第四章 非完整样本数据情况下表格(生存模型-中国精算研究院,周渭兵)
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dx bx (1 r ) k x
对于特例C : 假定区间( x, x 1]上nx个观察对象，有 x个人的si 1, c 则 E ( Dx ) nx c x q x k x s q x d x 在线性假设下，q x s q x s 得到：x q
在随机事件中如果死亡 和退出是独立的，则有
p x t p xd t p xw t
在一般评估中采用以下 表达式：
' d) ' d) q x( r 1 s r p x( r s r
s ' d) 1 exp x( u du r
'( ) t r px r '( ) t r px r (d ) qx ( w) qx '( d ) x t '( w ) x t 1 ( ) (d ) t p x x t dt 0 1 ( ) ( w) t p x x t 来自t 0退出概率密度
4.3 非完整样本数据情况下 表格生存模型的矩估计 4.3.1 单风险情况下的矩估计 对于某研究团体，已知 成员的基本数据如：出 生 日期、进入观察日期、 死亡日期等。那么可以 得到成员 i对应于( x, x 1]的有序数组为（ ri , x si）。 x 1、基本矩关系 如果nx为区间（x，x 1]上的总人数。则总的期 望死亡 人数为： E ( Dx )
si q x
i 1
n
si q x
dx dx
si q x
dx
n
qx
si
i 1
例4.3：在下面一个由 人组成的样本中，以日 5 历年1987年 为观察期间估计 30. q
观察者 1 2 3 4 5 生日 1957.7.1 1957.4.1 1957.1.1 1956.7.1 1956.4.1 死亡日期 1987.10.1 1987.4.22
s r qx r
1 s r p x r
在年龄x r时活着，在年龄 t死亡的 x 密度函数为：
t r px r
x t
1、单风险环境：当只有 死亡是随机事件时
t px , qx
2、双风险环境：当死亡 和退出都是随机风险时 。 退出：所有随机减少（ 不包括死亡）统称为从 研究中退出。
dx nx
2、特殊情形
B : 令ri 0, si 1 E ( Dx )
i 1 dx
n
A : 令r
1 ri q x ri
dx
1 ri q x ri
n
(1 ri ) q x
qx
(1 ri )
i 1
C : 令ri 0, si 1 E ( Dx )
第四章 非完整样本数据情况 下表格生存模型的估计
• 4.1 观察期年龄 • 一、什么是不完整的样本数据 • 在某一确定观察期内，对某一对象的观察有 的从初期开始，有的从中期开始（中途加入）， 有的活着离开，有的生存到观察期末，有的在观 察期内死亡，这种情况称为不完整的样本数据。 • 二、“退出”“结束”。 • 观察期内活着离开的行为叫退出。 • 生存到观察期末的现象叫结束。 • 观察期末的年龄叫计划结束年龄。 • 对于第i个成员，我们给出进入观察的年龄 yi 和 • 计划结束年龄 zi ( yi zi ) ，这种观察年龄长度
' w) ' w q x( r 1 s r p x( r) s r
p d p w s r px r s r x r s r x r
s ' w) 1 exp x( u du r
死亡概率密度
5、矩估计的性质 （1）证明q x是无偏的 Qx
Dx
( si ri )
i 1
n
,
n n
E (Q x )
E ( Dx )
( si ri )
i 1
n
si ri q xri
i 1 n
( si ri )
i 1
qx
( si ri )
i 1
i 1
n
si ri q x ri
dx
(4.3.1)
式中：Dx为在区间（x，x 1]上的死亡人数随机变量 d x为 。 实际所观察的死亡人数 。
假定死亡在（ , x 1]服从均匀分布，则有 x
si ri q x ri
si ri）q x （ （ s r） d
(1)如果zi x, 无贡献
zi
x
x 1
(2)如果yi x 1，无贡献
x
x 1
yi
(3)如果yi x, zi x 1, 全部进入考察。
yi
x
x 1
zi
(4) x yi x 1或x zi x 1 或x yi zi x 1
