【同步测控】高二数学人教A版必修5课件2.5 等比数列的前n项和
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n
������1 都可看作一个整体. 1-������
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 在等比数列 {an}中,其前 n 项和为 Sn. (1)S2=30,S3=155,求 Sn; (2)若 Sn=189,a1=3,an=96,求 q 和 n. 思路分析:(1)和(2)可利用等比数列的求和公式列方程(组)求解. ������1 = 180, ������1 (1 + q) = 30, ������1 = 5, 解:(1)由题意知 解得 或 5 ������ = 5 ������1 (1 + q + ������ 2 ) = 155, ������ = - , 从而 Sn= ×5
������1-������������ q 较好. 1-������ ������1(1-������������) Sn= 较好;若已知 an,则用公 1-������
2.等比数列前 n 项和性质 (1)在等比数列{an}中,连续相同项数和也成等比数列, 即 :Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等比数列. (2)当 n 为偶数时,偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比, 即
������1(1-������������ ) ������ -������ q 时,Sn= = 1 ������ . 1-������ 1-������
名师点拨 1.推导等比数列前 n 项和的方法为错位相减法.
2.在运用等比数列的前 n 项和公式时,一定要注意对公比 q 的讨论(q=1 或 q≠1). 3.当 q≠1 时,若已知 a1 及 q,则用公式 式 Sn=
(60-48) +S2n= 48
2
+60=63.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)解法一:设原等比数列的公比为 q,项数为 2n(n∈N ),由已知
*
a1=1,q≠1,且有
85 = 170 =
������1(1-������2������ ) , 1-������2
������2(1-������2������) , 1-������2
即
1-������2������ 1-������2
= 85, 170.②
①
������(1-������2������ ) = 1-������2
②÷ ①得 q=2. 又
1-22������ S2n=85+170=255,a1=1,∴ =255,22n=256,2n=8. 1-2
∴ 数列的公比为 2,项数为 8.
探究四
探究三 等差、等比数列的综合应用
1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是 等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式以及等差中项、等比中项问题 是历年命题的热点. 2.利用等比数列前 n 项和公式时注意公比 q 的取值,同时对两种数列的 性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时 还需利用条件联立方程组求解.
������1 =64. 1-������ ������1 (1-������3������ ) S3n= =64× 1-������ 1 43 5 4 1 4 ������1(1-������������ ) = 1-������ ������1(1-������2������ ) = 1-������
2.5
等比数列的前n项和
课程目标 1.理解并掌握等比数列前 n 项和公式 及其推导方法. 2.能利用等比数列的前 n 项和公式解 决有关问题. 3.掌握等比数列前 n 项和的性质及应 用.
学习脉络
1.等比数列的前 n 项和公式 数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1
探究一
探究二
探究三
探究四
解法二:由等比数列前 n 项和的性质知 S 偶=qS 奇. 又 S 偶=170,S 奇=85,∴ q=2. 又∵ Sn=170+85=255,a1=1,
1-2������ n ∴ =255,即 2 =256,n=8. 1-2
∴ 数列的公比为 2,项数为 8.
探究一
探究二
探究三
������偶 ������奇
=q.
n *
(3)若一个非常数列 {an}的前 n 项和 Sn=-Aq +A(A≠0,q≠0,n∈N ),则数 列{an}为等比数列,即 Sn=-Aqn+A⇔数列{an}为等比数列.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 等比数列前 n 项和的基本计算
在等比数列 {an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1 与 q 是最基本的元素,已知其 中三个,求其余两个时,可利用通项公式与求和公式,列出方程组求解,即“知 三求二 ”.在解方程组时,要注意整体思想的运用,如 q ,
48, 60.
①
②
1-
=63.
探究一
探究二
探究三
探究四
解法二:∵ {an}为等比数列, ∴ Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列, ∴ (S2n-Sn) =Sn(S3n-S2n),
(������ -������ ) ∴ S3n= 2������ ������ ������������
2 2
探究三
探究四
探究二 等比数列前 n 项和的性质的应用
等比数列前 n 项和的性质是在等比数列的通项公式、前 n 项和公式及 等比数列的性质的基础上推得的,因而利用有关性质可以简化计算,但通项 公式、前 n 项和公式仍是解答等比数列问题的最基本的方法.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 (1)在等比数列 {an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n; (2)一个等比数列的首项为 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项和 为 170,求出数列的公比和项数. 思路分析:用求和公式直接求解或用性质求解. (1)解法一:∵ S2n≠2Sn,∴ q≠1.由已知,得 ②÷ ①,得 1+qn= ,即 qn= .③ ③代入①,得 故
1 4
n+1
- 或 Sn =
5 4
1 080× 1- -5 6 11
������
6
.
3-96������ =189.∴ q=2. 1-������
(2)∵ 等比数列 {an}中,a1=3,an=96,Sn=189,∴ ∴ an=a1qn-1.∴ 96=3×2n-1.∴ n=5+1=6.
