的面积比为4︰9，已知位似中心D到A点的距离为6，那么O到A1的距离为（ D ）
A．13.5B．12 C．18D．9
二、解答题
9、△ABC∽△A′B′C′，且
3
2
'
'
=
B
A
AB
，AB边上的中线CD=9cm，求A′B′边上的中线C′D′的长．解：cm
D
C
2
'
'=
10、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD
于F，判断比例式
BC
CD
AE
AF
=是否成立并说明理由．
解：
BC
CD
AE
AF
=成立．理由如下：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠ACD＋∠CAD=∠B＋∠CAD=90°
∴∠ACD=∠B，又∠CAD=∠BAC
∴△CAD∽△BAC
∴
AE
AF
BC
CD
=
11、有一三角形布料，要将其裁剪成正方形布块以作它用，已知AC=2dm ，dm AB 32=，且BC 边上的高为dm 3，如何裁剪，使得裁剪后的正方形面积最大？ 解：由条件可知△ABC 是直角三角形且∠BAC=90° (1)如图，设裁剪的正方形为AEFG ，则：
设其边长为x ，
∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC
，AC EF BA BE =∴
23
232x
x =-即，解得33-=x
(2)如图，设裁剪的正方形为MNPQ ，则：
设其边长为y ，∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ACB ．
，
BC MN
AB AN =∴
即BC y AN =3
2． 由332==AD AB ，，AD ⊥BC ，可得∠B=30°，
又AC=2，∠BAC=90°，∴BC=4
∴BN=2PN=2y ，∴43
2232y y =-，解得1312316-=
y ∵13
12
31633->-，∴x ＞y ，∴x 2＞y 2．
∴选择裁剪方法(1)时，正方形面积最大．
12、如图所示，已知△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．
(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长． 解：
2221
)(//2=⇒==⇒
⎭
⎬⎫=⇒CP CA CP S S S S CAB CPQ AB PQ CAB CPQ PABQ PQC △△四边形△∽△△ ． (2)∵△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等． ∴CP ＋CQ ＋PQ=AP ＋AB ＋BQ ＋PQ ， 而AP=CA －CP ，BQ=CB －CQ ．
∴CP ∶CA=CQ ∶CB ．
即CP ∶CQ=4∶3，7
24=
∴CP ．
13、如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于H ，BH=3AH ，四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积． 解：延长CD ，BA 交于点E ．
⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
∠=∠==∠=∠⇒⊥︒ECH BCH CH CH EHC BHC AB CH 90
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
=⇒
⇒=⇒
⎭⎬⎫==⇒
≅2)(//3
1
3EB EA S S EBC EAD BC AD EB EA AH BH EH BH ECH BCH EBC
EAD △△∽△△△△ 279
1
221=⇒=-HBC HBC HBC S S S △△△
⇒⎪⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎪⎬⎫
==-==⇒
EBC HEC HBC AHCD HEC EAD EBC EAD S S S S S S S S △△△四边形△△△△21
9
1
14、一块直角三角形木板的一条直角边AB 的长为1.5m ，面积为1.5m 2，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，某同学按图所示的两种方案进行加工，请你用学过的知识进行判断，哪种方案符合要求？ 解：由AB=1.5m ，S △ABC =1.5m 2，可得BC=2m ， (1)设加工的正方形桌面的边长为xm ，则： ∵DE ∥AB ，∴Rt △CED ∽Rt △CAB ， ，AB DE CB CD =∴
即5
.122x
x =
- 解得76=x ． (2)设加工的正方形桌面的边长为ym ，过B 作BN ⊥AC 交DE
于M ，交AC 于N ． m AB 23= ，BC=2m ，∠ABC=90°，m AC 2
55.1222=+=∴ 又AC·BN=AB·BC ，即，23225⨯=BN m BN 5
6
=∴
∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，BN
BM
AC DE =
∴，
即565
625y
y -=，解得3730=y ．
37
3076> ，∴x ＞y ，∴x 2＞y 2． ∴按第(1)种方案加工符合要求．。