2、令观察对象i在x ri (0 ri 1)处进入区间（x.x 1]， （1） 如果观察对象i在x si处为所观察的结束者 , 则其暴露数为 si ri )。 ( （2） 如果观察对象i在x ti处被观察退出（ i si） t , 则其暴露数为 ti ri )。 ( （3） 如果观察对象i在区间( x, x 1]上死亡时，均令 si 1. 例4 7 在某研究样本中有三个 观察对象，其有序组均 为 （ri , si）（0,0.75）(i 1,2,3), 对象1在x 0.75时仍在样本中， , 对象2在x 0.5处退出，对象 在x 0.5处死亡。求 3 精算暴露数。
用序数组（yi , zi）表示。 例4.1 某研究样本由一互助组 织组成，观察期 为2000年7月 日至2006年6月30日，成员乙生于 1 1953年6月30日，并在2002年1月 日加入改组织， 1 乙的有序组（ i , zi）为多少？ y 解：（yi , zi） (48.5,53)
三、在不完整数据下估 S ( x)或l x的基本方法 计 . 1、先估计x岁生存的人在 x 1)岁前死亡的q x， ( 然后得到条件概率 x ; p 2、由S ( x) p 0 p1 p x 1 . 估计q x具体过程： 为了估计q x， 需要了解第i个人的有序数组 （yi , zi）与区间（x，x 1]的关系。
qx
mx 1 1 2
mx
b 假设l x t 服从指数分布（常死力 假设）假设 qx 1 e 1 em x
矩估计运用预计暴露数 得到的q x为一个近视值。 4、分组 对于特例B : 假定区间( x, x 1]上nx个观察对象，有 x个人的ri 0, b 其余k x nx bx的0 ri 1, 假定k x个人的ri的均值为r , 则 E ( Dx ) bx q x k x 1 r q x r d x 在双曲线假设下， r q x r 1 r）q x （ 1 得到：x q
si
ri
x
yi
有
zi
x 1
有0 ri 1或0 si 1 将观察( yi , zi )变为观察(ri , si )
特例A : 在区间（x, x 1]，如果有ri 0, si 1； 特例B : 在区间（x, x 1]，如果有0 ri 1, si 1； 特例C : 在区间（x, x 1]，如果有ri 0,0 si 1. 例4.2 一个观察期开始于 1985年1月 日，结束于某 1 一指定成员的生日， 年1月 日已在研究群体中 1985 1 的3个成员的生日日期如下 ： 成员 成员 1 成员2 成员3 生日 1964.4.1 1964.7.1 1965.10.1
3、暴露数 对于第i个观测对象，其在 x, x 1]上的有序组 ( 为（ri , si），则其总暴露数：
(s r )
i i i 1
n
（4.3.4）
(1)预计暴露数：即令在区 ( x, x 1]死亡的人的si 1下 间 计算得到的暴露数。矩 估计分母就是样本的预 计暴 露数。如例4.3. (2)确切暴露数：通过公式 4.3.4）得到的就是确切 （ 暴露数。
分别求出在区间（ ,21], 21,22]的(ri , si ). 20 （ 1、求（yi , zi）； 2、求(ri , si )。
4.2 单风险和双风险环境
x
x ri
x si
x 1
有0 ri 1或0 si 1 将观察( yi , z i )变为观察( ri , si )
例4.3中的确切暴露数为
(s r ) 0.5 0.75 0.75
i i i 1
5
0.5 0.25 2.75 (3)、确切暴露数的的意义 mx
观察到的在区间 ( x , x 1]死亡人数 在区间 ( x , x 1]的确切暴露数
a 假设l x t 服从均匀分布假设
例4.5 已知在区间（ ,33]上发生了 次死亡，死亡年龄 32 4 如下表所示：对所有的 死亡对象都有 i 1, i 1,2,3,4, s 已知m x 0.016, 则qx的矩估计为多少？ 32. x
死亡年龄
1 32.25
2 32.5
3 32.6
4 32.75
例4.6 在估计（x, x 1]区间上的死亡概率时， 在x岁时有 1000个观察对象，在 1 时加入了 x 2 100个观察对象，已知在该 区间上观察到 个 70 死亡事件，在年龄内死 力常数假设下， x ? q
