2019届高三理科数学好教育单元训练金卷(A)综合测试(解析版附后)

2019届高三理科数学好教育单元训练金卷（A ）综合测试（解析
版附后）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．
12i
12i
+=-（ ） A ．43i 55
--
B ．43i 55
-+
C ．34i 55
--
D ．34i 55
-+
2．已知集合(){}
2
23A x y x
y x y =+≤∈∈Z Z ，，，，则A 中元素的个数为（ ）
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
3．函数()2
e e x x
f x x --=的图象大致为（ ）
4．已知向量a ，b 满足1=a ，1⋅=-a b ，则()2⋅-=a a b （ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>> ）
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y =
6．在ABC △中，cos 2C =
1BC =，5AC =，则AB =（ ）
A ．
B
C
D ．7．为计算111
11
123499100
S =-+-+
+
-
，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A ．1i i =+
B ．2i i =+
C ．3i i =+
D ．4i i =+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．
1
12
B ．
114
C ．
115
D ．
118
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA ，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ） A ．15
B
C
D
10．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．
π4
B ．
π2
C ．
3π4
D ．π
11．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =， 则()()()()12350f f f f ++++=（ ） A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
12．已知1F ，2F 是椭圆()222210x y C a b a b
+=>>:的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A
的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．
2
3
B ．
12 C ．13
D ．
14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线()2ln 1y x =+在点()0,0处的切线方程为__________．
14．若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则z x y =+的最大值为__________．
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45︒，若SAB △的
面积为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y
t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,
,7）建立模型②：ˆ9917.5y
t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
20．（12分）如图，在三棱锥P ABC -
中，AB BC == 4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
A
B
C
P
O
M
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
21．（12分）已知函数()2e x f x ax =-． （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在()0,+∞只有一个零点，求a ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩
，
（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率．
23．（10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()52f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
2019届高三理科数学好教育单元训练金卷（A ）综合测试（解析
版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．
12i
12i
+=-（ ） A ．43i 55
--
B ．43i 55
-+
C ．34i 55
--
D ．34i 55
-+
【答案】D
【解析】()2
12i 12i 34i
12i 55
++-+==
-，∴选D ． 2．已知集合(){}
2
23A x y x
y x y =+≤∈∈Z Z ，，，，则A 中元素的个数为（ ）
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
【答案】A 【解析】
223x y +≤，23x ∴≤，x ∈Z ，1x ∴=-，0，1．
当1x =-时，1y =-，0，1；当0x =时，1y =-，0，1； 当1x =时，1y =-，0，1． 所以共有9个，选A ．
3．函数()2
e e x x
f x x --=的图象大致为（ ）
【答案】B
【解析】错误！未找到引用源。

0x ≠Q ，()()2
e e x x
f x f x x ---==-，()f x ∴为奇函数，舍去A ， 错误！未找到引用源。

()11e e 0f -=->Q ，∴舍去D ；
()
()()()()24
3
e e e e 22e 2e x
x x x x x
x x
x x f x x x ---+---++'=
=
Q ，2x ∴>，()0f x '>错误！未找到引用源。

，所
以舍去C ； 故选B ．
4．已知向量a ，b 满足1=a ，1⋅=-a b ，则()2⋅-=a a b （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
【答案】B
【解析】错误！未找到引用源。

()()2
22221213⋅-=-⋅=--=+=Q a a b a a b a ，故选B ．
5．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>> ）
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y = 【答案】A
【解析】c e a ==Q 2222
221312b c a e a a -∴==-=-=，b a ∴，错误！未找到引用源。

因为渐近线方程为b
y x a
=±，所以渐近线方程为y =错误！未找到引用源。

，故选A ．
6．在ABC △中，cos 2C =
1BC =，5AC =，则AB =（ ）
A ．
B
C
D ．【答案】A
【解析】2
23
cos 2cos 12125C C =-=⨯-=-⎝⎭
Q ，错误！未找到引用源。

22232cos 125215325c a b ab C ⎛⎫
∴=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，c ∴=，故选A ．
7．为计算11111
123499100
S =-+-++-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A ．1i i =+
B ．2i i =+
C ．3i i =+
D ．4i i =+
【答案】B
【解析】由11111
123499100
S =-+-++-
L 错误！未找到引用源。

得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．
因此在空白框中应填入i i 2=+错误！未找到引用源。

