【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(四)平面向量、数系的扩充与复数 文 新人教A版

【世纪金榜】2016届高三数学总复习单元评估检测(四)平面向量、
数系的扩充与复数文新人教A版
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2015·某某模拟)已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为( )
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i
D.2-i
【解析】选D.由==1-yi得
故x+yi的共轭复数为2-i.
【加固训练】在复平面内复数(1-i)4的对应点位于( )
A.第一象限
B.实轴
C.虚轴
D.第四象限
【解析】选B.由(1-i)4=(-2i)2=-4,故位于实轴上.
2.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),且m=t a+b,n=a-k b(t,k∈R),则m⊥n的充要条件是( )
A.t+k=1
B.t-k=1
C.t·k=1
D.t-k=0
【解题提示】写出m,n坐标后利用m·n=0可求.
【解析】选D.由已知得m=t(2,1)+(-1,2)=(2t-1,t+2),
n=(2,1)-k(-1,2)=(k+2,1-2k).
又m⊥n,故m·n=0即(2t-1)(k+2)+(t+2)(1-2k)=0,整理得t-k=0.
3.(2015·某某模拟)已知向量|a|=2,|b|=,且a·b=3,则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.以上都不对
【解析】选A.设a与b的夹角为θ,
则cosθ===.
又因为0≤θ≤π,所以θ=.
4.(2015·日照模拟)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足=
λ,=(1-λ),λ∈R.若·=-2,则λ= ( )
A. B. C. D.2
【解析】选B.如图,以A点为原点,以AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建系.
则B(1,0),C(0,2),A(0,0),
由=λ得P(λ,0).
由=(1-λ)得Q(0,2-2λ),
故=(-1,2-2λ),=(λ,-2).
故·=-λ-2(2-2λ)=3λ-4=-2.
解得λ=.
5.(2015·某某模拟)已知△ABC中,=a,=b,a·b<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.120°
C.150°
D.30°或150°
【解析】选C.S△ABC=||||sinA
=|a||b|sinA=×3×5sinA=,
所以sinA=.
又a·b<0,所以A为钝角,所以A=150°.
6.(2015·六盘水模拟)定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z 对应的点在( )
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
【解题提示】运用所给新运算把复数化为代数形式再判断其对应点所在象限.
【解析】选D.由=0得z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0,所以z(1-i)=5,
设z=x+yi(x,y∈R),所以z(1-i)=(x+yi)(1-i)=5,
(x+y)+(y-x)i=5,解得
因为x=y=>0,所以复数z对应的点在第一象限.
7.(2015·某某模拟)如图所示,非零向量=a,=b,且BC⊥OA,C为垂足,若=λ
a(λ≠0),则λ= ( )
【解析】选A.⊥,即⊥,所以(-)·=0,
所以||2-·=0,即λ2|a|2-λa·b=0,又λ≠0,解得λ=
8.(2015·某某模拟)设a,b是两个非零向量( )
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
D.若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
【解析】选C.利用排除法可得选项C是正确的.因为|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,且a与b反向,故A,B不正确;选项D,若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
9.(2015·某某模拟)如图,正六边形ABCDEF中,有下列四个结论:
①+=2;
②=2+2;
③·=·;
④(·)=(·).
其中正确结论的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.+=+==2,
故①对;
取AD的中点O,则=2=2+2,故②对;
设||=1,则·=×2×cos=3,
而·=2×1×cos=1,故③错;
设||=1,则||=2,
(·)=(2×1×cos60°)=.
(·)=(1×1×cos120°)=-=,故④正确.
综上,正确结论为①②④,故选C.
10.给出下列命题:
p:函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是π;
q:∃x∈R,使得log2(x+1)<0;
r:已知向量a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c的充要条件是λ=-1.其中所有真命题是( )
A.q
B.p
C.p,r
D.p,q
【解析】选D.f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)·(sin2x+cos2x)
=sin2x-cos2x=-cos2x,故最小正周期为π,故命题p正确;当0<x+1<1,即-1<x<0时,log2(x+1)<0,故命题q正确;a+b=(λ-1,λ2+1),故(a+b)∥c的充要条件为λ-1=-(λ2+1),解得λ=-1或λ=0,故命题r不正确.
11.已知平面向量a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),R是实数集,f(x)=a·b+4cos2x+2sinxcosx.如果∃m∈R,∀x∈R,f(x)≥f(m),那么f(m)=( ) A.2+2 B.3
C.0
D.2-2
【解题提示】本题解题实质是求f(x)的最小值.
【解析】选C.由已知可得
f(x)=sin4x-cos4x+4cos2x+2sinxcosx
=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+4cos2x+
2sinxcosx
=sin2x-cos2x+4cos2x+2sinxcosx
=-cos2x+2(cos2x+1)+sin2x
=sin2x+cos2x+2
=2sin+2.
故f(x)min=0,因此f(m)=0.
12.(能力挑战题)设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=a cosθ-b sinθ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为()
A. B. C. D.π
【解题提示】根据e1·e2=求e1与e2的夹角,进而确定e2与-e1的夹角,根据新定义求向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的数量积,由此确定其夹角.
【解析】选B.设e1,e2的夹角为α,
则e2与-e1的夹角为π-α,
由题意,得|e1|=|e2|=1,
所以e 1·e 2=|e 1||e 2|cos α=cos α=,
故α=,π-α=π,
所以f(e 1,e 2)=e 1cos -e 2sin =e 1-e 2,
f(e 2,-e 1)=e 2cos π-
=e 1-e 2,
f(e 1,e 2)·f(e 2,-e 1)
=
=-e 1·e 2+
=
-=0.
