第6章 轴对称有限元分析剖析

fi
ai
bi r r
ci z
物理方程
由于圆柱坐标也是正交坐标，相应的物理方程为：
D r
z
1
E 1
E 1
E
r z
( ( z ( r
z ) r ) )
rz
1 G
rz
2(1 E
) rz
r rzz
E (1 (1 )(1
) 2)
1
对
1
1
称
1
1 1
r
z
T rz
单元位移函数
参照弹性平面问题有限元法，单元位移函数为
u Niui N ju j Nmum w Ni wi N j wj Nmwm
式中
Ni
1 2A
(ai
bir
ci z)
ai rj zm rm z j
bi z j zm ci rm rj
1 A 1 1
2
ri rj
(6-3)
由于在轴对称问题的矩阵 [B] 中出现坐标r、z，所以(6-3)式的 积分运算比平面问题要复杂得多。现在仍取单元形心的坐标 r , z
替代 [B] 矩阵中的坐标r、z作为一次近似，得到一个近似的单元刚 度矩阵。此时，(6-3)式成为
kst 2 Bs T DBt r
2rA3
bs (bt
回顾
三角形单元分析
目标：对三角形单元，建立节点位移与等效节点力之间的转换关系。
vm
m (xm , ym)
y
ox
um
vi
i (xi , yi)
e
vj
uj
ui
j (xj , yj)
Fmy m (xm , ym)
Fiy
i (xi , yi)
e Fix
y
ox
Fmx
Fjy
Fjx j (xj , yj)
单元节点位移
K
nn
其中子矩阵为
ne
K st kst e1
( s ,t 1, 2,, n )
和平面问题一样，整体刚度矩阵 [K] 是对称的带状稀疏阵， 在消除刚体位移后，它是正定的。
等效节点载荷
对轴对称问题，按静力等效原则把轴对称外 加载荷和体积力转化到单元的节点上，其载荷 仍然是轴对称载荷，是分布在圆周节点上的线 载荷，把它们集中在一起称为轴对称问题的节 点载荷。 体积力 惯性力 面力 线载荷
A1 f t ) A1cs (bt
f s ( f t A1bt ) f t ) A2bs ct
A2 cs ct
A1ct
(bs
fs)
A2 cs bt
cs ct A2bs bt
(6-4)
对于整体刚度矩阵，如果弹性体被划分为 ne个单元和 n 个结点， 于是就可得到 ne个型如(d)式的方程组。与平面问题的情况完全相类 似的处理，把各单元的 、{ }e 、{R}e 等[K都] 加以扩大到整个结构的 自由度的维数，然后叠加得到
1. 体积力
(1) 自重。在此情况下 Pr 0, Pz ；其中 为密度。于
是单元的自重移置到结点i, j, m上的等效结点力为
Pi e
Pir Piz
e
2
0
N
i
r
drd
z
(f)
由类似等参元的坐标变换式，将r写成 (f’)
r ri Ni rj N j rm N m
这样就得到
(a)
假设单元的虚位移为
f * N *e
(b)
则单元的虚应变为
* B *e
2
将上式代入(a)式，并注意到 d 2，得 0 ( * e ) T R e ( * e ) T 2 B T DBr dr dz e
由于虚位移是任意的，所以有
R e 2 BT DB r dr dz e
单元 组装
整体解算
逼近离散
vm
m (xm , ym)
y
ox
um
vi
i (xi , yi)
e
vj
uj
ui
j (xj , yj)
Fmy m (xm , ym)
Fiy
i (xi , yi)
e Fix
y
ox
Fmx
Fjy
Fjx j (xj , yj)
单元节点位移
单元等效节点力
K e e Fe 0
单元刚度方程
(6-8)
体积力的等效结点力
P e 2 N T pr drdz
(6-9)
集中力等效节点力 Re NT G
直角坐标 (i)
表面力等效节点力 Qe NT qtdl
(ii)
体积力等效节点力 Pe NT ptdxdy
(iii)
于是(c)式可以改写成
R e F e Q e P e
(d)
u r
几何方程
r
u r
