湖北省华中师范大学第一附属中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题

【全国百强校】湖北省华中师范大学第一附属中学2020-2021
学年高二上学期期末考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用秦九韶算法求多项式356()1235953f x x x x x =++++当1x =-时的值，有如下说法：①要用到6次乘法；②要用到6次加法和15次乘法；③012v =；④311v =.其中说法正确的是（ ） A ．①③
B ．①④
C ．②④
D ．①③④
2．把[0，1]内的均匀随机数x 分别转化为[0，2]和[]
2,1-内的均匀随机数y 1，y 2，需实施的变换分别为( ) A ．12y x =-，232y x =-+ B ．14y x =-，264y x =-+ C ．12y x =，232y x =-
D ．14y x =，262y x =-
3．抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ） A ．
18
B ．18
-
C ．8
D ．-8
4．执行如图所示的程序框图，若输出n 的值为9，则判断框中可填入( )
A ．55?S ≥
B ．36?S ≥
C ．45?S >
D ．45?S ≥
5．将二进制数110 101(2)转化为十进制数为( ) A ．106 B ．53 C ．55
D ．108
6．若,x y 满足约束条件102240
x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，1
y z x -=，则z 的取值范围为( )
A ．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．[)3,2,2
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
C ．1,210⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．3
1,210⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦
7．在边长为a 的正三角形内任取一点P ，则点P 到三个顶点的距离均大于2
a
的概率是（） A
．16
-
B
．
11126
- C ．
13
D ．
14
8．从装有6个红球和5个白球的口袋中任取4个球，那么下列是互斥而不对立的事件是（ ）
A ．至少一个红球与都是红球
B ．至少一个红球与至少一个白球
C ．至少一个红球与都是白球
D ．恰有一个红球与恰有两个红球
9．某校为了解高三学生英语听力情况，抽查了甲、乙两班各十名学生的一次英语听力成绩，并将所得数据用茎叶图表示(如图所示)，则以下判断正确的是
A ．甲组数据的众数为28
B ．甲组数据的中位数是22
C ．乙组数据的最大值为30
D ．乙组数据的极差为16
10．与圆()2
222x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．6条
11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是其上一点，
双曲线的离心率是2，若△F 1PF 2是直角三角形且面积为3，则双曲线的实轴长为（ ）
A ．2
B C ．2
D ．1 12．已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，
12PF F ∆是以2F P 为底边的等腰三角形，且1260120PF F <∠<，则该椭圆的离心率
的取值范围是（ ）
A ．1,1)2
B ．11
,)22
C ．1
(,1)2
D ．1(0,)2
二、填空题
13． 某样本中共有五个个体，其值分别为a ,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______．
14．某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．
15．从1,2,3,4,5共五个数字中,任取两个数字,取出数字之和为偶数的概率是_______
16．已知12,F F 为双曲线()222
2:10,0x y
C a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交,Q P 两点，且
2PQ PF a -=，双曲线C 的渐近线方程为__________．
三、解答题
17．某区的区人大代表有教师6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为1A ，2A ，乙校教师记为1B ，2B ，丙校教师记为C ，丁校教师记为D .现从这6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出．．．．．．1．名．
. （1）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；
（2）求教师1A被选中的概率；
（3）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.
18．为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的频率分布直方图，在这100人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表所示：
(1)由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；
(2)根据以上统计数据填写下面的2⨯2列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异？
参考数据：
19．一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了6组观测数据于下表中，通过散点
e+的图象的周围.
图可以看出样本点分布在一条指数型函数y=bx a
(1)试求出y 关于x 的上述指数型的回归曲线方程(结果保留两位小数)； (2)试用(1)中的回归曲线方程求相应于点(24，17)的残差e ∧
.(结果保留两位小数)
几点说明：
①结果中的,,a b e ∧∧∧
都应按题目要求保留两位小数.但在求a ∧时请将b ∧
的值多保留一位即用保留三位小数的结果代入.
②计算过程中可能会用到下面的公式：回归直线．．．．
方程的斜率b ∧
=1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x z
z x x ==---∑∑
=
1
2
21
i n
i i i n
i x z n x z
x n x
==-⋅⋅-⋅∑∑，截距a z b x ∧∧
=-.
