波动2

波动
【解析】
(1) Q v = λν v 100 × 10−2 ∴ν = = = 0.5 Hz −2 λ 200 × 10 (2) 在 t = 0 时，x0 = 0，v0 < 0 ∴ ϕ = tan
−1
v0 π = x0ω 2
π y = 10cos(π t + ) = −10sin π t cm 2
波动
【解析】
从声源 T 发出的声波沿不同路径到达 C 点，沿 TBC 的路 程为 l1，沿 TAC 的路程为 l2。 在 B 移动前，两途径的路程差为 (2n1 + 1) ∆l1 = l1 − l2 = λ 2 在 B 移动了 l 距离后，两途径的 路程差为 (2n2 + 1) ∆l2 = ∆l1 + 2l = λ 2
∴ y2 = 0.2cos(π t + 1.5π x + 1.4π ) m
波动
【解析】
(2) 合成驻波的方程为 y = y1 + y2 = 0.2cos(π t − 1.5π x + 0.4π )+0.2cos(π t + 1.5π x + 1.4π ) = 0.4cos(1.5π x + 0.5π )cos(π t + 0.9π ) = 0.4sin1.5π x cos(π t + 0.9π ) m 各波腹位置 2n + 1 1.5π x = π 2 2n + 1 ∴x = (m) ( n = 0, ±1, ±2L) 3 1 1 5 LL − 1, − , , 1, LL 3 3 3
波动
【解析】
(1) t1 = 2.5 s 时，波传过的距离
x1 = vt1 = 2.5 × 2.5 = 6.25 cm
t = 2.0 s 时，原点处于振幅最大值，此最大值在 t = 2.5 s 时传到距离 x’ 处 x′ = vt = 2.5 × (2.5 − 2.0) = 1.25 cm
波动
【解析】
波动
【新课标提醒】质点振动方向的判定： µ带动法 波的形成和传播过程中，前一质点的振动带动后一相邻质点 的振动，后一质点重复前一质点的振动形式。只要知道某点 振动方向或波的传播方向，再通过比较某质点的位移与它相 邻质点的位移进行比较，即可判断波的传播方向或确定该质 点的振动方向。
波动
【解析】
(2) 波速等于单位时间内波传播的距离。 s 0.5 + 2n v= = = (0.5 + 2n) cm/s (n = 0, 1, 2 L ) 1 t
(2) t 2 = 12.5 s 时，波传过的距离
x2 = vt 2 = 2.5 × 12.5 = 31.25 cm
31.25 − 25 = 6.25 cm 即反射波往左传播了 6.25 cm
波动
【解析】
(3) t 3 = 10.5 s 时，波传过的距离
x3 = vt 3 = 2.5 × 10.5 = 26.25 cm
波动
【解析】
(5) 在 t = 3.25 s 时 P 点的位移和速度为 π y P = −10cos 3.25π = 10cos = 5 2 cm 4 v P = 10π sin 3.25π = −5 2π cm/s (6) 在 t = 3.25 s 时，波形方程为 π π π y = 10cos(3.75π − x ) = 10cos( x + ) cm 100 100 4
波动
【例题 8】火车以 v = 25 m/s 的速度鸣着频率 v0 = 500 Hz 的汽笛声从站在铁轨旁的人的身边驶过，求此人听 到的频率变化为多大？已知声音在空气中传播的速度 V = 340 m/s。
波动
【例题 4】有两列平面简谐波沿 x 轴反向传播，这两列 波的频率、振动方向和振幅都相同，图上实线与虚线分 别表示某时刻向 +x 方向和 –x 方向传播的波形图。 (1) 画出该时刻合成波的波形图； (2) 在图上位于 x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8 这八个 点中，哪几个点的振幅最大？哪几个点的振幅最小？
波动
【解析】
各波节位置 1.5π x = nπ 2n (m) ( n = 0, ±1, ±2L) ∴x = 3
4 2 2 4 LL − , − , 0, , LL 3 3 3 3
波动
【半波损失】
在波向前传播途中垂直的遇到障碍物(或遇到另一种介质的边 界面)发生反射时，由于反射波和入射波是传播方向相反的相干 波，因而干涉叠加的结果，就会形成驻波。
波动
【解析】
因 B 的移动对应两个相邻的极小位置，故有

n2 − n1 = 1 ∴ ∆l2 − ∆l1 = 2l = λ
因此声波的频率为 v v 340 ν = = = = 3.1 kHz −2 λ 2l 11 × 10
波动
【例题 6】 一根长度大于 100 cm 的均匀弦线沿 x 轴方向拉紧固 定。现对离固定的左端 25 cm 处(取该点为原点O) 的弦上点施加 一垂直于弦方向(y 方向)的扰动，其位移随时间的变化规律如图(b) 所示。该扰动沿弦线传播形成孤立的脉冲波，已知波速 v = 2.5 cm/s，且在传播与反射过程中无能量损失。(1) 试在图(a)中画出 自O点向右传播的波在 t = 2.5 s 时的波形图。(2) 该波向右传播到 固定点时将发生反射，反射波向左传播，试画出 t = 12.5 s 时的波 形图。(3) 试画出 t = 10.5 s 时的波形图。
第二十八讲 波 动（二）
方小敏
波动
八、声波的多普勒效应
当声波源与接收声波的接收者沿一条直线相对介质在运 动，则接收者接收到的声波频率与声源发 出的频率不一致，这种现象称为多普勒效应。
例如：当鸣笛的火车开向站台，站台 上的观察者听到的笛声变尖，即频率 升高；相反，当火车离开站台，听到 的笛声频率降低。 奥地利物理学家多普勒 (1803—1853)
波动
【解析】
(3) 2π π Qk = = λ 100 π π ∴ 波的方程为 y = 10cos(π t − x + ) cm 100 2 (4) 在 x = 150 cm 处 P 点的运动方程 150 π y = 10cos(π t − π + ) = 10cos(π t − π ) 100 2 = −10cos π t cm
波动
【例题 5】采用干涉法测定声音振动的频率，如图所 示。图中 T 是声源，A、B 是由空的金属管做成的弯 头，B 可以移动，M 是助听器，观察者可移动弯头 B 的位置，用助听器来监听调节声音的强弱，当 B 移动 了距离 l = 5.5 cm 时，监听到声音从一个极小过度到下 一个极小，试求此声音的振动频率。已知声波传播的速 度 v = 340 m/s。
波动
【解析】
π π π y = 10cos(3.75π − x ) = 10cos( x + ) cm 100 100 4
波形图
波动
【例题 2】一平面简谐波沿 x 负方向传播，某时刻 t 的 波形如图中实线所示，图中虚线是经过 1 秒后的波形， 已知 A、B 之间的距离为 1 cm，试求： (1) t 时刻，A 点的运动方向； (2) 此波传播的速度 v。
波动
【解析】
(1) A 点运动方向为 –y 方向；
波动
【新课标提醒】质点振动方向的判定： µ上下坡法 “上下坡法”是把波形图线比喻为凸凹的路面，凸凹路面就有 上坡段和下坡段，沿着波的传播方向看去，位于上坡段的质 点，则向下运动，位于下坡段的质点，则向上运动；反之， 向上运动的质点，必位于下坡段，向下运动的质点，必位于 上坡段。
波动
【例题 3】水面上两小木块随水波作上、下反相位的振 动，两小木块相距 1 m，振动周期 T = 1.1 s，求水波的 速度 v。
波动
【解析】
两小木块振动的相位差 ∆ϕ = (2n + 1)π , ( n = 0, 1, 2L) 而 ∆ϕ = k ∆x = 2π 2π ( x2 − x1 ) = λ λ 2 ∴λ = m 2n + 1
26.25 − 25 = 1.25 cm 即反射波往左传播了 1.25 cm
波动
【例题 7】一列平面简谐波沿 x 轴方向传播，波的方程 为 y1 = 0.2cos(π t − 1.5π x + 0.4π ) m ，在 x = 0 的固定端发 生全反射。 (1) 求反射波的方程； (2) 求出合成驻波的方程以及各波节和波腹的位置。
