广东省梅州市高三数学下学期一检(3月)试题理(扫描版)

广东省梅州市2017届高三数学下学期一检（3月）试题理（扫描版）
梅州市高三总复习质检试题（2017、3）
理科数学参考答案与评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答
案
D C C A B B D A B C B C
12.提示： 032<--=''mx x x f )(在),(b a 上恒成立,⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤--∴.,030322bm b am a 对2≤||m 恒成立,即⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+-.,030322b bm a am 对],[22-∈m 恒成立，所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥+-≥+--≥+-≥+--.,
,,0320320320322222b b b b a a a a 解得,,1111≤≤-≤≤-b a 再求得a b -的最大值是2.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.
13。

2- 14。

7- 15. ],(32 16. ),[6
121-- 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．（本小题满分12分)
(I)证明：由定义1111111222112222
-------+---=-=n n n n n n n n n a a a a . 故12-⎧⎫⎨⎬⎩⎭
n n a 是以1112a -=为首项,1为公差的等差数列. ………………5分 (II ）由（I)知12
n n a n -= ， 21n n a n ∴=⋅+.
令{}2n n T n ⋅为的前n 项和，则
231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ①
23412222322n n T n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ② ………………9分 ①-②得()23!122222122n n n n T n n ++-=+++⋅⋅⋅+-⋅=--， ()1122n n T n +∴=-+ 。

故()1122n n S n n +=-++。

……………12分
18．（本小题满分12分)
（I) 证明:在△BAD 中，∵,,o 6022=∠==BAD AD AB ∴由余弦定理可得.3=BD ……………2分 .,BD AD BD AD AB ⊥∴+=222 …………3分 又在直平行六面体中,GD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴.BD GD ⊥ ……………4分 又,D GD AD =⋂∴BD ⊥平面ADG 。

……………6分 (II)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -. ……………7分
∵,,2245===∠=∠AD AB GAD BAE o
则有).,,(),,,(),,,(),,,(),,,(031230100030001-C E G B A ∴).,,(),,,(101231-=-=AG AE …………………8分
设平面AEFG 的法向量为),,(z y x =，
故有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=++-=⋅.
,0023z x z y x
令1=x ，得.,133=-
=z y ),,(13
31-=．……………10分 而平面ABCD 的一个法向量为),,(100=,
∴.||||,cos 721=⋅>=<n DG n DG n DG
故平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为错误! .………………12分 （可作出截面与底面的交线，易求.其他解法比照给分）
19．(本小题满分12分）
解：（I ）因为.,505==y x
回归直线必过样本中心点),(y x ，则5.1755.650=⨯-=-=x b y a ， …………1分 故回归直线方程为5.175.6+=x y 。

当1=x 时，245.175.6=+=y ，即y 的预报值为24. ………………2分 （II ）因为..,25464==y x ……………… 3分 ∑∑=--=-==41121241
21294594i i i i i y x x
.,所以 (8364494254644945442241)
21241
1212≈⨯-⨯⨯-=--=∑∑=-=--∧x
x y x y x b i i i i i ………………6分 ....931848362546=⨯-=-=∧∧x b y a ……………… 7分 即93.18ˆ,83.6ˆ==a b
，5.17,5.6==a b . %5ˆ≈-b b b ，%8ˆ≈-a
a a ,均不超过%10， 因此使用位置最接近的已有旧井)24,1(6. ………………8分 (III) 由题意，1、3、5、6这4口井是优质井,2，4这两口井是非优质井， ∴勘察优质井数X 的可能取值为2，3,4,
2242462(2)5C C P X C ===，3142468(3)15C C P X C ===，4042461(4)15C C P X C ===.……10分 X
2 3 4 P 25 815 115
2818234515153
EX =⨯+⨯+⨯=. ………………12分 20．（本小题满分12分）
解：（I) 依题意圆心C 的轨迹是以),(01F 为焦点，直线1-=x 为准线的抛物线， 故其方程为.x y 42= ………………2分 当圆心C 在原点时，圆的面积最小,所以圆1C 的方程为 .122=+y x ………………4分 (II)(1,0)F ，设11223344(,),(,),(,),(,)B x y D x y A x y C x y ，
由212
4y x b y x
⎧=+⎪⎨⎪=⎩,得22(416)40x b x b +-+=。

