【精编文档】河南省开封第二十五中学2018-2019学年高二数学下学期期中试卷理.doc

开封二十五中2020届高二下期期中考试
数学(理)试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合}1|{<=x x A ，集合}11
|
{<=x
x B ，则=B A （ ） A ．∅ B ．}1|{<x x C ．}10|{<<x x D ．}0|{<x x 2．已知复数z 满足：i z i -=+1)2(，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ）
A ．i 5351-
B ．i 5351+
C ．i -31
D ．i +3
1
3．ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,则“b a >”是“B A 2cos 2cos <”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
4．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1=xy ，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） A ．
42ln 23- B ．42ln 21+ C ．4
2ln 25- D ．42
ln 21+-
5．若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ＝5，方差s 2＝2，则数据3x 1＋1,3x 2＋1,3x 3＋1，…，3x n ＋1的平均数和方差分别为( ) A ．5,2 B ．16,2 C ．16,18 D ．16,9
6．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．
7．函数||log |
1|1
)(x x x x f a ++=
（10<<a ）的图象的大致形状是（ ）
8．已知函数)sin()(ϕω+=x x f （2
||,0π
ϕω<>）图象相邻两条对称轴之间的距离
为
2π
，将函数)(x f y =的图象向左平移3
π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ）
A. 关于点)0,12(π对称
B. 关于点)0,12(π-对称
C. 关于直线12π
=x 对称 D. 关
于直线12π
-=x 对称
9．在A B C ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和
μ，使得μλ+=，则=+μλ（ ）
A ．21
B ．2
1
- C ．2 D ．2-
10．在锐角ABC ∆中，B A 2=，则AC
AB
的取值范围是（ ）
A ．)3,1(-
B ．)3,1(
C ．)3,2(
D ．)2,1(
11．已知实数y x ,满足⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
≥--≥≤x y x y x y 32)1(32，则1+x y 的最大值为（ ）
A ．52
B ．92
C ． 21
D ．13
6
12．已知函数)0(4
)(>+=x x
x x f ，P 是)(x f y =图象上任意一点，过点P 作直线
x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，又过点P 作曲线)(x f y =的切线，交直线x y =和y 轴于点H G ,.给出下列四个结论：①||||PB PA ⋅是定值；②⋅是定
值；③||||OH OG ⋅（O 是坐标原点）是定值；④⋅是定值. 其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①②③④ 二、填空题（每题5分，满分20分）
13．如果n x x )13(-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41
x
的系数
是 .
14．设抛物线y x 42=的焦点为F ，点B A ,在抛物线上，且满足λ=，若
2
3
||=
，则λ的值为 . 15．等比数列{}n a 的首项为2，数列{}n b 满足12
432,4n
b n a a a b b ==+，则
n b = .
16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某
双曲线型冷却塔是曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 与直线0=x ，0=y 和b y =所围成
的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为
.
三、解答题 （本大题共6题，）
17．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列.
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11+=
n n n a a b ，*N n ∈，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使19
3
<n S 成立的最大的正整数n .
18．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上
.
（1）求证：平面⊥ACD 平面BCD ； （2）当2=AD
AB
时，求二面角B AC D --的余弦值.
19.某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,35](单位:百元)内的手机的利润情况,从2015年度销售的一批手机中随机抽取100部,按其价格分成6组,频数分布表如下:
(1)
试根据上述表格中的数据,完成频率分布直方图
;
(2)用分层抽样的方法从这100部手机中共抽取20部,再从抽出的20部手机中随机抽取2部,用X 表示抽取价格在区间[20,35]内的手机的数量,求X 的分布列及数学期望E (X ). 20．已知直线1l ：x y 33=
，2l ：x y 3
3-=，动点B A ,分别在直线1l ，2l 上移动，32||=AB ，M 是线段AB 的中点.
（1）求点M 的轨迹E 的方程；
（2）设l 不经过坐标原点O 且斜率为k 的直线交轨迹E 于点Q P ,，点R 满足
+=，若点R 在轨迹E 上，求四边形OPRQ 的面积.