矩阵表示为
u r
z
w z
rz
w r
u z
u
r
z
r u r w
Bd
rz
z
w
u
r z
几何矩阵
几何方程
Bd
式是[B] 是几何矩阵（应变转换矩阵）。
B Bi Bj Bm
bi 0
Bi
1
fi
2A 0
ci
0
ci bi
ne R e ne 2 BT DB r dr dz (f)
e1
e1
引进记号：
载荷列阵
ne
R R e
(6-5)
e1
整体刚度矩阵
K
ne
k e
ne
2
BT DB r
dr
dz
(6-6)
e1
e1
于是(f)式便可以写成与平面问题相同的标准形式 (g)
K R
这就是求解结点位移的平衡方程组。
再将上式代入(a)式，等效载荷列阵可写成
ne
R (F e Q e P e ) F Q P (e) e1
将(6-8)、(6-9)式和(ii)、(iii)式比较可见，在轴对称情况下积分 号后的被积函数比平面问题的多一个变量r，所以虽然也是采用线性 位移模式，但是不能象平面问题那样利用刚体的静力等效原则求得 结点等效力。
zi zj
1 rm zm
三角形单元各分量方向示意图
f N d
ui
wi
u w
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
uj wj
um
wm
几何方程
旋转体是三维空间问题。对于轴对称问题，旋转体内的任意一 点的位移发生在平面内。因此，在平面内的应变分量，显然有
r
x,
y
1 2 A (ai
bi x
ci y)
其中：
ai xj ym xm y j
bi yj ym
ci xj xm
下标i, j, m 轮换
单元分析流程
回顾
（2）内部节点位移
应变
解决办法：弹性力学几何方程
代入
u v
N
e
x
0
y
0
u
y
v
x
ui
得
1 2A
b0i ci
0
0 0 1 2
r rzz
2(1 )
物理方程
可写成
D
D为轴对称问题的弹性矩阵：
1
D
(1
E(1 ) )(1 2)
对
1
1
1
1 1
0
0
0
称
1 2
2(1 )
物理方程
可变为
1 A1 A1 0
D
2
AA3
A1 A1
1 A1
A1 1
0
0
0 0 0 A2
y y
Ni
x,
0
y
0
Ni x, y
N j x, y
0
0
N j x, y
Nm x, y
0
Nm
0
x,
y
u v
j j
um
vm
形函数矩阵
vm m (xm , ym)
vi
e
i (xi , yi)
ui
y ox
um vj
uj j (xj , yj)
形函数（shape function）
回顾
Ni
ui
e
i j
m
vi
u v
j j
um
vm
～？
单元等效节点力
Fxei Fyei
Fe
Fxej
Fyej
Fxem
Fyem
三角形单元分析
单元分析的流程
回顾
（1）节点位移
内部节点位移
解决办法：插值 (分片插值的提法)
ui
vi
u v
x, x,
( * e ) T Re
(
f*
e
)
T
2
rc g
( f * e ) T qr dds
( f * e ) T pr ddrdz
式中 rc 为集中载荷 {g} 作用点的径向坐标。将上节(b)式代入上式
并考虑到 2 d 2 ，上式可以化成 0
R e 2 rc N T g 2 N T qr ds 2 N T pr drdz
A1 1
A2
1 2 2(1 )
E
A3 4(1 )A2 A
则
DBd Sd
物理方程
其中
DBd Sd
S Si S j Sm
bi
A1
fi
Si
A3
A1bi
fi
A1(bi fi )
A2Ci
A1Ci
A1Ci
Ci
A2bi
刚度方程（平衡方程的等价形式）
{F}e [K ]{}e
Ni
r
d
rdz
ri 6
rj 12
rm 12
12
( 3r
ri )
代入(f)式即得
Pi e
Pir Piz
整体刚度矩阵也可以写成分块形式
K11 K1i K1 j K1m K1n
Ki1
Kii
Kij
Kim
Kin
K
K j1
K ji
K jj