③下面的参考数据可以直接引用：x =25，y =31.5，z ≈3.05，
61
i i
i x y =∑=5248，6
1
i i
i x z
=∑≈476.08，6
2
13820i i x ==∑，ln18.17≈2.90.
20．已知抛物线2
:2(0)E y px p =>，过点(1,1)M -作抛物线E 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 的斜率为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）与圆2
2
(1)1x y -+=相切的直线l ，与抛物线交于,P Q 两点，若在抛物线上存在点C ，使()(0)OC OP OQ λλ=+>，求λ的取值范围．
21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
，其左、右焦点为F 1、F 2，点
P 是坐标平面内一点，且123
.24
OP PF PF =⋅=其中O 为坐标原点． （I ） 求椭圆C 的方程； （II ） 如图，过点S （0，-
1
3
)，且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕ
ϕ
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数），在
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）当(0)ϕπ∈，
时，l 与C 相交于P ，Q 两点，求||PQ 的最小值.
参考答案
1．B 【分析】
根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，把()3
5
6
1135952f x x x x x =++++等到价
转化为()()()()()()250903511f x x x x x x x =++++++，就能求出结果．
【详解】 解：
()()()()()()3561135953350903511f x x x x x x x x x x x =++++=
++++++
∴需做加法与乘法的次数都是6次，
03v ∴=，
()1053152v v x a =+=⨯-+=， ()2142102v v x a =+=⨯-+=-， ()32321911v v x a =+=-⨯-+=，
3v ∴的值为11；
其中正确的是①④ 故选A ． 【点睛】
本题考查算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键,属于基础题． 2．C 【解析】 【分析】
先看区间长度之间的关系：故可设112y x b =+ 或223y x b =+，再用区间中点之间的对应关系得到，解出12,b b ，问题得以解决． 【详解】
解：将[0,1]内的随机数x 转化为[0,2]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍， 因此设1y =2x+1b (1b 是常数)， 再用两个区间中点的对应值，
得当1
2x =
时，1y =1， 所以11
122
b =⨯+，可得1b =0，
因此x 与1y 的关系为：1y =2x ；
将[0,1]内的随机数x 转化为[-2,1]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍， 因此设2y =3x+2b (2b 是常数)， 再用两个区间中点的对应值，
得当1
2
x =
时，2y =12-，
所以211
322
b -=⨯+，可得22b =-，
因此x 与2y 的关系为：2y =3x-2； 故选C. 【点睛】
本题考查均匀随机数的含义与应用，属于基础题．解决本题解题的关键是理解均匀随机数的定义，以及两个均匀随机数之间的线性关系． 3．B 【详解】
方程2
y ax =表示的是抛物线,
0a ∴≠，21
22y x y a a
∴=
=⋅⋅， ∴抛物线2y ax =的准线方程是1
222y a
=-
=⨯， 解得18
a =-，故选B. 4．D 【解析】 【分析】
执行程序框图，根据输出9n =，可计算S 的值，由此得出判断框中应填入的条件． 【详解】
解：执行程序框图，可得该程序运行后是计算12345678945S =++++++++=， 满足条件后，输出9n =，由此得出判断框中的横线上可以填入45S ？．
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了程序框图的应用问题，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题. 5．B 【解析】
由题意可得110101(2)=1×25
+1×24
+0×23
+1×22
+0×21
+1×20
=53.选B ． 6．A 【解析】
画出10
2240
x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
表示的可行域如图，由1022x x y -=⎧⎨-=⎩，得11,2A ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，由142x x y =⎧⎨+-=⎩，得()1,3B ，1
