2023绵阳中考数学试题

四川省绵阳市2023年数学中考试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列计算正确的是（）
A．a2•a3＝a6B．（x+y）2＝x2+y2
C．（a3b）2＝a6b2D．a2÷a3＝a（a≠0）
2．方程组的解是（）
A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣5或3
3．图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域．小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（）
A．P区域B．Q区域C．M区域D．N区域
4．小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（）
A．B．
C．D．
5．快乐中学高一年级有四名学生A、B、C、D参加了校团委举办的“快乐中学百佳、百杰学生”的选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A、B得票之和超过C、D得票之和，候选人A、C得票之和与B、D得票之和相等，则这四人得票数由高到低的次序排列，他们依次为（）
A．A、D、C、B B．D、B、A、C
C．D、A、B、C D．A、D、B、C
6．快乐中学数学建模小组的同学们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：﹣＝
﹣，他们就将具有这样性质的有序的三个数称之为调和数．若x、y、2（x、y均
为正整数）是一组调和数，则x、y的值（）
A．有一组B．有两组C．有三组D．有无数组
7．如图所示，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，当线段EF最小时，cos∠EFD的值等于（）
A．B．C．D．
8．如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且使得△AEF为等边三角形，则△AEF与梯形ABCF的面积之比为（）
A．﹣1B．C．D．4﹣2
9．已知函数y＝x，y＝x2和y＝在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，给出下列结论：①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1；
②如果a2＞a，那么a＞1；
③如果＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；
④如果a2＞a时，那a＜﹣1．
则其中正确结论的序号为（）
A．①④B．②③C．①②③D．①②④10．如图为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过五层净化后流
入底部的六个出口中的一个．下列判断：
①六个出口的出水量相同；
②2号出口的出水量与5号出口的出水量相同；
③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：5：10；
④若净化材料损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材料
使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的16倍．
其中，正确的判断个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝2∠B，CD为∠C的内角平分线，若AD＝2，则CD 等于（）
A．2B．C．2D．
12．如图所示，点A、D在以BC为直径的半圆上，D是弧的中点，AC与BD交于点E．若
AE＝3，CD＝2，则BC等于（）
A．6B．8C．10D．12
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．按如图程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个x”到“结果是否＞10”为一次操作．若操作进行三次才停止，则x的取值范围是．
14．如图，已知直线l1、l2、l3、l4及m1、m2、m3、m4分别互相平行，且S四边形ABCD＝100，S四边形EFGH＝20．则S四边形PQRS＝．
15．在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为．
16．小林每天下午5点放学时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家，有一天学校提前一个小时放学，小林自己步行回家，在途中遇到开车来接他的爸爸，结果比平时早20分钟到家，则小林步行分钟遇到来接他的爸爸．
17．已知关于x的一元二次方程x2+﹣x+（m+1）＝0对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是．
18．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知∠DAC＝60°，边CD上有
一点S，满足＝．线段OC上有一点M，OS与MB交于点L，联结CL、SM．给出以下结论：
①SM∥BD与SM∥CL等价；
②若，则点L在AD的延长线上；
③若＝，则AD＝DL；
④若＝k，则方程x2﹣3kx+1＝0无等根．
其中，正确的结论有（填所有正确结论的序号）．
三．解答题（共7小题，满分90分）