K jm
K jn
K m1
Kmi
Kmj
Kmm
Kmn
K n1
K ni
K nj
K nm
等效节点载荷
{R} [K]{}e 式右边的载荷列阵展开的形式为
ne R
R e R1T
R2T
RnT T
(a)
e1
其中
Ri Rir Riz T (i 1,2,, n)
(b)
与平面问题一样，等效结点力也是由作用在环形单元上的集中 力、表面力和体积力分别移置到结点上而得到的。移置的原则也是 根据这些力和等效结点力在任意虚位移上所作的虚功相等，即
其中
K e BT DBdV V 2 BT DBrdrdz
dV=rdθdrdz
单元刚度矩阵
现在，再运用虚功原理求导轴对称结构上任意单元的刚度矩阵 [K] 。由虚功原理知：三角形断面的环形单元体积所吸收的虚变形能 应等于单元结点力所做的虚功：
( * e ) T R e *T r drddz
基本变量和基本方程
考察以A点为顶点的微元体，如图所示，由于不发生扭转，沿圆周方向的 剪应力和都等于零，所以只有四个应力分量作用于微元体，即
r
z
T rz
相应的四个应变分量为
r
z
T rz
两个位移分量为
u w d [u, w]T
所以，描述轴对称问题的基本变量为以 上10个，即2个位移分量、4个应力分量 和4个应变分量。
(c)
式中右边第一项是环形单元上的集中力 {g} 移置到结点的等效结点 力，第二项是环形单元上表面力{q} 的等效结点力，第三项是环形 单元体积力{P} 的等效结点力。
采用平面问题中相同的符号：
集中力的等效结点力
F e 2 rc N T g
(6-7)
表面力的等效结点力
Q e 2 N T qr ds
Байду номын сангаас
u r
z
w z
rz
w r
u z
尽管点的位移发生在平面内，但是，对于垂直于平面的线元素却 存在着伸缩的可能，因此，轴对称问题的环向应变不为零。
几何方程
对于周向应变，尽管不存在周向位移，但由于A点发 生径向位移后，它与轴的距离变为，从而导致产生周向 的变形，如图所示，则产生周向应变为
(r u)d rd rd
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
u v
j j
um
vm
该单元为常应变单元
{} [B]{ }e
[B]矩阵称为应变矩阵
单元分析流程
（3）应变
应力
解决办法：弹性力学物理方程 D
代入 {} [B]{ }e
回顾
得 DBe
S DB
[S]矩阵称为应力矩阵。
有限元分析
Finite Element Analysis
第6章 轴对称基本知识
内容
轴对称问题的定义 基本方程 刚度矩阵 等效节点载荷
要求 理解：几何形状， 约束情况， 所受的 外力
掌握：轴对称单元分析流程
课后作业 推导轴对称单元各矩阵
回顾
连续体有限元分析的基本流程
连续体结构
人工节点
整体 离散
单元分析
{ } [S]{}e
例：对于平面应力问题
B
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
cm
bm
代入 S DB
1 0
D
E
1
2
1
0
1
0 0
2
得 其中
S Si S j Sm
Si
D Bi
E 2 A(1
2)
bi bi
1 2
ci
ci
ci
1 2
bi
轴对称问题的定义
➢ 轴对称问题是空间问题的一种
特殊情况，在实际工程中存在 大量的轴对称问题。 ➢ 飞轮、回转类的压力容器、发 动机汽缸套、烟囱及受内压的 球壳等，无限大、半无限大的 弹性体受集中载荷作用时也可 以处理为轴对称问题。
物体内的所有应力、应变和位移都关于该轴对称，这 类问题称为轴对称问题。
(d)
上式右边与单元结点位移列阵{ }e 相乘的矩阵便是单元刚度矩阵
k 2 BT DB r dr dz
(6-1)
它也可以写成下列分块形式
k
k ii k ji
k ij k jj
k im k jm
kmi kmj kmm
其中的子矩阵为
(6-2)
kst 2 Bs T DBt r dr dz