人教版高三数学下学期三角函数与解三角形多选题单元达标提高题学能测试试卷

人教版高三数学下学期三角函数与解三角形多选题单元达标提高题学能测试试
卷
一、三角函数与解三角形多选题
1．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕
原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f
θ=，
()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f
g θθ+≥在02π
θ⎛⎤∈
⎥
⎝
⎦
，上恒成立；
D ．函数()()22t f g θθ=+.
【答案】ACD 【分析】
依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可
判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数求值域可
判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可
得当1sin 2θ=
，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos f
θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函
数()sin g θθ=在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为增函数，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦
，时，3,444π
ππθ⎛⎤
+
∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛
⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，函数()()222cos sin2t f
g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，
令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1
sin 12
θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,
66
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
当6
π
θ=
即1sin 2θ=
，cos 2
θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=
又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，
所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2
，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC 是钝角三角形
C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC 【答案】ACD 【分析】
由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】
解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；
由c 为最大边，可得222222
1625361
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，
即C 为锐角，选项B 描述不准确；
2222222536163
cos 22564
b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，
291
cos 22cos 121cos 168
A A C =-=⨯
-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；
若6c =
，可得
2sin c
R C
=
==
，
ABC
，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.
3．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（ ）
A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()f x 的最大值为M
C ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减
D ．5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】
已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,2
2
k k k Z π
πππ⎛
⎫
+
+
∈ ⎪⎝
⎭
上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】 由题可知2T π
πω=
=，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
当0x =时，()0sin 20sin 662
M
f M M ππ⎛
⎫
=⨯+== ⎪⎝
⎭，故选项A 错误； 因为()sin 26f x M x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，所以最大值为M ，故选项B 正确； 由解析式可知()f x 在3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤+
∈ 即2,6
3x k k π
πππ⎡⎤
∈+
+
⎢⎥⎣
⎦
上单调递减，当0k =时，选项C 正确； 由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26
x k π
π+=，即212
k x ππ
=
- 当1k =时，512x π=
，对称中心为5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.
4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（ ） A ．若sin sin a b
B A
=，则ABC 为等腰三角形 B ．若
cos cos a b
B A
=，则ABC 为等腰三角形 C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4
C π
∠=
【答案】ACD 【分析】
多项选择题，一个一个选项验证：
对于A ：利用正弦定理判断sin sin A B =，在三角形中只能A=B ,即可判断； 对于B ：∵由正弦定理得 sin 2sin 2A B =，可以判断∴ABC 为等腰三角形或直角三角
形；
对于C ：利用三角函数化简得
tan A tan tan B C ++sin sin sin =
cos cos cos A B C
A B C
，利用sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>判断
cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，即可判断； 对于D ：利用正弦定理判断得cos sin C C =求出角C . 【详解】
对于A ：∵由正弦定理得：sin sin a b
A B
=，而sin sin a b B A =，∴sin sin A B =， ∵A+B+C=π，∴只能A=B ,即ABC 为等腰三角形，故A 正确；
对于B ：∵由正弦定理得：sin sin a b
A B
=， ∴若
cos cos a b
B A
=可化为sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=
∴
ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 对于C ：∵A+B+C=π，
∴()()()()sin sin sin cos cos cos A B C C A B C C ππ+=-=+=-=，
， ∴tan A tan tan B C ++
sin sin sin =
cos cos cos A B C
A B C
++
sin cos sin cos sin =cos cos cos A B B A C
A B C ++
sin sin =
cos cos cos C C
A B C
+
11=sin cos cos cos C A B C ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
cos cos cos =sin cos cos cos C A B C A B C +⎛⎫ ⎪⎝⎭ sin sin sin =
cos cos cos A B C
A B C
.
∵tan A tan tan 0B C ++<而sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>> ∴cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，
∴
ABC 为钝角三角形. 故C 正确；
对于D ：∵sin cos a b C c B =+，
∴由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B A C B =+, 即sin cos sin cos sin sin sin cos B C C B B C C B +=+ ∴cos sin C C = ∵()0,C π∈∴4
C π
.