所以f(e 1,e 2)与f(e 2,-e 1)的夹角为. 【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧
(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.
(2)熟记公式a 2
=|a |2
=a ·a ,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.设a ∈R,且(a+i)2
i 为正实数,则a 的值为. 【解析】(a+i)2
i=(a 2
-1+2ai)i=-2a+(a 2
-1)i, 由(a+i)2
i 为正实数得2
2a 0,a 10,
->⎧⎨-=⎩解得a=-1.
答案:-1
14.(2015·某某模拟)已知向量a =(x-1,2),b =(4,y),若a ⊥b ,则9x
+3y
的最小值为. 【解析】若a ⊥b ,则a ·b =0,所以2x+y=2,
由基本不等式得9x
+3y
≥6,当且仅当9x
=3y
,即x=,y=1时等号成立. 答案:6
15.(2015·某某模拟)已知平面向量α,β,且|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|=. 【解析】由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0,
所以α·β=,所以(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×=10,所以
|2α+β|=.
答案:
【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧
(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.
(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.
16.在△ABC中设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(cos C,2a-c),n=(b,
-cos B),且m·n=0,则B=.
【解析】由m·n=0得bcosC-(2a-c)cosB=0,
即b·=(2a-c)·,
整理得ac=a2+c2-b2,
又cosB===.
又因为0<B<π,所以B=.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),
(1)若∥,求x与y之间的关系式.
(2)在(1)的前提下,若⊥,求向量的模的大小.
【解析】(1)=++=(x+4,y-2).
因为∥,所以x(2-y)-y(-x-4)=0,所以x+2y=0.
(2)=(x+6,y+1),=(x-2,y-3).
因为⊥,所以·=0,
所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.又因为x+2y=0,
所以(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.
即y2-2y-3=0,解得y=3或y=-1.
即=(-6,3)或=(2,-1),所以||=3或||=.
18.(12分)已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.
(1)求点C,D对应的复数.
(2)求平行四边形ABCD的面积.
【解题提示】由点的坐标得到向量的坐标,运用向量、复数间的对应关系解题.
【解析】(1)设点O为原点,因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,
所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又=+,
所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,又=+=(1+2i)+(3-i)=4+i, =-=2+i-(1+2i)=1-i,
所以=+=1-i+(4+i)=5,
所以点D对应的复数为5.
(2)由(1)知=(1,2),=(3,-1),
因为·=||||cosB,
所以cosB===,
所以sinB=,
又||=,||=,
所以面积S=||||sinB=××=7.
所以平行四边形ABCD的面积为7.
19.(12分)(2015·某某模拟)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积
a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数
y=f(x)图象上的点,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),求函数y=f(x)的值域.
【解题提示】设出Q点坐标,与P点坐标建立联系后可求得y=f(x)的解析式从而可求值域. 【解析】设Q(x,y),P(x1,y1),则由已知可得
(x,y)=⊗(x1,y1)+
=+
=.
故即
又因为P点在y=sinx上,故2y=sin,
故f(x)=sin,
因为x∈R,故-≤f(x)≤.
20.(12分)已知A,B,C是△ABC的三个内角,向量m=(sin A-sin B,sin C),向量n=(sin A-sin C,sin A+sin B),且m∥n.
(1)求角B.
(2)若sin A=,求cos C的值.
【解析】(1)依题意得sin2A-sin2B=sin C(sin A-sin C)=sin Asin C-sin2C,
由正弦定理得,a2-b2=ac-c2,
所以a2+c2-b2=ac.
由余弦定理知,cos B==,所以B=.
(2)因为sin A=,所以sin A<,所以A<B.
又B=,所以A<,所以cos A=,
所以cos C=cos(-A)
=cos cos A+sin sin A=-.
21.(12分)(2015·某某模拟)已知点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα), 且0<α<π.
(1)若|+|=,求与的夹角.
(2)若⊥,求tanα的值.
【解析】(1)因为|+|=,
所以(2+cosα)2+sin2α=7,
所以cosα=.
又因为α∈(0,π),
所以α=∠AOC=,
又因为∠AOB=,
所以与的夹角为.
(2)=(cosα-2,sinα),=(cosα,sinα-2).
因为⊥,所以·=0,
所以cosα+sinα=, ①
所以(cosα+sinα)2=,所以2sinαcosα=-.
又因为α∈(0,π),所以α∈.
因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα
=,cosα-sinα<0,
所以cosα-sinα=-. ②
由①②得cosα=,sinα=,
所以tanα=-.
22.(12分)已知向量a=(sin(ωx+φ),2),b=(1,cos(ωx+φ))
,函数f(x)=(a+b)·(a-b),y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点M.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)当-1≤x≤1时,求函数f(x)的单调区间.
【解析】(1)f(x)=(a+b)·(a-b)=a2-b2
=|a|2-|b|2=sin2(ωx+φ)+3-cos2(ωx+φ)
=-cos(2ωx+2φ)+3,
由题意得周期T==4,
故ω=,又图象过点M,
所以=3-cos,
即sin2φ=,而0<φ<,故2φ=,
则f(x)=3-cos.
(2)当-1≤x≤1时,-≤x+≤.
所以当-≤x+≤0时,
即x∈时,f(x)是减函数.
当0≤x+≤时,
即x∈时,f(x)是增函数.
则函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.。