21．已知f(x)＝2xln x ，2x -a x g x x 2
3
++=）（
(1)如果函数g(x)的单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13，1，求函数g(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，求函数y ＝g(x)的图象在点P(－1，g(－1))处的切线方程； (3)已知不等式f(x)≤g ′(x)＋2恒成立，若方程ae a －m ＝0恰有两个不等实根，
求m的取值范围．
22．在直角坐标系xOy中，直线C
1：x＝－2，圆C
2
：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐
标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C
1，C
2
的极坐标方程；
(2)若直线C
3的极坐标方程为θ＝
π
4
(ρ∈R)，设C
2
与C
3
的交点为M，N，求△C
2
MN
的面积．
数学期中试题（理）参考答案
一、选择题
1．【解析】因为{}1101B x x x x x ⎧⎫
=<=<>⎨⎬⎩⎭或，所{}0A B x x =<.故选D.
2．【解析】. (2i)1i z +=-1i (1i)(2i)2i 5z ---=
=+13
i 55
=-，所以z 的共轭复数为13
i 55
+.故选B. 3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得
22cos 2cos 212sin 12sin A B A B <⇔-<-
22sin sin sin sin A B A B ⇔>⇔>a b ⇔>.故选C.
4.【解析】根据条件可知，122E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，阴影部分的面积为()2
2
1
12
2
1112d 2ln 22ln 2ln 32ln 222x x x x ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫-=-=
---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎰
，
所以，豆子落在阴影部分的概率为4
2
ln 23-.故选A. 5.∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为5， ∴
x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n
n ＝5，
∴
3x 1＋3x 2＋3x 3＋…＋3x n
n
＋1＝3×5＋1＝16，
∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为2，
∴3x 1＋1,3x 2＋1,3x 3＋1，…，3x n ＋1的方差是32×2＝18. 故选 C. 6.D
7.【解析】()()log 11
()log log 101log 0.a a a a x x x f x x x x x x x --<-⎧⎪+=
=--<<⎨+⎪>⎩，，，，，
故选C. 8.【解析】由函数()y f x =图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2
可知其周期为π，所以2π
2π
ω=
=， 所以()()sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移
π
3
个单位后，得到函数
πsin 23y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
图象.因为得到的图象关于y 轴对称，
所以ππ
2π32k ϕ⨯+=+，z k ∈，即π
π6
k ϕ=-，z k ∈. 又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以π()sin 26f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，其图象关于点π012⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称. 故选A.
9. 【解析】因为点D 在边BC 上，所以存在R t ∈，使得
()
BD tBC t AC AB ==-.
因为M 是线段AD 的中点，所以
()()
()1111
12222
BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =
+=-+-=-++
又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-
+，1
2
t μ=， 所以1
2
λμ+=-. 故选B.
10.【解析】 sinB )3sin(sin sin B B C AC AB -==π2sin 33-4sin sinB
B
B ==.
因为ABC ∆是锐角三角形，所以()π02π022π0π22B B B B ⎧
<<⎪⎪
⎪
<<⎨⎪
⎪
<-+<⎪⎩
，，，
得
ππ64B <<211sin ()42B ⇒∈，.所以234sin (12)AC
AB B =-∈，.故选D. 11. 【解析】 作可行域，如图阴影部分所示.
1y x +表示可行域内的点()x y ，与点()10-，连线的斜率. 易知1142A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，1123B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，9342C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，. 当直线()1y k x =+
与曲线y =1
2
k =
，切点为()11，，所以切点位于点A 、C 之间.
因此根据图形可知，1y x +的最大值为1
2
.故选C.
12． 【解析】① 设4P m m m ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，
，则4
||||||||m m PA PB m +
-⋅==
=，为定值，所以①正确；②因为四边形OAPB 四点共圆，所以0135=∠APB ，又由①知
22||||=⋅PB PA ，
所以2)2
2
(22-=-
⨯=⋅，为定值，故②正确； ③ 因为2
4()1f x x '=-
，所以过点4P m m m ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，的曲线()y f x =的切线方程为()2441y x m m m m ⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22G m m ，，80H m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
，所以
8
|||||||
OG OH m m ⋅=⨯
=. ④
2
222
4441682PG PH m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⋅=-⋅--=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，，，不是定值，
故④不正确, 故选C.
二、填空题
13．-189； 14．2
1
； 15．()12n n +； 16． 24π3a b .