' p x( d )表示死亡不在 t岁前发生的概率 x t ' p x( w)表示退出不在 t岁前发生的概率 x t
相应的有：x( d ) . q'
' p x( d ) t
t ' d) exp x( u du 0
' p x( d ) t
t ' d) exp x( u du 0
Var Q x nx , ri , si
si ri q x ri (1 si ri q x ri ) n si ri i 1
2
px qx n si ri i 1
2
4.3.2 矩估计的精算法 一、精算暴露数的概念 精算暴露数：实际观察 的暴露数，而不是预计 暴露数。 1、令观察对象 的预计结束年龄为 i， i z （） 1 如果x zi x 1, 则称第i个观察对象预计在年龄i x si (0 si 1)处退 z 出[ x, x 1]区间。 （2） 如果zi x 1, 则称第i个观察对象在区间x, x 1]上是生存的，或说预计 [ 在x si ( si 1)岁退出。
' q x( d )
1 ' d) 1 exp x( u du 0
或
' p x( w) t
t ' w) exp x( u du 0
' q x( w)
1 ' w) 1 exp x( u du 0
i 1 n
( si ri )
qx ( 2)求矩估计方差 假设Di为第i个对象的死亡数的随机 变量。有
Dx VarDx
D
i 1 n i 1
n
i n
E D
i i 1
n i 1
si ri q x ri (1 si ri q x ri )
i i i 1 n
则由（4.3.1 ）式，得到 E ( Dx ) q x qx
dx
i 1
x
( 4.3.2)
（ si ri）
n
( 4.3.3)
上式就是单风险情况下 的矩估计的一般形式。
2、特殊情形： A : 令ri 0, si 1 E ( Dx ) n x q x d x qx
dx n x (1 s ) c x
其余nx c x的si 1, 假定cx个人的si的均值为s,
例4.4 假设在区间（ , x 1]上有nx个观察对象，其中 x bx个人的ri 0, 其余的nx bx个人的0 ri r 1, 所有的 si 1, 求q x的估计量。（假设 r q x r (1 r ) q x） 1
对于特例C : 假定区间( x, x 1]上nx个观察对象，有 x个人的si 1, c 则 E ( Dx ) nx c x q x k x s q x d x 在线性假设下，q x s q x s 得到：x q
在随机事件中如果死亡 和退出是独立的，则有
p x t p xd t p xw t
在一般评估中采用以下 表达式：
' d) ' d) q x( r 1 s r p x( r s r
s ' d) 1 exp x( u du r
'( ) t r px r '( ) t r px r (d ) qx ( w) qx '( d ) x t '( w ) x t 1 ( ) (d ) t p x x t dt 0 1 ( ) ( w) t p x x t 来自t 0退出概率密度
4.3 非完整样本数据情况下 表格生存模型的矩估计 4.3.1 单风险情况下的矩估计 对于某研究团体，已知 成员的基本数据如：出 生 日期、进入观察日期、 死亡日期等。那么可以 得到成员 i对应于( x, x 1]的有序数组为（ ri , x si）。 x 1、基本矩关系 如果nx为区间（x，x 1]上的总人数。则总的期 望死亡 人数为： E ( Dx )
si q x
i 1
n
si q x
dx dx
si q x
dx
n
qx
si
i 1
例4.3：在下面一个由 人组成的样本中，以日 5 历年1987年 为观察期间估计 30. q
观察者 1 2 3 4 5 生日 1957.7.1 1957.4.1 1957.1.1 1956.7.1 1956.4.1 死亡日期 1987.10.1 1987.4.22
s r qx r
1 s r p x r
在年龄x r时活着，在年龄 t死亡的 x 密度函数为：
t r px r
x t
1、单风险环境：当只有 死亡是随机事件时
t px , qx
2、双风险环境：当死亡 和退出都是随机风险时 。 退出：所有随机减少（ 不包括死亡）统称为从 研究中退出。
dx nx
2、特殊情形