19．计算：（）﹣1
﹣|sin30°﹣1|+（﹣1）106﹣﹣（2024﹣π）0；
20．做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获利润分别为30元和40元，乙店铺获利润分别为27元和36元．某日，王老板进A款式服装35件，B款式服装25件．怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺获利润不小于950元的前提下，王老板获利取的总利润最大？最大的总利润是多少？
21．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“百”、“年”、“经”、“典”、“南”、“山”的六个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（Ⅰ）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“南”的概率；
（Ⅱ）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“快乐”的概率P1；
（Ⅲ）从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“快乐”的概率为P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论．
22．如图所示，已知点A（4，0），点B在y轴上，经过A、B两点的直线与反比例函数y ＝（k≤﹣1）在第四象限的图象只有一个公共点．又一次函数y＝x﹣2k的图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点．当四边形ABCD的面积最小时，求k的值及面积的最小值．
23．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．已知直线l经过点M，分别与边OA、DE相交，且将多边形OABCDE分成面积相等的两部分．
（Ⅰ）若点M（0，），求直线l的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在一点M，使得过点M有无数条直线l将多边
形OABCDE分成面积相等的两部分？若存在，求出M的坐
标；否则，说明理由．
24．如图所示，⊙O1与⊙O2外切于点O，直线l分别与⊙O1、⊙O2外切于点A、B，分别与x轴、y轴交于点M（2，0）、C（0，2）．
（Ⅰ）求⊙O1的半径长；
（Ⅱ）在直线l上找一点P，使得△MO1P与△MOB
相似，并求出点P的坐标．
25．如图所示，过y轴上一点M（0，1）作直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足为C、D，直线l过点M关于原点O的对称点N，且与y轴垂直．过点A作l的垂线，垂足为E．
（Ⅰ）当A点的横坐标是﹣1时，证明AM＝AE；
（Ⅱ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），求OC•OD+AC•BD的值；
（Ⅲ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、a2•a3＝a5，故错误；
B、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故错误；
C．正确，
D、，故错误；
故选：C．
2．解：解|x+1|＝4得x＝3或x＝﹣5，
解x2＝2x+3得x1＝﹣1，x2＝3，
所以方程组得解为x＝3．
故选：B．
3．解：由图片可知，只有Q区域同时处在三个侧面的观察范围内．故选：B．
4．解：根据题意可知：
开始时匀速行驶，此时对应的图象为直线，函数的图象递减．
途中因交通堵塞停留了一段时间，此时到学校的距离为常数，
最后加快速度行驶对应的曲线为上凸曲线．
故选：C．
5．解：用a、b、c、d依次表示A、B、C、D的得票，由条件可得：
，
∴（b+d﹣c）+b＞c+d，a+b＞（b+d﹣a）+d，
∴b＞c，a＞b，
∴a＞d＞b＞c．
故选：D．
6．解：由已知得⇒．
当y＝1时，（舍去）；
当y＝2时，x＝2；
当y＝3时，x＝6．
∴x、y的值有两组，
故选：B．
7．解：如图，连接CD，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵四边形CEDF是矩形，
∴∠EFD＝∠ECD，
∵∠ECD+∠ACD＝90°，
∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ECD＝∠A，
∴∠EFD＝∠A，
∴cos∠EFD＝cos∠A＝＝，
故选：A．
8．解：令BE＝x，则AE＝AF＝EF＝，
∴DF＝x，CF＝CE＝1﹣x（0＜x＜1）．
由EF2＝CF2+CE2得：1+x2＝2（1﹣x）2，
解得：x＝2﹣．
于是，
故选：D．
9．A．由图象知，当0＜a＜1时，＞a＞a2；当a＞1时，a2＞a；当﹣1＜a＜0时，
a2＞a；当a＜﹣1时，a2＞a；
故选：D．
10．解：若进水量为1，则从左到右的六个出水口的出水量依次为：，，，，
，，
①于是六个出口的出水量不相同，故①不正确；
②2号出口的出水量与5号出口的出水量相同，都是，故②正确；
③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：5：10，故③正确．
水流量最大与最小的三角形分别是最上面的三角形与第五排最左（或最右）的三角形，