y z x
-=
表示可行域内的内的点(),x y 与()0,1P 连线的斜率，3,22PA PB k k =-=，由图可得1y z x -=的范围是3,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，故选A.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 7．A 【解析】
分析：先求出满足条件的正三角形ABC 的面积，再求出满足条件正三角形ABC 内的点到三角形的顶点A,B,C 的距离均大于
2
a
的图形的面积，然后根据几何概型公式求解即可得到答案． 详解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示，由题意得正三角形ABC 的面积为
2
S =
正三角形．
到正三角形ABC 的顶点A,B,C 的距离均大于
2
a
的平面区域，如图中阴影部分所示，且其面积和是一个半径为2a 的半圆的面积，则2
211
228
a S a ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭阴影．
故点P
所在区域的面积为22
18
S a a π=
-，
所以所求概率为22
116a
S P S π-=
==-正三角形
． 故选A ．
点睛：本题考查面积型的几何概型概率的求法，解题的关键是确定概率的类型以及求出所有基本事件构成的平面区域的面积和事件A 包含的基本事件构成的平面区域的面积． 8．D 【解析】
“至少一个红球”包含“都是红球”；至少一个红球与至少一个白球包含“一个红球三个白球”、“二个红球二个白球”、“三个红球一个白球”；至少一个红球与都是白球是对立的事件；恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立的事件，所以选D. 9．B 【解析】
试题分析：根据茎叶图中的数据，结合众数、中位数、最大数与极差的概念，进行判断即可． 解：根据茎叶图中的数据，得； 甲组数据的众数是17，∴A 错误； 甲组数据的中位数是
=22，∴B 正确；
乙组数据的最大数是24，∴C 错误； 乙组数据的极差是24﹣16=8，∴D 错误．
故选B ． 考点：茎叶图． 10．B
【解析】直线过原点时，设方程为y kx =,利用点到直线的距离等于半径可求得1k =±,即直线方程为y x =±;②直线不过原点时，设其方程为 1x y
a a
+=，同理可求得4a =,直线方程为4x y +=.所以共3条，故选B. 11．C 【解析】 【分析】
分情况讨论△F 1PF 2中直角位置的情况，并根据双曲线特性和勾股定理进行计算，可得出答案. 【详解】 （1）若122
F PF π
∠=
，
12123,F PF S F PF ∆=∆为直角三角形，
126PF PF ∴⋅=,
又
2221212122,||||,PF PF a PF PF F F -=+=
联立可得2216124a a -=，
1a ，双曲线实轴长为2；
（2）若122
F F P π
∠=
，
此时P 点坐标为(c,2
b a ),
12
2233,2
F PF b S c b a ∆=⋅=⇒=
2,c
a
= 2
23b a
∴=
212
a ∴=
2a a ∴=
=
. 故选C. 【点睛】
本题主要考查双曲线的定义、方程和基本性质．在涉及到与焦点有关的题目时，一般都用定义求解，考查运算能力．注意应分情况进行计算，属于中档题. 12．B 【解析】
试题分析：由题意可得 PF 1=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 2 =2a ﹣2c ．设∠PF 1F 2 =θ，则
1260120PF F <∠<，故﹣
12＜cosθ＜1
2
，再由余弦定理，求得e 的范围． 详解：
由题意可得 PF 1=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 2 =2a ﹣PF 1=2a ﹣2c ． 设∠PF 2F 1 =θ，则1260120PF F <∠<，∴﹣
12＜cosθ＜1
2
． △PF 1F 2中，由余弦定理可得 cosθ=222
c 22a ac
c
-+ ，由﹣12＜cosθ＜12 可得e 的范围
12⎫
⎪⎪⎝⎭
， 故答案为：B.
点睛：本题考查椭圆的几何性质及其应用，列出不等式并转化为关于离心率的不等式是解答的关键，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式
c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 13．2 【解析】 【分析】
先由数据的平均数公式求得a ，再根据方差的公式计算． 【详解】 解：
由题可知样本的平均值为1，
∴1
(0123)15
a ++++=，解得1a =-， ∴样本的方差为222221
[(11)(01)(11)(21)(31)]25
--+-+-+-+-=．
故答案为2. 【点睛】
本题考查一组数据的平均数公式、方差公式，属于基础题． 14．20 【解析】
青年职工、中年职工、老年职工三层之比为5:3:2，所以样本容量为10
20
12
=，
故答案为20.