B : 令ri 0, si 1 E ( Dx )
i 1 dx
n
A : 令r
1 ri q x ri
dx
1 ri q x ri
n
(1 ri ) q x
qx
(1 ri )
i 1
C : 令ri 0, si 1 E ( Dx )
第四章 非完整样本数据情况 下表格生存模型的估计
• 4.1 观察期年龄 • 一、什么是不完整的样本数据 • 在某一确定观察期内，对某一对象的观察有 的从初期开始，有的从中期开始（中途加入）， 有的活着离开，有的生存到观察期末，有的在观 察期内死亡，这种情况称为不完整的样本数据。 • 二、“退出”“结束”。 • 观察期内活着离开的行为叫退出。 • 生存到观察期末的现象叫结束。 • 观察期末的年龄叫计划结束年龄。 • 对于第i个成员，我们给出进入观察的年龄 yi 和 • 计划结束年龄 zi ( yi zi ) ，这种观察年龄长度
' w) ' w q x( r 1 s r p x( r) s r
p d p w s r px r s r x r s r x r
s ' w) 1 exp x( u du r
死亡概率密度
5、矩估计的性质 （1）证明q x是无偏的 Qx
Dx
( si ri )
i 1
n
,
n n
E (Q x )
E ( Dx )
( si ri )
i 1
n
si ri q xri
i 1 n
( si ri )
i 1
qx
( si ri )
i 1
i 1
n
si ri q x ri
dx
(4.3.1)
式中：Dx为在区间（x，x 1]上的死亡人数随机变量 d x为 。 实际所观察的死亡人数 。
假定死亡在（ , x 1]服从均匀分布，则有 x
si ri q x ri
si ri）q x （ （ s r） d
(1)如果zi x, 无贡献
zi
x
x 1
(2)如果yi x 1，无贡献
x
x 1
yi
(3)如果yi x, zi x 1, 全部进入考察。
yi
x
x 1
zi
(4) x yi x 1或x zi x 1 或x yi zi x 1
2、令观察对象i在x ri (0 ri 1)处进入区间（x.x 1]， （1） 如果观察对象i在x si处为所观察的结束者 , 则其暴露数为 si ri )。 ( （2） 如果观察对象i在x ti处被观察退出（ i si） t , 则其暴露数为 ti ri )。 ( （3） 如果观察对象i在区间( x, x 1]上死亡时，均令 si 1. 例4 7 在某研究样本中有三个 观察对象，其有序组均 为 （ri , si）（0,0.75）(i 1,2,3), 对象1在x 0.75时仍在样本中， , 对象2在x 0.5处退出，对象 在x 0.5处死亡。求 3 精算暴露数。
用序数组（yi , zi）表示。 例4.1 某研究样本由一互助组 织组成，观察期 为2000年7月 日至2006年6月30日，成员乙生于 1 1953年6月30日，并在2002年1月 日加入改组织， 1 乙的有序组（ i , zi）为多少？ y 解：（yi , zi） (48.5,53)
三、在不完整数据下估 S ( x)或l x的基本方法 计 . 1、先估计x岁生存的人在 x 1)岁前死亡的q x， ( 然后得到条件概率 x ; p 2、由S ( x) p 0 p1 p x 1 . 估计q x具体过程： 为了估计q x， 需要了解第i个人的有序数组 （yi , zi）与区间（x，x 1]的关系。
qx
mx 1 1 2
mx
b 假设l x t 服从指数分布（常死力 假设）假设 qx 1 e 1 em x
矩估计运用预计暴露数 得到的q x为一个近视值。 4、分组 对于特例B : 假定区间( x, x 1]上nx个观察对象，有 x个人的ri 0, b 其余k x nx bx的0 ri 1, 假定k x个人的ri的均值为r , 则 E ( Dx ) bx q x k x 1 r q x r d x 在双曲线假设下， r q x r 1 r）q x （ 1 得到：x q
si
ri
x
yi
有
zi
x 1
有0 ri 1或0 si 1 将观察( yi , zi )变为观察(ri , si )