流经最上面的三角形的水量为1，而流经第五排最左（或最右）的三角形的水量为，故④正确．
综上所述，正确的判断个数是3个．
故选：C．
11．解：∵在Rt△ABC中，∠A＝2∠B，
∴∠B＝30°，∠A＝60°，
如图，过C作CF⊥AB于F，在CB上作一点E，使得CA＝CE，联结DE，
∵CD为∠ACB的内角平分线，
∴∠ACD＝∠ECD，
∵CD＝CD，
∴△CAD≌△CED（SAS），
∴∠CED＝∠CAD＝2∠B，
∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝DE＝AD＝2，
过E作EG⊥BD交BD于G，由∠ABC＝30°，
∴EG＝1，
∴BG＝GD＝，
∴AB＝2+2，CA＝1+，
在Rt△ACF中，CF＝，AF＝，
∴FD＝，
在△RtCDF中，CD＝＝，
故选：D．
12．解：连接OD交AC于点F，延长BA、CD交于点G，∵D是弧AC的中点，
∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，
又∵BC为直径，
∴∠BDC＝90，
∴△BCG为等腰三角形，
∴BD平分CG，
∴CG＝2CD＝4，
在Rt△CDE和Rt△CAG中，由于∠ACD是公共角，
所以Rt△CDE∽Rt△CAG，则＝，即＝，
解得CE＝5或CE＝﹣8（舍去）．
在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝＝4，
因为GA•GB＝GD•GC，即4（AB+4）＝2×4，解得AB＝6．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝10．
故选：C．
二．填空题
13．解：第一次运行的结果为3x﹣2，
第二次运行的结果为3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8，
第三次运行的结果为3（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26，
由条件得，
解得：＜x≤2．
故答案为：＜x≤2
14．解：∵l1∥l2，m1∥m3，
∴四边形APFQ是平行四边形，
＝S△FQP．
∴S
△APQ
＝S△GQR，S△CRS＝S△HSR，S△DPS＝S△ESP．同理：S
△BRQ
+S△BRQ+S△CRS+S△DPS＝S△FQP+S△GQR+S△HSR+S△ESP．∴S
△APQ
+S△BRQ+S△CRS+S△DPS＝S四边形ABCD﹣S四边形PSRQ，∵S
△APQ
S△FQP+S△GQR+S△HSR+S△ESP＝S四边形PSRQ﹣S四边形EFGH，
﹣S四边形PSRQ＝S四边形PSRQ﹣S四边形EFGH．∴S
四边形ABCD
＝100，S四边形EFGH＝20，
∵S
四边形ABCD
＝S四边形PSRQ﹣20，
∴100﹣S
四边形PSRQ
＝60．
解得：S
四边形PSRQ
故答案为：60．
15．解：∵半径为1cm的圆形，
∴底面圆的半径为：1cm，周长为2πcm，
扇形弧长为：2π＝，
∴R＝4，即母线为4cm，
∴圆锥的高为：＝（cm）．
故答案为：cm．
16．解：设小林自己走的路程为S．
根据题意得：＝+40＝+40＝50（分钟）．
故填50．
17．解：∵关于x的一元二次方程x2+x+（m+1）＝0对任意的实数a均有实数根，
∴Δ＝a2+2a+2﹣4（m+1）≥0对任意的实数a恒成立，
即（a+1）2﹣（4m+3）≥0，
∴4m+3≤0，
∴m≤﹣．
故答案为m≤﹣．
18．解：连接AS，设OS与AD交于点L′．
过点S作SO′⊥AC于点O′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，即SD⊥AD，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝1，即DS＝SO′，
∵SD⊥AD，SO′⊥AC，DS＝SO′，
∴AS为∠DAC的角平分线．
∵∠DAC＝60°，OA＝OD，
∴△DAO为正三角形，
∴AD＝AO．
又∵AS平分∠DAC，
∴∠DAS＝∠OAS，
∵AS＝AS，
∴△ASO≌△ASD（SAS），
∴∠ASD＝∠ASO＝60°，
∵∠DSL′＝∠OSC＝60°，
∴∠ASL′＝∠ASC＝120°，
∴△ASL′≌△ASC（ASA）．
又∵∠DAC＝60°，
∴△ACL'为正三角形，且S为其中心．
设BM与AD的延长线交于L″．
又由于SM∥BD⇔＝＝＝＝2⇔＝⇔＝＝⇔DL″＝AD⇔△ACL″为正三角形，
故SM∥BD⇔点L′与点L″重合⇔点L在AD的延长线上⇔点S为正△ACL的中心⇔
＝＝⇔SM∥CL，且＝，
因此①②③正确．
由于＝••＝••＝＝＝＝k，
则方程x2﹣3kx+1＝0有等根1．
综上，正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
三．解答题
19．解：原式＝3﹣（1﹣）+1﹣2﹣1
＝；
20．解：设A款式服装分配到甲店铺为x件，则分配到乙店铺为（35﹣x）件；
B款式分配到甲店铺为（30﹣x）件，分配到乙店铺为（x﹣5）件，总利润为y元．
依题意，得，
，
因为，函数y＝﹣x+1965，y随x的增大而减少，所以x在取值范围内取最少的整数值时，Y有最大值，所以，x＝21，y最大＝﹣21+1965＝1944（元）．
答：A款式服装分配给甲、乙两店铺分别为21件和14件，B款式服装分配给甲、乙两店
铺分别为9件和16件，最大的总利润是1944元．
21．解：（Ⅰ）任取一球，共有6种不同结果，所以球上汉字刚好是“南”的概率＝；
（Ⅱ）画树状图