故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．
5．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π
6
个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．π4g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦
【分析】
首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质.
【详解】
()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
1sin 462
g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；
0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
π上单调递增，
故C 正确；,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小
值-1，当233x ππ
-=⎡-⎢⎣⎦
.
故选：BC 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
6．设函数()sin()(0)4
f x x π
ωω=+>，已知()f x 在[]02π，
有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）
A ．()1y f x =+在()02π，
有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，单调递增
C ．ω的取值范围是192388⎡⎫
⎪⎢⎣⎭，
D ．将()f x 的图象先右移
4
π
个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1
()sin()2
g x x ω=
【答案】BC
首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，
有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】
A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是
()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；
B.[]0,2x π∈时，,2444t x π
π
πωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，
则5264
π
πωππ≤⋅+
<，得
192388ω≤<，当023x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，
此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移
4
π
个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到
()1
sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，故D 不正确；
故选：BC 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4
t x π
ω=+
的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.
7．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭R ，现给出下列四个
命题，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 3
C ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移
512
π
个单位长度，得到的函数解析式为()()
2g x x =
【答案】BD 【分析】
首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23
x π
-的范围，再判断函数的单调
性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】
()12cos 2sin 2222f x x x x π⎛
⎫=
--+ ⎪⎝
⎭
132cos 2cos 22cos 222
x x x x x =
--=-
23x π⎫⎛
=- ⎪⎝
⎭，
函数()f x 的周期22
T π
π==，故A 不正确；B.B 正确； C.,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，即
,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，函数单调递增，故C 不正确；
D. ()23f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
向左平移
512
π
个单位长度，得到()5
2221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
8．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（ ） A ．()f x 的最小正周期是π
B ．()f x 的图像可由函数()22g x x =+的图像向左平移
8
π
个单位而得到 C ．4
x π
=
是()f x 的一条对称轴
D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【答案】AB 【分析】
首先化简函数()224f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方
法判断选项. 【详解】
()
1sin 2cos 21224f x x x x π⎛
⎫=+++=++ ⎪⎝
⎭，
A.函数的最小正周期22
T π
π=
=，故A 正确；
B.根据图象的平移变换规律，可知函数()22g x x =+的图像向左平移
8
π
个单位而得
到()222284f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故B 正确；
C.当4
x π
=
时，324
4
4
π
π
π
⨯
+
=
，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8
x π
=-
时，2084
ππ
⎛⎫⨯-
+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫
- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
9．已知函数)
()lg
1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式
(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）
A ．1
B
C ．3
D ．4
【答案】CD 【分析】
令)
()lg
x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调
递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以
sin cos sin 2t θθθ>++，
令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可. 【详解】
令)
()lg
x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，
()g x 的定义域为R ，
)
)
()()lg
lg
x x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=，
所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数， 不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于
[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，
即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，
当0x >时y x =
单调递增，可得)
lg
y x =单调递增，
x y e =单调递增，x y e -=单调递减，
所以)()lg
x x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，
又因为)
()lg x x g x x e e -=+-为奇函数，
所以)
()lg
x x g x x e e -=+-在R 上单调递增，
所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++， 令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，
令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，
所以()2
1h m m m =+-，对称轴为12
m =-
，
所以m =()max 211h m ==，
所以1t >
可得实数t 的可能取值为3或4，
故选：CD
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.
10．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）
A ．若A
B >，则sin sin A B >
B ．若2
C π
>，则222sin sin sin C A B >+
C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形
D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤
【答案】ABC
【分析】
根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.
【详解】
A.
A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a b A B =，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；
C.当02A π
<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭
，即22A B A B π
π
->⇒+<，即2C π
>，则ABC 为钝角三角形，若2A π
>，
sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝
⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π
=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；
D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，
()cos cos cos A B B π∴>-=-，
即cos cos 0A B +>，故D 不正确.
故选：ABC
【点睛】
关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.。