特例A : 在区间（x, x 1]，如果有ri 0, si 1； 特例B : 在区间（x, x 1]，如果有0 ri 1, si 1； 特例C : 在区间（x, x 1]，如果有ri 0,0 si 1. 例4.2 一个观察期开始于 1985年1月 日，结束于某 1 一指定成员的生日， 年1月 日已在研究群体中 1985 1 的3个成员的生日日期如下 ： 成员 成员 1 成员2 成员3 生日 1964.4.1 1964.7.1 1965.10.1
3、暴露数 对于第i个观测对象，其在 x, x 1]上的有序组 ( 为（ri , si），则其总暴露数：
(s r )
i i i 1
n
（4.3.4）
(1)预计暴露数：即令在区 ( x, x 1]死亡的人的si 1下 间 计算得到的暴露数。矩 估计分母就是样本的预 计暴 露数。如例4.3. (2)确切暴露数：通过公式 4.3.4）得到的就是确切 （ 暴露数。
分别求出在区间（ ,21], 21,22]的(ri , si ). 20 （ 1、求（yi , zi）； 2、求(ri , si )。
4.2 单风险和双风险环境
x
x ri
x si
x 1
有0 ri 1或0 si 1 将观察( yi , z i )变为观察( ri , si )
例4.3中的确切暴露数为
(s r ) 0.5 0.75 0.75
i i i 1
5
0.5 0.25 2.75 (3)、确切暴露数的的意义 mx
观察到的在区间 ( x , x 1]死亡人数 在区间 ( x , x 1]的确切暴露数
a 假设l x t 服从均匀分布假设
例4.5 已知在区间（ ,33]上发生了 次死亡，死亡年龄 32 4 如下表所示：对所有的 死亡对象都有 i 1, i 1,2,3,4, s 已知m x 0.016, 则qx的矩估计为多少？ 32. x
死亡年龄
1 32.25
2 32.5
3 32.6
4 32.75
例4.6 在估计（x, x 1]区间上的死亡概率时， 在x岁时有 1000个观察对象，在 1 时加入了 x 2 100个观察对象，已知在该 区间上观察到 个 70 死亡事件，在年龄内死 力常数假设下， x ? q
' p x( d )表示死亡不在 t岁前发生的概率 x t ' p x( w)表示退出不在 t岁前发生的概率 x t
相应的有：x( d ) . q'
' p x( d ) t
t ' d) exp x( u du 0
' p x( d ) t
t ' d) exp x( u du 0
Var Q x nx , ri , si
si ri q x ri (1 si ri q x ri ) n si ri i 1
2
px qx n si ri i 1
2
4.3.2 矩估计的精算法 一、精算暴露数的概念 精算暴露数：实际观察 的暴露数，而不是预计 暴露数。 1、令观察对象 的预计结束年龄为 i， i z （） 1 如果x zi x 1, 则称第i个观察对象预计在年龄i x si (0 si 1)处退 z 出[ x, x 1]区间。 （2） 如果zi x 1, 则称第i个观察对象在区间x, x 1]上是生存的，或说预计 [ 在x si ( si 1)岁退出。
' q x( d )
1 ' d) 1 exp x( u du 0
或
' p x( w) t
t ' w) exp x( u du 0
' q x( w)
1 ' w) 1 exp x( u du 0
i 1 n
( si ri )
qx ( 2)求矩估计方差 假设Di为第i个对象的死亡数的随机 变量。有
Dx VarDx
D
i 1 n i 1
n
i n
E D
i i 1
n i 1
si ri q x ri (1 si ri q x ri )
i i i 1 n
则由（4.3.1 ）式，得到 E ( Dx ) q x qx
dx
i 1
x
( 4.3.2)
（ si ri）
n
( 4.3.3)
上式就是单风险情况下 的矩估计的一般形式。
2、特殊情形： A : 令ri 0, si 1 E ( Dx ) n x q x d x qx
dx n x (1 s ) c x
其余nx c x的si 1, 假定cx个人的si的均值为s,
例4.4 假设在区间（ , x 1]上有nx个观察对象，其中 x bx个人的ri 0, 其余的nx bx个人的0 ri r 1, 所有的 si 1, 求q x的估计量。（假设 r q x r (1 r ) q x） 1