探究一
探究二
������1 都可看作一个整体. 1-������
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 在等比数列 {an}中,其前 n 项和为 Sn. (1)S2=30,S3=155,求 Sn; (2)若 Sn=189,a1=3,an=96,求 q 和 n. 思路分析:(1)和(2)可利用等比数列的求和公式列方程(组)求解. ������1 = 180, ������1 (1 + q) = 30, ������1 = 5, 解:(1)由题意知 解得 或 5 ������ = 5 ������1 (1 + q + ������ 2 ) = 155, ������ = - , 从而 Sn= ×5
������1-������������ q 较好. 1-������ ������1(1-������������) Sn= 较好;若已知 an,则用公 1-������
2.等比数列前 n 项和性质 (1)在等比数列{an}中,连续相同项数和也成等比数列, 即 :Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等比数列. (2)当 n 为偶数时,偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比, 即
������1(1-������������ ) ������ -������ q 时,Sn= = 1 ������ . 1-������ 1-������
名师点拨 1.推导等比数列前 n 项和的方法为错位相减法.
2.在运用等比数列的前 n 项和公式时,一定要注意对公比 q 的讨论(q=1 或 q≠1). 3.当 q≠1 时,若已知 a1 及 q,则用公式 式 Sn=
(60-48) +S2n= 48
2
+60=63.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)解法一:设原等比数列的公比为 q,项数为 2n(n∈N ),由已知
*
a1=1,q≠1,且有
85 = 170 =
������1(1-������2������ ) , 1-������2
������2(1-������2������) , 1-������2
即
1-������2������ 1-������2
= 85, 170.②
①
������(1-������2������ ) = 1-������2
②÷ ①得 q=2. 又
1-22������ S2n=85+170=255,a1=1,∴ =255,22n=256,2n=8. 1-2
∴ 数列的公比为 2,项数为 8.
探究四
探究三 等差、等比数列的综合应用
1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是 等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式以及等差中项、等比中项问题 是历年命题的热点. 2.利用等比数列前 n 项和公式时注意公比 q 的取值,同时对两种数列的 性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时 还需利用条件联立方程组求解.
������1 =64. 1-������ ������1 (1-������3������ ) S3n= =64× 1-������ 1 43 5 4 1 4 ������1(1-������������ ) = 1-������ ������1(1-������2������ ) = 1-������
2.5
等比数列的前n项和
课程目标 1.理解并掌握等比数列前 n 项和公式 及其推导方法. 2.能利用等比数列的前 n 项和公式解 决有关问题. 3.掌握等比数列前 n 项和的性质及应 用.
学习脉络
1.等比数列的前 n 项和公式 数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1
探究一
探究二
探究三
探究四
解法二:由等比数列前 n 项和的性质知 S 偶=qS 奇. 又 S 偶=170,S 奇=85,∴ q=2. 又∵ Sn=170+85=255,a1=1,
1-2������ n ∴ =255,即 2 =256,n=8. 1-2
∴ 数列的公比为 2,项数为 8.
探究一
探究二
探究三
������偶 ������奇
=q.
n *
(3)若一个非常数列 {an}的前 n 项和 Sn=-Aq +A(A≠0,q≠0,n∈N ),则数 列{an}为等比数列,即 Sn=-Aqn+A⇔数列{an}为等比数列.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 等比数列前 n 项和的基本计算
在等比数列 {an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1 与 q 是最基本的元素,已知其 中三个,求其余两个时,可利用通项公式与求和公式,列出方程组求解,即“知 三求二 ”.在解方程组时,要注意整体思想的运用,如 q ,
48, 60.
①
②
1-
=63.
探究一
探究二
探究三
探究四
解法二:∵ {an}为等比数列, ∴ Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列, ∴ (S2n-Sn) =Sn(S3n-S2n),
(������ -������ ) ∴ S3n= 2������ ������ ������������
2 2
探究三
探究四
探究二 等比数列前 n 项和的性质的应用
等比数列前 n 项和的性质是在等比数列的通项公式、前 n 项和公式及 等比数列的性质的基础上推得的,因而利用有关性质可以简化计算,但通项 公式、前 n 项和公式仍是解答等比数列问题的最基本的方法.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 (1)在等比数列 {an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n; (2)一个等比数列的首项为 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项和 为 170,求出数列的公比和项数. 思路分析:用求和公式直接求解或用性质求解. (1)解法一:∵ S2n≠2Sn,∴ q≠1.由已知,得 ②÷ ①,得 1+qn= ,即 qn= .③ ③代入①,得 故
1 4
n+1
- 或 Sn =
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1 080× 1- -5 6 11
������
6
.
3-96������ =189.∴ q=2. 1-������
(2)∵ 等比数列 {an}中,a1=3,an=96,Sn=189,∴ ∴ an=a1qn-1.∴ 96=3×2n-1.∴ n=5+1=6.
探究一
探究二