，选B ．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．
1
12
B ．
114
C ．
115
D ．
118
【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，
共有2
10C 45=错误！未找到引用源。

种方法，因为7+23=11+19=13+17=30错误！未找到引用源。

，所以随机
选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为
31
4515
=错误！未找到引用源。

，故选C ． 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA ，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ） A ．15
B
C
D
【答案】C
【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0D 错误！未找到引用源。

，()1,0,0A
，(1B
，(1D
，(1AD ∴=-uuu r
错误！未找到
引用源。

，(1DB =u u u r ，
111111cos<,>AD DB AD DB AD DB ⋅==
=uuu r uuu r uu uuu r
uuu r Q uuu r u r 未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，∴异面直线1AD 错误！未找到引用源。

与1DB 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，故选C ． 10．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）
A ．
π4
B ．
π2
C ．
3π4
D ．π
【答案】A
【解析】因为(
)cos sin 4f x x x x π⎛
⎫=-=+ ⎪⎝⎭
错误！未找到引用源。

，
所以由()022,4k x k k π+π≤+≤π+π∈Z 错误！未找到引用源。

得()322,44
k x k k ππ
-+π≤≤+π∈Z ，错误！未
找到引用源。

因此[]π3π,,44a a ⎡⎤
-⊂-⎢⎥⎣⎦
，π,4a a a ∴-<-≥-，3π4a ≤，
π04a ∴<≤错误！未找到引用源。

，从而a 错误！未找到引用源。

的最大值为π
4错误！未找到引用源。

，故选A ．
11．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =， 则()()()()12350f f f f ++++=（ ） A ．50- B ．0
C ．2
D ．50
【答案】C
【解析】因为()f x 错误！未找到引用源。

是定义域为(),-∞+∞错误！未找到引用源。

的奇函数，且()()11f x f x -=+错误！未找到引用源。

，
所以()()11f x f x +=--错误！未找到引用源。

，()()()311f x f x f x ∴+=-+=-，4T ∴=，
因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦L 错误！未找到引用源。

， ()()()()3142f f f f =-=-Q ，错误！未找到引用源。

，()()()()12340f f f f ∴+++=错误！未找到引用源。

， ()()()()22220f f f f =-=-∴=Q 错误！未找到引用源。

，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==L 错
误！未找到引用源。

，故选C ．
12．已知1F ，2F 是椭圆()222210x y C a b a b
+=>>:的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．
2
3
B ．
12 C ．13
D ．
14
【答案】D
【解析】因为12PF F △错误！未找到引用源。

为等腰三角形，12120F F P ∠=︒错误！未找到引用源。

，所以2122PF F F c ==，
由AP 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

得，2tan PAF ∠=，2sin PAF ∴∠=，
2cos PAF ∠=
错误！未找到引用源。

，
由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠错误！未找到引用源。

，2225sin 3c a c PAF ∴===+-∠ ⎪⎝⎭， 4a c ∴=，1
4
e =
错误！未找到引用源。

，故选D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线()2ln 1y x =+在点()0,0处的切线方程为__________． 【答案】2y x = 【解析】∵21y x '=
+，∴2201
k ==+，∴2y x =． 14．若x ，y 满足约束条件250
23050x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则z x y =+的最大值为__________．
【答案】9
【解析】作可行域，则直线z x y =+错误！未找到引用源。