点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力． 15．
2
5
【详解】
任取两个数字的可能为：2
5C 种，这个数为偶数的种数为：2232C C + ，
结合古典概型公式可得，所求概率为：22
32252
5
C C p C +== . 16
．y x = 【解析】
过1F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，设垂足为A ，易得1b F A =，1
cos Q b
FO c
∠=, 又2PQ PF a -=，所以112a PF QF PF --=，而122a PF PF -=，故1a QF =，
23a QF =，在1Q O F 中，利用余弦定理可得：222942a 2c b
a a c c =+-⨯⨯，即
222ab a c =-
，22ab 0a b +-=，得：b a =，故渐近线方程为：y x =
17．(1)见解析(2) 512
P = (3) 16P =
【解析】
分析：（1）某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A 1，A 2，乙校教师记为B 1，B 2，丙校教师记为C ，丁校教师记为D ．从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大政策宣讲团，利用列举法能求出组成人员的全部可能结果． （2）组成人员的全部可能结果中，利用列举法求出A 1被选中的结果有5种，由此能求出教师A 1被选中的概率．
（3）利用列举法求出宣讲团中没有乙校代表的结果有2种，由此能求出宣讲团中没有乙校教师代表的概率．
详解：（1）从6名教师代表中选出3名教师组成十九大政策宣讲团，组成人员的全部可能结果有：{}11,,A B C ，{}11,,A B D ，
{}12,,A B C ， {}12,,A B D ，{}1,,A C D ，{}21,,A B C ，{}21,,A B D ，{}22,,A B C ，{}22,,A B D ，{}2,,A C D ，{}1,,B C D ，{}2,,B C D 共有12种
不同可能结果.
（2）组成人员的全部可能结果中，1A 被选中的结果有{}11,,A B C ，{}11,,A B D ，
{}12,,A B C ， {}12,,A B D ，{}1,,A C D 共有5种，
所以所求概率5
12
P =
. （3）宣讲团没有乙校代表的结果有：{}1,,A C D ，{}2,,A C D 共2种结果，所以所求概率为21
126
P =
=. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 18．（1）42；（2）不能. 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可； （2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论． 【详解】
(1)估计这100人年龄的平均数为
200.2300.1400.2500.3600.242x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）； (2)由频率分布直方图可知，45岁以下共有50人，45岁以上共有50人. 列联表如下：
∴ K=
()2
1003510401575255050
⨯-⨯⨯⨯⨯ ≈1.333＜3.841
∴不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异. 【点睛】
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图应用问题，是中档题． 19．（1）0.27 3.58x e -；（2） 1.17- 【解析】
【分析】
(1)由已知条件结合计算公式求出b a ∧
∧
、的值，继而得到回归直线方程 (2)由(1)得回归直线方程，代入点(24,17)计算出残差 【详解】
(1)设z 关于x 的回归直线方程为z b x a ∧
∧
∧
=+
∴b ∧
=6
1622
1i i
i i
i x z n x z x nx
==-⋅⋅=-∑∑≈476.08625 3.0570-⨯⨯
保留三位小数：b ∧≈0.265，保留两位小数：b ∧
≈0.27 ∴a ∧
=z b x ∧
-≈3.05－0.265×25≈－3.58 ∴z=lny 关于x 的回归直线方程为ˆz =0.27x －3.58
∴y 关于x 的指数型的回归曲线方程为ˆy
=0.27 3.58x e - (2)相应于点(24,17)的残差ˆe
=y －ˆy =17－0.2724 3.58e ⨯-=17－ 2.90e ≈17－ln18.17e =17－18.17=－1.17 【点睛】
本题考查了回归直线方程的计算并求出残差，运用公式求解，较为基础 20．（1）2
4y x =；（2）3|14λλλ⎧
⎫>≠⎨⎬⎩⎭
且． 【解析】
试题分析：（1）设切点1122(,),(,)A x y B x y ，可分别写出过两点的切线方程，再利用它们都过点(1,1)M -，从而求p ，即可求出抛物线的标准方程；
（2）由题意设直线y kx m =+，
1=，可化为22
1(1)2m km m -=
≠，由直线方程与抛物线联立可得2
880m ∆=+>，从而求b 的取值范围，进而由韦达定理可
得2
34
m λ+=，从而求λ的取值范围．
试题解析：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，
则点A 处抛物线的切线为11()y y p x x =+，过点(1,1)M -，因而11(1)y p x =-； 同理，点B 处抛物线的切线为22()y y p x x =+，过点(1,1)M -，因而22(1)y p x =-． 两式结合，说明直线(1)y p x =-过,A B 两点，也就是直线AB 的方程为(1)y p x =-． 由已知直线AB 的斜率为2，知2p =， 故所求抛物线的方程为2
4y x =．
（2）显然当直线l 的斜率不存在与斜率为0时不合题意 故可设直线l 的方程为y kx m =+． 又直线l 与圆2
2(1)1x y -+=相切，