13. 【解析】令1x =，得展开式中各项系数之和为2n .由2128n =，得7n =，所以展开式的通项为7372
17
(1)3
r r
r
r
r T C x
--+=-⋅⋅.
由
7342r -=-，得5r =，展开式中41x
的系数是5755
7(1)3189C --⨯⨯=-. 14. 【解析】设()11A x y ，，()22B x y ，.
因为抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1)F ，准线为1y =-， 所以由32AF =
，得1312y +=，所以11
2
y =，x 12=4y 1=2. 由 AF FB λ=得()121211x x y y λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，， 即2112
1111 1.2x x y y λ
λλ⎧
=-⎪⎪⎨-⎪=+=+⎪⎩
，
因为x 22=4y 2，所以)121(
4)1
(21+=-
λλ
x . 解得1
=2
λ或1λ=-（舍）. 注：若知抛物线22(0)x py p =>的焦点弦的如下性质：112
||||FA FB p
+=，可更快地求出结果。

15.
()12
n n +
16. 【解析】设点()00A x y ，，则00a B y y b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以圆环的面积为2
2
00ππa x y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 因为2200221x y a b -=，所以22
2
2002a y x a b
=+，所以圆环的面积为
2
2222002πππa y a a y a b b ⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭.
根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的体积等于底面半径为a 、高为b 的圆柱的体积，所以冷却塔的体积为：
22214
πππ33
a b a b a b +=.
三、解答题
17．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则2(1)n a n d =+-，*N n ∈.
由
11
a +，
21
a +，
41
a +成等比数列，得
()
()()2
214111a a a +=+
+，
………………2分 即()()2
3333d d +=+，得0d =（舍去）或3d =. ……………… 4分
所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-，*N n ∈. ………………6分
（Ⅱ）因为()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎡⎤
===-⎢⎥-+-+⎣⎦
， ………………8分 所
以
()111111111111325358331323232232n n
S n n n n ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤=-+-+
+-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
. 由3
19
n S <
，即
()323219n n <+，得12n <. ………………10分 所以使3
19
n S <
成立的最大的正整数11n =. ………………12分
18．【解析】（I ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE
则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥.
因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，
所以BC AD ⊥.又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面
ACD ，
所以平面ACD ⊥平面BCD .
………………
5分
（II ）方法1：在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME .
因为DE ⊥平面ABC DE AC ⇒⊥，又DM ∩DE=D 所以AC ⊥平面DME EM AC ⇒⊥， 所以DME ∠为二面角D AC B --的平面
角. ………………8分
设AD a =，则2AB a =.
在ADC ∆中，易求出5
AM =
，5DM =.
在AEM ∆
中，
1tan 2EM BAC EM AM =∠=⇒=， 所以1
cos 4
EM DME DM ∠=
=. ……………… 12分 方法2：以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ……………… 6分
设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，. 由（I ）知AD BD ⊥，又
2AB
AD
=，所以30DBA ∠=°，60DAB ∠=°，那么1cos 2AE AD DAB a =∠=
，3
2
BE AB AE a =-=
，sin DE AD DAB =∠=， 所以3022D a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，所以1022AD a a ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，，，
()20AC a a =-，，. ………8分
设平面ACD 的一个法向量为()m x y z =，，，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
，
即
102220.ay az ax ay ⎧+
=⎪⎨⎪-+=⎩
， 取1y =，则2x =
，3z =-，
所以123m ⎛=- ⎝
⎭，，. ………………10分
因为平面ABC 的一个法向量为()001n =，，，
所以1cos 4m n m n m n
⋅〈〉==
=-，
. 所以求二面角D AC B --的余弦值为
1
4
. (12)
分
19．【解析】：((1)价格在区间[5,10)内的频率为=0.05,
价格在区间[10,15)内的频率为=0.25, 价格在区间[15,20)内的频率为=0.2,
价格在区间[20,25)内的频率为=0.15, 价格在区间[25,30)内的频率为=0.25,
价格在区间[30,35]内的频率为=0.1.