由0∆>，得2b <． ………………6分 所以12164+=-x x b ，2124=x x b . ………………7分 因为直线,BF DF 的倾斜角互补,所以0BF DF k k +=。

………………8分 ∵1221121221(1)(1)11(1)(1)
-+-+=+=----BF DF y y y x y x k k x x x x , ∴2112(1)(1)0-+-=y x y x ，即211211()(1)()(1)022
+-++-=x b x x b x ， ,))((02212121=-+-+b x x b x x 214()(164)202b b b b +---=。

解得12b =。

………………10分 由2211229
y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得,035252=-+x x 所以3425+=-x x 。

………………11分 132411||||1()1()44
+=+-++-AB CD x x x x 1234552365()(14)2255=+--=+=x x x x ． ………………12分
21．(本小题满分12分)
解:（I)由于()ln +2=--a f x a x x a x
，其中0>x ,
222()1a a x ax a f x x x x -++'=-+=. ………………1分 ①当0≤a 时，0<')(x f 恒成立，于是)(x f 的减区间为),(+∞0。

………………2分
②当0a >时，由0=')(x f ,得2
42a a a x ++=（另一根舍去).列表得 x （
0，2
42a a a ++） 242a a a ++ （242a a a ++,+∞) ()f x '
＋ 0 － ()f x ↗ 极大值 ↘
于是)(x f 的增区间为24(0，++a a a ，减区间为(2
42a a a ++,+∞）。

…4分 综上所述，当0≤a 时，)(x f 减区间为),(+∞0，当0a >时，)(x f 的增区间为24(0，++a a a ，减区间为(2
42a a a ++，+∞). ………………5分 （II ）当0a >时，
241++a a a ,即102<a ≤，此时)(x f 在],[e 1上单调递减， ,)()()()(min 02
113133<-⨯-≤--=--==e e e a e e a e a e f x f 0>)(x f 恒成立，不合题意，舍去. ………………7分 （或max ()(1)10==-<f x f a ）
241++>a a a 24++<a a a e ，即1
212+<<e e a 时， 此时)(x f 在),(2412a a a ++上为增函数,在（),e a a a 2
42++ 上为减函数，
要使在],[e 1恒有0>)(x f 恒成立，则必有⎩⎨⎧>>.
)(,)(001e f f 则⎪⎩
⎪⎨⎧>-->-.,0301e a e a a 所以21.31，>⎧⎪⎨>⎪-⎩a e a e 所以11322+<<-e e a e e 。

……………9分 ③若242++≥a a a e ,即12
+≥e e a 时， )(x f 在],[e 1为增函数，令min ()(1)1>0==-f x f a ，得1
2+≥e e a ………………11分 综上所述,存在实数),,(+∞-∈1
32
e e a 使得()0
f x >恒成立. ………………12分 (可以用分离参数法求解,比照给分)
22。

(本小题满分10分)
解:(I ）由22cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，得22cos 2sin x y θθ
+=⎧⎨=⎩,
所以22(2)4x y ++=. ……………1分 又由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=,得224x y y +=. …………2分
把两式作差得，y x =-， ……………3分 代入224x y y +=得交点为(0,0),(2,2)-。

……………5分 （II ）如图，由平面几何知识可知，当12,,,A C C B 依次排列且共线时，
||AB 最大,此时||224AB =, O 到AB 2， ……………8分
∴OAB ∆的面积为1(224)22222
s ==+ ……………10分
23。

(本小题满分10分）
解:(I ）由0m >，有()()88882222f x x x m x x m m m m m m m
=++-≥+--=+=+
,8282=⨯≥m m 当且仅当82m m
=时取等号。

所以()8f x ≥恒成立. ……………5分 （II ）()()811210m m
f m =+->+, 当120m -<，即12m >时，()()8811221m m m f m
+--=+=, 由()110f >,得8210m m +>，化简得2540m m -+>,解得1m <或4m >,所以112
m <<或4m >, ……………7分
当120m -≥,即102m <≤
时，()()88111222f m m m m
=++-=+-， 由()110f >,得82210m m +->，此式在102m <≤时恒成立. ……………9分 综上, 当()110f >时，实数m 的取值范围是()
()0,14,+∞. ……………10分
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