共有30种不同取法，取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“快乐”的结果数为4，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“快乐”的概率P1＝＝；
（Ⅲ）P1＞P2．理由如下：
列表如下
百年经典南山百百百百年经百典百南百山百
年百年年年经年典年南年山年
经百经年经经经经典南经山经
典百典年典经典典典南典山典
南百南年南经南典南南南快乐
山百山年山经出典出南出山山共有36种结果，取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“快乐”的结果数为4，所以取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“快乐”的概率为P2＝＝，
所以P1＞P2．
22．解：设经过点A（4，0）的直线的函数表达式为y＝m（x﹣4）（m≠0），由，可得：mx2﹣4mx﹣k＝0，
∵直线与反比例函数图象只有一个公共点，
∴△＝（﹣4m）2﹣4m•（﹣k）＝16m2+4mk＝0，
解得：m＝﹣k，
∴经过点A（4，0）的直线的函数表达式为：y＝﹣k（x﹣4），
∴点B的坐标为：（0，k），
∵一次函数y＝x﹣2k的图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点，
∴点C（2k，0），点D（0，﹣2k），
∴AC＝4﹣2k，BD＝﹣2k﹣k＝﹣3k，
＝BD•AC＝（﹣3k）（4﹣2k）＝3k2﹣6k＝3（k﹣1）2﹣3，∴S
四边形ABCD
∵k≤﹣1，
有最小值，最小值等于9．
∴当k＝﹣1时，S
四边形ABCD
23．解：（Ⅰ）如图1，延长BC交x轴于F，联结OB、AF交于P，联结DF、CE交于
Q．
易知P（2，3），Q（5，2）是两个矩形的中心，过P的直线将矩形OABF的面积平分，过Q的直线将矩形CDEF的面积平分，于是直线PQ将多边形OABCDE的面积平分．设直线PQ的解析式为y＝kx+b，
代入P（2，3），Q（5，2）得，解得
∴直线PQ的函数表达式为y＝﹣．
显然点M（0，）在y＝﹣上，且M不是GH的中点，
故直线l的函数表达式为y＝﹣．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直由线l的函数表达式为y＝﹣，
设直线l与OA的交点为G，与ED的交点为H，
∴G（0，），H（6，），
令M为GH的中点，则M的坐标为（3，），此即为满足条件的点M，
证明如下：
过点M作任意直线与AO交于点J，与DE交于点K，如图2，
∵M的坐标为（3，），
∴MN＝，
＝S梯形JOEK＝MN•OE＝×6＝8，
∴S
梯形GOEH
，故JK也是满足条件的直线，
由JK的任意性，知满足条件的直线有无数条．
故存在满足条件的点M，其坐标为（3，）．
24．解：（Ⅰ）设直线AB的解析式为y＝kx+b．
∵将点M与点C的坐标代入得：，解得：k＝﹣，b＝2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
∵tan∠CMO＝＝，
∴∠CMO＝30°．
如图1所示：连接AO1．
∵AB与⊙O1相切，
∴∠O1AM＝90°．
又∵∠CMO＝30°，
∴MO1＝2r．
∴OM＝2r﹣r，即r＝2．
∴⊙O1的半径为2；
（Ⅱ）如图2所示：连接O2B、O1C、O1A．
∵AB是⊙O2的切线，
∴O2B⊥AB．
又∵∠CMO＝30°，
∴∠BO2M＝60°．
又∵O2O＝O2B，
∴∠BOO2＝∠OBO2．
∴∠BOM＝30°．
∴当∠PO1M＝30°时，△OBM∽△O1PM．
∵AB与⊙O1相切，
∴∠O1AM＝90°．
又∵∠CMO＝30°，
∴∠AO1M＝60°．
∵AC、OC与圆O1相切，
∴∠CO1M＝×60°＝30°．
∴点P与点C重合．
∴此时点P的坐标为（0，2）．
如图3所示：连接O1A、O1P，过点P作PH⊥x轴，垂足为H．
当∠O1PM＝30°，△OBM∽△O1PM．
∵∠O1PM＝∠O1MP＝30°，
∴∠PO1H＝60°．
∵PH⊥x轴，
∴∠PHO1＝90°．
∴∠HPO1＝30°．
在△HPO1和△APO1中，
，
∴△HPO1≌△APO1（AAS），
∴O1H＝O1A＝2．
∴OH＝4，PH＝O1H＝6．
∴P（﹣4，6）．
综上所述，点P的坐标为（﹣4，6）或（0，2）．
25．（Ⅰ）证明：∵A点的横坐标是﹣1，
∴A（﹣1，）．
又∵M（0，1），
∴AE＝+1＝．
在Rt△ACM中，
∵AM＝＝＝＝，
∴AM＝AE＝；
（Ⅱ）解：令A（x A，y A），B（x B，y B），令直线AB的函数表达式为y＝kx+1，
由可得x2﹣4kx﹣4＝0．
此方程之两根为A、B两点的横坐标x A，x B，
且x A•x B＝﹣4，x A+x B＝4k．
故OC•OD+AC•BD＝y A y B﹣x A x B＝（x A x B）2﹣x A x B＝1+4＝5．
（Ⅲ）解：如图，令AB的中点为P，过P、B作直线l的垂线，垂足分别为Q、F，则PQ为梯形AEFB的中位线，由（Ⅱ）知x A•x B＝﹣4，
x A+x B＝4k，且y A＝kx A+1，y B＝kx B+1．
∵PQ是梯形AEFB的中位线，
∴PQ＝＝＝+1＝+2＝2（k2+1）．在Rt△ACM中可得：
AM＝＝＝＝﹣x A•．
同理，在Rt△BDM中，
∵BM＝x B•．
∴AB＝AM+BM＝•（x B﹣x A），
∴AB2＝（1+k2）[（x A+x B）2﹣4x A x B]＝（1+k2）（16k2+16），
∴AB＝4（1+k2），PQ＝AB．
∵PQ⊥l，
∴以AB为直径的圆与直线l相切．。