【名师导学】数学(江苏理,提高版)大一轮复习练习：9.1平面的性质与空间直线的位置关系(含答案解析)

第 46 课平面的性质与空间直线的地点关系
【自主学习】
(本课时对应学生用书第117~118页 )
自主学习回归教材
1.( 必修 2P23 练习 2 改编 ) 用集合符号表示“点 P 在直线 l 外，直线 l 在平面α内”为.
【答案】 P l ， lα
【分析】考察点、线、面之间的符号表示.
2.(必修 2P26练习 2改编 )假如 OA ∥O1A 1， OB∥ O1B1，那么∠ AOB 与∠ A 1O1B1的大小关系为.
【答案】相等或互补
【分析】考虑两种状况.
12 改编) 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，对角线AD'与 BD 所成角的大小3. (必修2P31习
题
为.
【答案】 60°
【分析】∠ DBC' 就是对角线 AD' 与BD 所成角的平面角.
4. (必修 2P31习题 5改编 )以下说法中正确的选项是.( 填序号 )
①两两订交的三条直线共面；
②四条线段首尾相接，所得的图形是平面图形；
③平行四边形的四边所在的四条直线共面；
④若 AB ，CD 是两条异面直线，则直线AC ，BD 不必定异面 .
【答案】③
【分析】当三条直线交于一点时有可能不共面；间四边形；若 AB ，CD是两条异面直线，则直线四条线段首尾相接，所得的图形能够组成空AC ，BD 必定异面，可反证.
1. 公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内.它是判断直线在平面内的依照.
2.公义 2：假如两个平面有一个公共点，那么它们还有其余公共点，这些公共点的会合是经
过这个公共点的一条直线.它是判断两平面订交、作两个平面交线的依照.
3. 公义 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
推论 2：经过两条订交直线，有且只有一个平面.
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
.
4. 公义 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行.
5.等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向同样，那么这两个角相
等 .
6.空间两条直线的地点关系有以下三种：
地点关系共面状况公共点
订交在同一个平面内有且只有一个
平行在同一个平面内没有
异面不一样在任何一个平面内没有
【重点导学】
重点导学各个击破
多点共线与多线共点的证明
例 1 如图 (1) ，已知△ ABC 的各极点均在平面α外，直线 AB ，AC ， BC 分别交平面α于点 P，Q， R.求证： P， Q， R三点共线 .
(例 1(1))
【思想指引】依据公义2，选择适合的两个平面，只需证明R，Q，P三点都是这两个平
面的公共点即可证明这三点在这两个平面的交线上.
【解答】如图(2)，设△ ABC 确立了一个平面β，
(例 1(2))
由于点 R∈ BC ，所以 R∈ β.
又由于 R∈ α，所以 R在平面α和平面β的交线上 .
同理，点 P， Q也在平面α和平面β的交线上 .
而平面α和平面β的交线只有一条，故P，Q， R三点共线 .
【精重评论】(1) 证明点共线的方法：①先考虑两个平面的交线，再证明相关的点都是
这两个平面的公共点；②先选择此中两点确立一条直线，再证明其余点也在这条直线上.
(2)公义的正确运用，严实的逻辑推理过程，文字、符号、图形语言的转变是立体几何
的基本要求，也是高考考察的重点.
变式如图，已知 E， F， G，H 分别为空间四边形ABCD 的边 AB ， AD ， BC ， CD上的点，且直线 EF和 GH 交于点 P，求证： B ，D ，P三点在同向来线上.
(变式 )
【解答】由于 EF∩GH=P ，
所以 P∈ EF，P∈ GH.
由于 E∈AB ， F∈ AD ，所以 EF平面 ABD ，
所以 P∈平面 ABD.
由于 G∈ BC ， H∈ CD，所以 GH平面 BCD ，
所以 P∈平面 BCD.
由于平面 ABD∩平面 BCD=BD ，
所以 P∈ BD ，即 B， D， P三点在同向来线上.
点、线共面的证明
例 2已知直线l与三条平行直线a， b， c都订交，求证：直线l 与直线 a， b， c共面 .
【思想指引】先由两平行直线确立一个平面，再确立另一个平面，最后说明两平面重
合且直线 l在三条平行直线所确立的平面内即可.
【解答】如图，设直线 l与直线 a， b， c分别交于点 A ， B ， C，由于 a∥ b，所以过 a， b 可确立一个平面α.
(例 2)
由于 b∥ c，所以过 b， c可确立一个平面β.
由于 A ∈ a， B∈ b， C∈ c，且 A ， B， C∈ l，
所以 lα，lβ，
所以存在两条订交直线b，l 既在α内又在β内，
所以由公义 3及推论知α，β必重合，
所以直线 l与直线 a， b，c共面 .
【精重评论】证明几条线共面的方法：①先由相关元素确立一个基本平面，再证其余
的点 (或线 )在这个平面内；②先由部分点线确立平面，再由其余点线确立平面，而后证明这
些平面重合 .