过点()5,4A 时错误！未找到引用源。

z 取最大值9．
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．
【答案】1
2
-
【解析】sin cos 1αβ+=Q ，cos sin 0αβ+=， ()()2
2
1sin cos 1αα∴-+-=，1sin 2α∴=
，1cos 2
β=， 因此()22111111
sin sin cos cos sin cos 1sin 1224442
αβαβαβαα+=+=⨯-=-+=-+=-．
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8，SA 与圆锥底面所成角为45︒，若SAB △的
面积为__________．
【答案】
【解析】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为
7
8
，所以母线SA ，SB ，
因为SAB △的面积为，设母线长为l ，所以212l ⨯=，280l ∴=，
因SA 与圆锥底面所成角为45︒，所以底面半径为cos 4l π，
因此圆锥的侧面积为2
2
rl l π==．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
【答案】（1）29n a n =-；（2）2–8n S n n =，最小值为–16． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-， 由17a =-得2d =．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-． （2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--， ∴当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．
18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y
t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,
,7）建立模型②：ˆ9917.5y
t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5；（2）利用模型②得到的预测值更可靠，见解析．
【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ30.413.519226.1y =-+⨯=(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ9917.59256.5y
=+⨯=(亿元)． （2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：（1）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（2）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值2261.亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠． 19．（12分）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
【答案】（1）–1y x =；（2）()()2
2
3216x y -+-=或()()2
2
116144x y -++=．
【解析】（1）由题意得()1,0F ，l 的方程为()()10y k x k =->，设()11,A x y ，()22,B x y ，
由()214y k x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得()
2222240k x k x k -++=， 2
16160k ∆=+>，故1222
24
k x k x ++=
， 所以()()122244
||||||11k AB A x F BF k x +=+=+++=，
由题设知2244
8k k +=，解得1k =-（舍去）
，1k =． 因此l 的方程为1y x =-．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为()3,2，所以AB 的垂直平分线方程为()23y x -=--，即5y x =-+， 设所求圆的圆心坐标为()00,x y ，
则0022
0005,
(1)(1)162
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22
116144x y -++=． 20．（12分）如图，在三棱锥P ABC -
中，AB BC == 4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
A
B
C
P
O
M
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2
． 【解析】（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥
，且OP = 连结OB
．因为AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1
22
OB AC =
=，由222OP OB PB +=知PO OB ⊥， 由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．
（2）如图，以O 为坐标原点，OB uu u r
的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．
由已知得()0,0,0O ，()2,0,0B ，()0,2,0A -，()0,2,0C
，(P
，(AP =uu u r
，
取平面PAC 的法向量()2,0,0OB =uu u r ，设()(),2,002M a a a -<≤，则(),4,0AM a a =-uuu r
，
设平面PAM 的法向量为(),,x y z =n ．由0AP ⋅=uu u r n ，0AM ⋅=uuu r
n ，
得()2040y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩
，可取
))
4,a a =--n ，
4cos ,a OB -∴<>=
uu u r
n ，由已知得cos ,OB <>=uu u r n ，
=
4a =-（舍去），4
3
a =，
43⎛⎫∴=- ⎪
⎪⎝⎭
n ，又(0,2,PC =-u u
u r Q ，所以cos ,PC <>=uu u r n ．
所以PC 与平面PAM ． 21．（12分）已知函数()2e x f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在()0,+∞只有一个零点，求a ．
【答案】（1）见解析；（2）2
e 4
．
【解析】（1）当1a =时，()1f x ≥等价于()
21e 10x
x -+-≤，
设函数()()
21e 1x g x x -=+-，则()()
()2
221e 1e x x
g'x x x x --=--+=--，
当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在()0,+∞单调递减， 而()00g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．
（2）设函数()21e x
h x ax -=-，()f x 在()0,+∞只有一个零点当且仅当()h x 在()0,+∞只有一个零点．
当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； 当0a >时，()()2e x
h x ax x -'=-．
当()0,2x ∈时，()0h'x <；当()2,x ∈+∞时，()0h'x >． ()h x ∴在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．
故()2421e
a
h =-
是()h x 在[)0,+∞的最小值． ①若()20h >，即2
e 4
a <，()h x 在()0,+∞没有零点；
②若()20h =，即2
e 4
a =，()h x 在()0,+∞只有一个零点；
③若()20h <，即2
e 4
a >，由于()01h =，所以()h x 在()0,2有一个零点，
由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以()()()33324421616161
411110e 2e a a a a a h a a a =-=->-=->． 故()h x 在()2,4a 有一个零点，因此()h x 在()0,+∞有两个零点． 综上，()f x 在()0,+∞只有一个零点时，2
e 4
a =
． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩
，
（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率．
【答案】（1）当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程tan 2tan y x αα=⋅+-；当cos 0α=时，l 错误！未找到引用源。

的直角坐标方程为1x =；（2）2-．
【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1416x y +
=， 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
()()2
2
13cos 42cos sin 80t
t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点()1,2在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得()122
42cos sin 13cos t t ααα
++=-
+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．
23．（10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()52f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
【答案】（1）{}23x x -≤≤；（2）(][),62,-∞-+∞U ．
【解析】（1）当1a =时，()24,1
2,1226,2x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
，可得()0f x ≥的解集为{}23x x -≤≤．
（2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥，
而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于24a +≥， 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞U ．。