强化运算能力的培养

强化运算能力的培养
作者：李伟强
来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2011年第09期
摘要：本文通过对今年的高考数学试卷其中的第18题谈谈个人的体会与反思，以求对今后的复习工作有所帮助。

关键词：强化；运算能力；培养
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2011）09-087-02
高考试题是专家学者呕心沥血，历时数月，潜心钻研的结果，它不仅有为高一级学校甄别选拔人才的功能，还有检测高中数学教学达成度的功能，同时也对新一届高三年级的数学复习工作起到很好的指导作用。

一、研究试题，分析考查点
如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k。

（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意的k＞0，求证：PA⊥PB。

本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系，点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力。

考试结束后，笔者曾和许多考生谈及此题，他们都认为此题是六个解答题中最易上手的，最不需要动脑筋的，也是最有把握得分的，可以说是“一看就会，拿笔就做”的题目，甚至认为是送分题。

（1）解答略。

考查了椭圆的标准方程，顶点的坐标，中点公式，正比例函数，斜率K的求法，可以说不费吹灰之力，上手快又准，学生信心大增。

（2）解答略。

考查了方程组求解，经过两点的直线的斜率，直线方程的点斜式表达，点到直线的距离公式。

只要稍稍细心，便可得分。

（3）解答略。

是（2）的推广及一般表述。

考查的仍是方程组的求解，经过两点的直线的斜率，直线方程的点斜式表达，再一次利用方程组求出点B坐标，进而证出两直线垂直关系。

几乎没有考生不知道第（3）问如何求证。

是最普通最常见的题型，没有悬念，没有思考，没有想象，提笔就做。

几乎人人尽知此题的证明思路，要么利用斜率之积为-1，要么利用数量积为零。

其实证明题远比计算题好做，因为它有方向，有结果，只需考生补出其中的过程。

但是很令人遗憾，此问题的得分率实在不高。

开始利用方程组求A、P两点坐标，不少学生已经有点“烦”，因为结果有点“繁”。

当好不容易求出直线AB方程并代入椭圆方程，求B点坐标时，大部分学生已经“烦”透了，因为结果的数据也“繁”透了。

难吗？不难。

易吗？不易。

明明会做，就是做不出来，真真急出一身汗来。

放弃吧，太不甘心了。

不放弃吧，又做不出来。

如何是好？
二、总结考情，剖析失分点
“简单。

不难。

”考试结束后，学生这样评价，老师这样评价，就连《扬子晚报》上刊登的专家意见也是如此。

“91分。

”阅卷结束后，官方发布的2011高考江苏数学卷正卷均分远比人们期待的少，连及格都没实现（满分160分）。

很多人陷入了沉思，这么一份简单的试卷，学生为何考不及格？
（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点。

（其坐标与m无关）
对比连续两年的第18题，我们惊讶得发现，命题者对于运算能力的强化要求如出一辙。

2010年的第18题（3）考查的是通过运算寻找并证明直线在运动过程中恒过定点，2011年第18题（3）考查的是通过运算并证明两直线在运动过程中恒垂直。

揭示的都是“动中有静”，“变中有不变”这一主题。

这两个第18题的特点非常鲜明：思路清楚，思维量小，但运算量大，因此最后完全能做出来的可能性并不大。

综合学生的考情，我们发现运算能力不过关是失分的症结之一。

不仅此两题如此，其它许多题目也是如此。

运算能力不过关是学生中普遍存在的急需解决的一大难题。

运算能力不过关主要原因有三：
其一，高中教材内容多，难度大，进度快。

几乎所有的学校为了能挤出更多的时间进行复习，都在高二年级结束五本必修和五本选修的教学工作。

大部分的学生大部分的时候疲于应付，根本来不及咀嚼，来不及消化和吸收便过去了，根本谈不上熟练，甚至连熟悉都达不到，就在这样的背景下进入了高三年级一轮、二轮、三轮的复习中，走马观花，浮光掠影，走过了，也忘过了。

其二，重视程度不够。

高三年级一轮又一轮的复习，一本又一本的教辅，一张又一张的试卷，已经让学生彻底疲倦，甚至厌烦。

很多的时候，为了见识更多的题型，满足于“会了，就行了。

知道思路就可以了”。

面对一张试卷，学生看后不写一字。

原因非常简单，非常“有理”，近似冷笑话：会的题目，没有必要去做，看看想想，理理思路就行了。

而不会的题目呢，根本做不出来，因此整张试卷空白。

其三，有效训练不够。

很多的时候，特别是复习课，我们一味地追求“大容量，快节奏”而忽略了知识的生成过程。

学生见到的只有答案，而复杂的运算过程，老师们唯恐影响进度不愿展示或害怕出错而不敢展示。

三、指导复习，辨析着力点
综观2010、2011高考江苏数学卷，我们认为在今后的高一、高二年级正常教学工作和高三年级复习工作中，有以下几点启示，可供参考：
其一，研读《考试说明》，有的放矢，提高针对性
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学各主干知识的交汇点，各种数学思想方法的综合点，也是初等数学与高等数学的衔接点，在现实生活中有着广泛的应用。

在历届高考中圆锥曲线与方程都占有重要地位。

椭圆是高考命题的热点之一。

过去的试题常常围绕求椭圆方程，直线与椭圆位置关系，弦长等知识与方法。

随着新课标对平面解析几何要求的分化，解答题中对有关综合内容的考查有
所降温。

考查的主体方向是知识与技能的应用，强化的是运算能力的提高，难度以中档为主。

具体的说，《考试说明》已将C级要求的“椭圆、抛物线、双曲线”改为“直线与圆”。

高考的解答题要注重“椭圆单一型”、“圆锥曲线背景下以圆为主型”，同时要兼顾“直线与圆锥曲线型”。

《考试说明》中增加了这种题型的样题。

2010江苏卷由圆改考椭圆大题，体现出样题的意向。

2011年，此题型再次出现。

《考试说明》中删除了“解析几何综合应用”这样的C级要求，说明解析几何题一般在中档位置，而不同于外省用解几作压轴题。

因此，在复习过程中完全没有必要对知识再行加深拓展，这和过去的要求已经有较大的改变。

其二，强化运算能力，克服浮躁，形成“繁而不烦”的心态
对整个平面解析几何的考查要求便是要有较高的运算能力。

对于解几，学生的最大障碍，便是运算能力不过关。

在复习的过程中，很多学生眼高手低，一听就懂，一看就会，一做就是做不出来，再做仍是做不出来，但仍然说，此题我有思路，知道怎么做，就是计算有点繁而已。

究其原因，绝不是“粗心”二字就能蒙混过关的，主要的原因是思想上不重视。

很多人认为会了就行了，有思路有方法就行了。

其实“会了”和“对了”是两个不同的概念。

光“会了”，不去做，只是“纸上谈兵”，无实质意义。

总之，一句话，运算能力不高，运算技能不硬。

建议在高三复习的初始阶段，便让学生独立做这两个18题，统计一下用时和得分，并告之他们学兄和学姐的遗憾，以期引起思想上高度的重视。

其三，重视讲解通法，淡化技巧，远离偏难怪题
江苏高考数学卷突出了对基础知识、基本技能、和基本方法的考查，这是对“展现知识的发生、发展和应用过程”这一要求的考查。

就是说高考题不会过分地追求特殊方法与技巧。

因此，在解题的训练中，重点是通法的训练。

在此基础上适当增加一些思想方法的应用的训练，如整体代入思想、设而不求思想、正难则反（补集）思想、方程思想、函数思想、参数思想等。

思想方法的运用，可以提高运算的速度，但思想方法不是技巧，万万不可走入技巧的胡同和泥沼。

其四，引导学生参与，共同讨论，呈现“黑暗中摸索”的过程
江苏高考遵循《考试说明》，对运算能力的要求不断提高，在考试中，学生暴露出来的有关运算问题愈来愈多。

作为教师，在复习题处理过程中，不能仅出示答案，而是有意和学生一起经历这繁杂的运算过程，也就是要将“黑暗中摸索”的过程呈现出来，和学生一起强化运算意识，提高运算能力，让学生主动参与，和学生一起讨论，不惧课堂上“时间的浪费”，不惧预先设置的内容不完成，并分享繁杂去后那种成功与喜悦。

作为教师，不仅要培养学生养成细心的计算习惯，还要不断发展学生简化计算，避免重复计算的能力，要有强烈的“提高运算速度，就是提高分数”的意识。

给学生以思想和技能的指导，努力克服“一看就会，会了就行了，有了思路就行了”的不尝就止的心态，脚踏实地，一步一个脚印地进行复习，努力培养“严谨、认真、负责”的态度，以达到“一看就会，一做就对”的效果。