导数与函数隐性零点问题学生版

函数隐性零点问题
近年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。

用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。

函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。

根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的，不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。

1.不含参函数的隐性零点问题
已知不含参函数f（x）,导函数方程f'（x）=0的根存在，却无法求出，设方程f'（X）=0
的根为X,贝U：①有关系式f'（X）=0成立，②注意确定X的合适范围.000
2.含参函数的隐性零点问题
已知含参函数f（X,a），其中a为参数，导函数方程f'（X,a）=0的根存在，却无法求出，
设方程f'（X）=0的根为X，贝卜①有关系式f'（X）=0成立，该关系式给出了X,a的关
000
系，②注意确定X的合适范围，往往和a的范围有关.0
题型一求参数的最值或取值范围
例1（0年全国卷）设函数f（）--.
（）求f（）的单调区间；
（）若，为整数，且当>0时，（-）f（）>0，求的最大值.
点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤：
①确定零点的存在范围（本题是由零点的存在性定理及单调性确定）；
②根据零点的意义进行代数式的替换；
③结合前两步，确定目标式的范围。

题型二不等式的证明
ln x
例2.(湖南部分重点高中联考试题)已知函数f(x)=T，其中a为常数.
(x■a)2
(1)若a=0，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在(0,-a)上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若a=-1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0，求证：f(x0)<-2.
题型三对极值的估算
例3.(2017年全国课标1)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)>0.
(1)求a；
(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2.
简要分析：通过上面三个典型案例，不难发现处理隐性零点的三个步骤；这里需要强调的是：
第一个步骤中确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；
第二个步骤中进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；
第三个步骤实质就是求函数的值域或最值。

最后值得说明的是，隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗渡陈仓的策略，也是数学中“设而不求”思想的体现。

变式训练
1
.已知函数f()(-x2+x)ln x+ax2(£),曲线f()在处的切线与
直线2-0垂直.
()求的值，并求f()的单调区间；
11
(2)若是整数，当>0时，总有f()-()—九〉-x2ln7x2,求
的最大值．
2.设函数f()2-ln.
(I)讨论f()的导函数f()零点的个数;
(II)证明：当>0时，f()2ln2.
a
2ax
.设函数f(
%
)
=1n%，是否存在实数a，使得f(―)-f(e ax)+f(―)<0对任意正实数
x
x2a
恒成立？若存在，求出满足条件的实数a;若不存在，请说明理由. 课后作业
1.已知函数f(x)=(aex-a-x)ex(a N0,e=
2.718…，e为自然对数的底数)，若f(x)
三0对于x£R恒成立.
(1)求实数a的值；
(2)证明：f(x)存在唯一极大值点x0,且0<出口)号.
2.已知函数f(x)=ax+xlnx(a£R)
(1)若函数f(x)在区间［e,+8)上为增函数，求a的取值范围；
(2)当a=1且k£Z时，不等式k(x-1)<f(x)在x£(1,+8)上恒成立，求k的最大值．
3.函数f(x)=alnx-x2+x,g(x)=(x-2)e x-x2+m(其中e=2.71828…).
(1)当a W0时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=-1,x£(0,1］时，f(x)>g(x)恒成立，求正整数m的最大值.
4.已知函数f(x)=e x+,-lnx(其中e=2.71828…，是自然对数的底数).
(回)当a=0时，求函数a=0的图象在(1,f(1))处的切线方程;
(回)求证：当且>1-L时，f(x)>e+l.
5.已知函数f(x)=axe x-(a+1)(2x-1).
(1)若a=1,求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当x>0时，函数f(x)三0恒成立，求实数a的取值范围.
6.函数f(x)=xe x-ax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1.
(1)求a和b的值；
(2)若f(x)满足：当x>0时，f(x)三lnx-x+m,求实数m的取值范围.
7.已知函数f(x)=3e x+x2,g(x)=9x-1.
(1)求函数9(x)=xe x+4x-f(x)的单调区间;
(2)比较f(x)与g(x)的大小，并加以证明.
8.已知函数f(x)=lnx+a(x-1)2(a>0).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0,证明：J互<区口<屋1.
9.已知函数f(x)=lnx-x+1,函数g(x)=ax•e x-4x,其中a为大于零的常数.
(回)求函数f(x)的单调区间；
(回)求证：g(x)-2f(x)三2(Ina-ln2).
10.已知函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a£R).
(回)求函数y=f(x)的单调区间；
(回)当a=1时，证明：对任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.
11.已知函数f(工)二］
(回)当a=2时，(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(ii)求函数f(x)的单调区间；(回)若1<a<2,求证：f(x)<-1.
12.已知函数f(x)=(x-a)lnx^-x,(其中a£R)
(1)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y^x,求a的值;
(2)若(<生<2/①为自然对数的底数)，求证：f(x)>0.。