ν0 ：声源发出的频率。
波动
3、波源运动(u≠0), 接收者运动(v≠0）的情况
V +v V +v ν = ν0 = λ0 − uT V − u
V +v ν = ν0 V −u
u ：波源相对介质的速度； v ：接收者相对介质的速度； V ：声波在介质中的传播速度；
ν0 ：声源发出的频率。
波动
【例题 1】一列简谐波沿一弦线沿 x 方向传播，波速 v = 100 cm/s，波长λ= 200 cm，弦上各点振动的振幅 A = 10 cm，在 t = 0 时刻，x = 0 处该点的位移为零，且向 下运动，试求: (1) 波的频率ν；(2) x = 0 处质点的运动 方程；(3) 波的方程；(4) x = 150 cm 处 P 点的运动方 程；(5) t = 3.25 s 时 P 点的位移和速度；(6) t = 3.25 s 时 的波形图(400 cm 内)
2π ∴ = (2n + 1)π λ 而波速 v = λν =
λ 2 = m/s (n = 0, 1, 2L ) T (2n + 1) × 1.1
波动
【解析】
当 n = 0 时，v0 = 1.82 m/s 当 n = 1 时，v1 = 0.61 m/s 当 n = 2 时，v2 = 0.36 m/s 2 λ v = λν = = m/s (n = 0, 1, 2L ) T (2n + 1) × 1.1
波动
【半波损失】
当入射波垂直入射到界面，且界面为固定端(其位移始终为零)时，端 点处一定为波节，即入射波与反射波在端点的振动相位差一定是π，说 明入射波在固定端反射时其相位有π的突变，它相当于半个波长的波程 差，我们把入射波反射时发生相位突变π的现象叫半波损失。
波动
【半波损失】
当界面为自由端时，该处出现波腹，入射波和反射波同相位，说明 反射时没有相位突变，不产生半波损失。一般情况下，入射波在两种介 质的分界面上反射时是否产生半波损失，取决于介质的密度和波速之乘 积ρv,ρv 相对较大的称为波密介质，相对较小的称为波疏介质。当波 从波疏介质向波密介质入射时，反射波就出现半波损失，反之，无半波 损失。
波动
2、波源运动(u≠0), 接收者静止(v = 0）的情况
λ = λ0 − uT V V V ∴ν = = = λ λ0 − uT V − u ν0 ν0 V ν0 = V −u V ν = ν0 V −u u ：波源相对介质的速度； v ：接收者相对介质的速度； V ：声波在介质中的传播速度；
波动
【解析】
(1) 设反射波的方程为
y2 = 0.2cos(π t + 1.5π x + ϕ ) m
在反射端 x = 0 处，入射波与反射波激起振动的相位分别 为
ϕ1 = π t + 0.4π ϕ2 = π t + ϕ
由半波损失，得 ϕ 2 − ϕ1 = ϕ − 0.4π = π ∴ ϕ = 1.4π
波动
八、声波的多普勒效应
u ：波源相对介质的速度； v ：接收者相对介质的速度； V ：声波在介质中的传播速度；
ν0 ：声源发出的频率。
符号规定： 波源向观察者运动时，u 为正，反正为负； 接收者向波源运动时，v 为正，反之为负。
波动
1、波源静止(u = 0), 接收者运动(v≠0）的情况
V +v V +v V +v ν = = = ν0 λ0 V /ν 0 V V +v ν = ν0 V u ：波源相对介质的速度；v ：接收者相对介质的速度； V ：声波在介质中的传播速度； ν0 ：声源发出的频率。
波动
【解析】
(1) 由于此时刻两波形图上各质点的位移在 y 轴上呈正负 对称分布，根据波的叠加原理，此时刻波形为位于 x 轴上的 直线，即各点位移均为零。(如右图)
合成波的波形图
波动
【解析】
(2) 由图可以看出，叠加后两质点 x2、x6 位移均为零，同 时由于 x2、x6 点速度均为零，两质点均处于波节位置，因此 x2、x6 振幅最小。 质点 x4、x8 在波沿 +x 和 沿 –x 方向传播时, 振动速度 最大, 振动方向均向上, 因此 质点 x4、x8 振幅最大。