1=，即22
1(1)2m km m -=
≠． 与抛物线方程联立，即24y kx m
y x =+⎧⎨=⎩
，
化简消y 得2
2
2
2(2)0k x km x m +-+=，
22224(2)41616880km k m km m ∆=--=-=+>
设3344(,),(,)P x y Q x y ，则342
2(2)
km x x k -+=
， 34344()2y y k x x m k
+=++=
． 由()(0)OC OP OQ λλ=+>，则2
2(2)4(
,)km OC k k
λλ
-=，． 又点C 在抛物线上，则222
168(2)
km k k
λλ-=． 即2233
244
km m λ-+==>，由于0km ≠，因而1λ≠． 所以λ的取值范围为3|14λλλ⎧
⎫>
≠⎨⎬⎩⎭
且 考点：1、椭圆的标准方程；2、向量在几何中的应用；3．直线与圆锥曲线的综合问题． 【方法点晴】本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行解题．在解析几何题目的解答过程中，代数式的恒等变形能力，
计算能力是能顺利解题的基本保障，在此过程中用好韦达定理及已知条件是解决问题的关键．
21．（1）22 1.2
x y +=
（2）在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点， 点M 的坐标为（0，1）． 【解析】
（1）利用123
·
4
PF PF =；（2）直线方程与椭圆方程，联立方程组并借助于韦达定理，求点的坐标.
解:(1)设00(,)P x y ，
OP =
22
0074x y ∴+=① ……1分
又123·
4PF PF =,00003(,)?(,)4c x y c x y ∴-----=，即222
0034
x c y -+=② ……2分
①代入②得：1c =. 又1e a b =∴==故所求椭圆方程为2212x y +=……4分
(2)设直线1:3l y kx =-，代入2212x y +=，有22
416(21)039
k x kx +--=.
设1122(,)(,)A x y B x y 、，则1212
22416
,3(21)9(21)
k x x x x k k -+=
=++. ……6分 若y 轴上存在定点(0,)M m 满足题设，则11(,)MA x y m =-，22(,)MB x y m =-，
2
1212121212·()()()MAMB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++2
1212121111
()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121
(1)()()339
m k x x k m x x m =+-+++++
222218(1)(9615)
9(21)
m k m m k -++-=+……9分
由题意知，对任意实数k 都有·0MA MB =恒成立， ……10分 即2
2
2
18(1)(9615)0m k m m -++-=对k R ∈成立.
2210,{96150,
m m m -=∴+-=解得1m =， ……11分 ∴在y 轴上存在定点(1,0)M ,使以AB 为直径的圆恒过这个定点. ……12分
22．(1)直线l 的普通方程为(sin )(cos )cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=，C 的直角坐标方程为
22(2)4x y -+=.
(2)【解析】
试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）由（1）可知圆心坐标为C （2，0），半径为2，直线过点A （3，1），CA ⊥PQ 时，可求|PQ|的最小值．
试题解析：（1）由直线l 的参数方程3{1x tcos y tsin ϕϕ
=+=+（t 为参数），
消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，
即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=，
由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()2
4cos 0*ρρθ-=，
将2
2
2
{
x cos x y ρθρ
=+=代入(*)得， 22
40x y x +-=，
即C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=.
（2）将直线l 的参数方程代入()2
224x y -+=得，()2
2cos sin 20t t ϕϕ++-=，
()2
4cos sin 80ϕϕ∆=++>，
设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ， 则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-，
所以12PQ t t =-=
==
因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈，
所以当3,sin214
π
ϕϕ=
=-时，PQ 取得最小值【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】 解法二：（1）同解法一
（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ，
当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小.
此时()22
3212CM
=-+=，PQ ===
所以PQ 的最小值为解法三： （1）同解法一
（2）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，
cos sin 4d πϕϕϕ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
又因为()0,ϕπ∈，
所以当3
4
ϕπ=
时，d
又PQ ==
所以当3
4
ϕπ=
时，PQ 取得最小值.。