频率分布直方图如下图:
(2)因为各层抽取的手机数量之比为1∶5∶4∶3∶5∶2,故在抽取的20部手机中,价格在区间[20,35]内的手机有20×=10部,X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,
X的分布列为
X0 1 2
P
E (X )=0×+1×+2× ………………12分
20.【解析】（I
）根据条件可设)A
m ，
，()
B n ，
，由AB =:
223()()12m n m n ++-=.
………
………2分
设()M x y ，
，则)
22
m n x m n y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，，
得2.m n m n y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩② 将①和②代入2
2
3()()12m n m n ++-=中并化简得： 2
219
x y +=.
所以点M 的轨迹E 的方程为
2
219
x y +=. ………………5分 （II ）设直线l 的方程为y kx m =+，),(11y x P ，),(22y x Q ，()00R x y ，.
将y kx m =+代入2
219x y +=，整理得 0)1(918)91(222=-+++m kmx x k .
则 122
1819km
x x k
+=-+，222191)1(9k m x x +-=. ………………6分
212121222
182()221919k m m
y y kx m kx m k x x m m k k +=+++=++=-+=++.
因为O R O P =+，则有：
0122
1819km
x x x k =+=-
+，
0122
219m
y y y k
=+=
+. …… 7分 因为()00R x y ，在椭圆上，191299118222
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k m k km ， 化
简得：
22419m k =+. ………………8分
所以m
k
x x 2921-=+，2
2214)1(9m m x x -=， 因为]4))[(1(||212
212
x x x x k PQ -++=]4)
1(94)29)[(1(2
222
m m m k k -⨯--+=
)449)(1(||23222+-+=
m k k m )1(3|
|23
2k m += . ……………… 9分
又
点O 到PQ 的距离为
2
1||k
m h +=
. ………………10分
由OR OP OQ =+，可知四边形OPRQ 为平行四边形，
h PQ S S OPQ OPRQ ⋅==∆||223
31||)1(3||2322=
+⨯+=
k
m k m . ……………… 12分
拓展: 此题结论可推广到更一般情形:
第(Ⅰ))题中, 直线1l 、2l 只要不垂直,轨迹均为椭圆, 1l 、2l 垂直时,轨迹为圆;
第(Ⅱ)题中结论可推广到更一般情形:
设不经过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 交椭圆:)0(122
22>>=+b a b
y a x 于点
P 、Q ，点R 满足OR OP OQ =+. 若点R 在椭圆上，则四边形OPRQ(或OPQ ∆)的面积为定值。

21．【解析】解 (1)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，
由题意知，3x 2＋2ax －1<0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13，1，即3x 2＋2ax －1＝0的两根分别是－
1
3
，1，
代入得a＝－1，∴g(x)＝x3－x2－x＋2. ……………… 3分(2)由(1)知，g(－1)＝1，
∴g′(x)＝3x2－2x－1，g′(－1)＝4，
∴点P(－1,1)处的切线斜率k＝g′(－1)＝4，
∴函数y＝g(x)的图象在点P(－1,1)处的切线方程为y－1＝4(x＋1)，
即4x－y＋5＝0. ……………… 6分(3)由题意知，2x ln x≤3x2＋2ax＋1对x∈(0，＋∞)恒成立，
可得a≥ln x－3
2
x－
1
2x
对x∈(0，＋∞)恒成立．
设h(x)＝ln x－3
2
x－
1
2x
，
则h′(x)＝1
x
－
3
2
＋
1
2x2
＝－
x－13x＋1
2x2
，
令h′(x)＝0，得x＝1，x＝－1
3 (舍)，
当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0，
∴当x＝1时，h(x)取得最大值，h(x)max＝h(1)＝－2，∴a≥－2.
令φ(a)＝a e a，则φ′(a)＝e a＋a e a＝e a(a＋1)，
∴φ(a)在[－2，－1]上单调递减，
在(－1，＋∞)上单调递增，
∵φ(－2)＝－2e－2＝－2
e2
，φ(－1)＝－e－1＝－
1
e
，
当a→＋∞时，φ(a)→＋∞，
∴方程a e a－m＝0恰有两个不等实根，……………… 12分22.【解析】(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，………………2分
C
2
的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. ………………4分
(2)将θ＝π
4
代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.
故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝ 2.
由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为
1
2
. ………………10分
.。