变式如图， A ∈ l ，B∈ l， C∈ l， D l ，求证：直线 AD ， BD ， CD共面 .
(变式 )
【解答】由于 D l，所以过点 D及直线 l可确立一个平面α因.为 A ∈ l ，B∈ l ，C∈ l，所以A ， B， C∈ α，所以直线 AD ， BD ，CD 共面于α.
求异面直线所成的角
例 3 如图，在正方体 ABCD-A'B'C'D' 中 .
(1)哪些棱所在的直线与直线 BA' 是异面直线 ?
(2)求异面直线 BA' 与 CC'所成角的大小 .
(3)哪些棱所在的直线与直线 AA' 垂直 ?
(例 3)
【思想指引】找异面直线要严格依照定义，而要求角，先找角；要找角，先找平行.根据异面直线所成角的定义找到平面角，而后再借助解三角形求角的大小.
【解答】 (1)由异面直线的判断方法，可知与直线BA' 成异面直线的有B'C'， AD ， CC'，DD' ， DC ，D'C'.
(2)由 BB' ∥ CC'，可知∠ B'BA' 等于异面直线 BA' 与CC'所成的角，所以异面直线 BA' 与 CC' 所成的角为 45°.
(3) 直线 AB ， BC ， CD ，DA ， A'B' ， B'C' ，C'D' ， D'A' 与直线 AA' 都垂直 .
【精重评论】求异面直线所成的角的重点是借助平行关系找到平面角，而后再放到某
个三角形中求解角的大小，即“找角—求角”虽.然在近几年的高考取求角问题不太常有，
但仍需适合关注 .
变式如图，已知 A是△ BCD 所在平面外的一点，E， F分别是 BC ， AD 的中点 .
(1)求证：直线 EF与 BD 是异面直线；
(2)若 AC ⊥BD ， AC=BD ，求 EF与 BD 所成的角 .
(变式 )
【解答】 (1)假定 EF与 BD 不是异面直线，则EF与 BD 共面，进而 DF 与 BE 共面，即 AD 与BC 共面，所以 A ，B，C，D在同一平面内，这与 A 是△ BCD 所在平面外的一点相矛盾，故直
线 EF与 BD 是异面直线 .
(2)取 CD 的中点 G，连结 EG， FG，则 EG∥ BD ，所以订交直线 EF与 EG所成的角即为异
1
面直线 EF与 BD 所成的角 .在 Rt△ EGF中，由 EG=FG= 2 AC ，求得∠ FEG=45°，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°.
1.以下图形中，不必定是平面图形的是.( 填序号 )
①三角形；②菱形；③梯形；④四边相等的四边形.
【答案】④
2.已知α∩β，=maα，bβ，a∩ b=A，那么直线m与点 A 的地点关系可用会合符号表示为.
【答案】 A ∈ m
3.如图，已知正方体 ABCD-A'B'C'D' 的棱长为 a ，则直线 BA' 和 AD' 所成的角的大小为.
(第3题)
【答案】 60°
【分析】连结 BC'，A'C' ，易知△ A'B C' 是正三角形，且有 B C' ∥ AD' ，所以∠ A'B C' 就是直线BA' 和 AD' 所成的角，又∠ A'B C'=60 ，°所以直线 BA' 和 AD' 所成的角的大小为 60°.
4.如图，已知ABCD-A 1B 1C1D1是棱长为3的正方体，点 E 在 AA 1上，点 F 在 CC1上，且AE=FC 1=1，求证： E， B， F， D1四点共面 .
(第4题)
【解答】在 DD 1上取一点 N使得 DN=1 ，连结 CN ， EN，明显四边形CFD 1N是平行四边形，所以 D1 F∥ CN.
同理，四边形DNEA 也是平行四边形，
所以 EN∥ AD ，且 EN=AD.
又 BC ∥ AD ，且 AD=BC ，
所以 EN∥ BC ，EN=BC ，
所以四边形 CNEB 是平行四边形，
所以 CN∥BE ，即 D 1F∥ BE ，
故 E， B， F， D 1四点共面 .
一鼓作气，事半功倍.请老师部署同学们达成《配套检测与评估》中的练习第91~92页 .
【检测与评估】
第九章立体几何初步
第 46课平面的性质与空间直线的地点关系
一、填空题
1．给出以下三个命题：
①书桌面是平面；
②有一个平面的长是50 m，宽是 20 m ；
③平面是绝对的平、无厚度，能够无穷延展的抽象数学观点.
此中正确命题的个数为.
2．空间中，能够确立一个平面的条件是.(填序号 )
①两条直线；②一点和一条直线；
③一个三角形；④三个点 .
3．已知平面α与平面β，γ都订交，那么这三个平面的交线可能有条.
4．两条异面直线所成的角的范围为.
