近年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测(二十二)三角恒等变换(2021年整理)

（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测（二十二）三角恒等变换
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课时达标检测（二十二) 三角恒等变换
［练基础小题——强化运算能力］
1．［2sin 50°＋sin 10°（1＋错误!tan 10°)]·错误!＝________。

解析:原式＝错误!·错误!sin 80°
＝错误!·错误!cos 10°
＝2错误![sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos（60°－10°）]
＝2错误!sin(50°＋10°）＝2错误!×错误!＝错误!.
答案：错误!
2．已知sin错误!＝错误!，－错误!＜α＜0，则cos错误!的值是________．
解析：由已知得cos α＝错误!，sin α＝－错误!，所以cos错误!＝错误!cos α＋错误!sin α＝－错误!。

答案：－错误!
3．（2018·江苏宜兴三校联考)已知cos错误!＝－错误!，则sin错误!的值为________．解析：因为cos错误!＝cos错误!＝错误!,所以有sin2错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!，从而求得sin错误!的值为±错误!。

答案：±错误!
4．(2018·泰州调研)若cos错误!＝错误!，则sin错误!的值是________．
解析：sin错误!＝sin错误!＝cos 2错误!＝2cos2错误!－1＝2×错误!－1＝－错误!。

答案：－错误!
5．已知sin错误!＋sin α＝错误!，则sin错误!的值是________．
解析：∵sin错误!＋sin α＝错误!，∴sin错误!cos α＋cos 错误!sin α＋sin α＝错误!，∴错误!sin α＋错误!cos α＝错误!，即错误!sin α＋错误!cos α＝错误!，故sin错误!＝sin αcos 错误!＋cos αsin错误!
＝－错误!＝－错误!.
答案：－错误!
［练常考题点——检验高考能力]
一、填空题
1．已知sin 2α＝错误!,则cos2错误!＝________。

解析:依题意得cos2错误!＝cos αcos错误!＋sin αsin错误!2＝错误!（cos α＋sin α）2
＝错误!（1＋sin 2α)＝错误!.
答案:2 3
2．(2018·云南模拟）cos错误!·cos错误!·cos错误!＝________.
解析:原式＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－错误!
＝－错误!
＝－错误!
＝－错误!＝－错误!＝－错误!.
答案：－错误!
3．若tan α＝2tan错误!，则错误!＝________。

解析：错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!
＝错误!＝错误!＝3。

答案:3
4．(2018·启东中学月考)4cos 50°－tan 40°＝________。

解析：原式＝4sin 40°－错误!＝错误!＝错误!＝错误!
＝错误!＝错误!＝错误!。

答案:错误!
5．在斜三角形ABC中，sin A＝－错误!cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－错误!，则角A的值为________．
解析：由题意知,sin A＝－2cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－错误!cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C得tan B ＋tan C
＝－错误!，又tan B·tan C＝1－错误!,所以tan（B＋C)＝错误!＝－1.由已知，有tan A＝－tan(B＋C），则tan A＝1，所以A＝错误!。

答案：π4
6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝错误!,tan α＋tan β＋错误!·tan αtan β＝3,则α,β的大小关系是________．
解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝错误!,∴α＞错误!.又tan α＋tan β＋错误!tan
αtan β＝错误!,
∴tan(α＋β）＝错误!＝错误!，∴α＋β＝错误!，又α＞错误!，∴β＜错误!＜α。

答案：α＞β
7．（2018·武汉调研)设α，β∈［0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin（2α－β）＋sin（α－2β）的取值范围为________．
解析：∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin（α－β)＝1,∵α，β∈［0，π］,∴α－β＝错误!，由错误!⇒错误!≤α≤π，∴sin（2α－β)＋sin(α－2β)＝sin错误!＋sin(α－2α＋π）＝cos α＋sin α＝2sin错误!，∵错误!≤α≤π,∴错误!≤α＋错误!≤错误!,∴－1≤错误!sin错误!≤1，即所求的取值范围是[－1，1］．
答案：[－1,1]
8．已知cos4α－sin4α＝错误!，且α∈错误!，则cos错误!＝________.
解析：∵α∈错误!，cos4α－sin4α＝（sin2α＋cos2α)（cos2α－sin2α)＝cos 2α＝错误!＞0，
∴2α∈错误!，∴sin 2α＝错误!＝错误!，∴cos错误!＝错误!cos 2α－错误!sin 2α＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.
答案:2－15
6
9．已知tan α，tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根,且α，β∈错误!，则α＋β＝________.
解析：由题意得tan α＋tan β＝－3错误!＜0，tan α·tan β＝4＞0，∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!,且tan α＜0，tan β＜0，又α，β∈错误!，故α，β∈错误!，∴α＋β∈（－π，0)，∴α＋β＝－错误!.
答案:－错误!
10．若0＜α＜错误!，－错误!＜β＜0,cos错误!＝错误!，cos错误!＝错误!,则cos错误!＝________.
解析：∵0＜α＜错误!，－错误!＜β＜0，∴错误!＜错误!＋α＜错误!,
π
4
＜错误!－错误!＜错误!,∴sin错误!＝错误!＝错误!，sin错误!＝错误!＝错误!，∴cos错误!＝cos错误!＝cos错误!cos错误!＋sin错误!sin错误!＝错误!.
答案：错误!
二、解答题
11．已知函数f(x)＝cos2x＋sin x cos x，x∈R。

（1）求f错误!的值;
（2)若sin α＝错误!，且α∈错误!，求f 错误!。

解：（1）f 错误!＝cos2错误!＋sin错误!cos错误!＝错误!2＋错误!×错误!＝错误!.
（2)因为f(x）＝cos2x＋sin x cos x＝错误!＋错误!sin 2x
＝错误!＋错误!(sin 2x＋cos 2x)＝错误!＋错误!sin错误!,
所以f 错误!＝错误!＋错误!sin错误!
＝错误!＋错误!sin错误!＝错误!＋错误!错误!.
因为sin α＝错误!，且α∈错误!，
所以cos α＝－错误!,
所以f错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!。

12．（2017·浙江高考)已知函数f（x）＝sin2x－cos2x－2错误!sin x cos x(x∈R)．（1）求f 错误!的值；
（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)由题意，f(x)＝－cos 2x－错误!sin 2x
＝－2错误!＝－2sin错误!,
故f 错误!＝－2sin错误!＝－2sin 错误!＝2.
(2)由(1）知f（x）＝－2sin错误!.
则f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质
令错误!＋2kπ≤2x＋错误!≤错误!＋2kπ，k∈Z，
解得错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ，k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间是错误!（k∈Z）．。