5．假如两条直线a和 b没有公共点，那么 a与 b的地点关系是.
6．假如 OA ∥ O1A 1，OB∥ O1 B1，且OA
与
O
1
A
1方向同样，而OB 与O1B1方向相反，那么∠
AOB 与∠ A 1O1B 1.
7．在以下图的正方体中，M ， N 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点，则异面直线AC 和 MN 所成的角的大小为.
(第7题)
8．以下命题中错误的选项是.(填序号 )
①和同一条直线都订交的两条直线在同一平面内；
②三条两两订交的直线在同一平面内；
③有三个不一样公共点的两个平面重合；
④三条两两平行的直线确立三个平面.
二、解答题
9．在以下图的正方体ABCD-AB'C'D' 中， E是棱 A'D' 的中点 .
(1)求异面直线 AE 和CC'所成角的正切值；
(2)找到直线 AE 和 BA' 所成的角 .
(第9题)
10．如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ， AB ， BC，DC ， AD( 或延伸线 )分别与平面α订交于点 E， F， G，H ，求证： E， F， G， H必在同一条直线上 .
(第 10题 )
11．如图，在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，对角线 A 1C与平面 BDC 1交于点 O，AC ，BD 交于点
M ， E为AB 的中点， F为 AA 1的中点 .
(1)求证： C1， O， M 三点共线 .
(2)求证： E，C， D1， F四点共面 .
(第 11题 )
三、选做题
11 12．如图，四边形ABEF 和 ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠ FAB=90°， BC2 AD，BE2 FA，G， H分别为 FA， FD 的中点 .
(第 12题 )
(1)求证：四边形 BCHG 是平行四边形 .
(2)问： C，D ， F， E四点能否共面 ?为何 ?
【检测与评估答案】
第九章立体几何初步第 46课平面的性质与空间直线的地点关系
1． 1
2．③
3． 1， 2或3
π
，
4．2【分析】注意异面直线所成的角不可以为0.
5．平行或异面
6．互补
7． 60°【分析】结构△ACD 1，而后再借滋长度关系求∠CAD 1的大小 .
8．①②③④【分析】和同一条直线都订交的两条直线能够异面；三条两两订交的直线若
交于一点，能够异面；有三个不一样公共点的平面能够订交；三条两两平行的直线能够共面.
9． (1)由于AA' ∥ BB' ∥CC'，故 AE 和 AA' 所成的锐角∠A'AE 就是 AE 和CC'所成的角 .
A'E 11
在 Rt △ AA'E 中， tan∠A'AE=AA'=2，所以 AE 和CC'所成角的正切值是 2 .
(2)如图，取 B'C'的中点 F，连结 EF， BF ，
EF A'B'AB ，
所以四边形 ABFE 是平行四边形，
进而 BF∥ AE 且 BF=AE ，
所以 BF与 BA' 所成的锐角∠A'BF 就是 AE 和 BA' 所成的角 .
(第9题)
10．由于AB ∥CD，所以由于 AD∩α =H， H ∈平面同理， F， G，E都在平面AB ， CD 确立平面 AC.
AC ，H ∈ α，由公义 2可知， H 必在平面 AC 与平面α的交线上 . AC 与平面α的交线上，所以E， F，G， H必在同一条直线上.
11． (1)由于 C1， O， M ∈平面 BDC 1，且 C1， O， M ∈平面 A 1ACC 1，由公义 2知，点 C1，O，M 在平面 BDC 1与平面 A 1ACC 1的交线上，所以 C1，O， M 三点共线 .
(2) 连结 A 1B， CD 1， EF.
由于 E，F分别是 AB ， A 1A 的中点，
所以 EF∥ A 1B.
由于 A 1 B ∥ CD 1，所以 EF ∥ CD 1，
所以 E ，C ， D 1， F 四点共面 .
1
12． (1)由 G 是 FA 的中点， H 是 FD 的中点，得 GH 2
AD.
1
又BC 2
AD ，所以 GH BC ，
所以四边形 BCHG 为平行四边形 .
(2) 方法一： C ， D ，F ， E 四点共面 .原因以下：
1
由 BE 2
AF ， G 为 FA 的中点，知 BE FG ，所以四边形 BEFG 为平行四边形，
所以 EF ∥ BG.
由 (1) 知BG ∥ CH ，
所以 EF ∥ CH ，所以 EF 与 CH 共面 .
又 D ∈FH ，所以 C ， D ， F ， E 四点共面 .
方法二： C ， D ， E ，F 四点共面 .原因以下：
如图，延伸 FE ，DC 分别与 AB 的延伸线交于点 M ，M'.
1
由于 BE 2
AF ，所以 B 为 MA 的中点 .
1
由于 BC 2
AD ，所以 B 为M'A 的中点 .
所以 M 与 M' 重合，即 FE 与 DC 的延伸线交于点 M(M') ，所以 C ， D ， F ，E 四点共面 .
(第 12题 )。