【初三数学】深圳市九年级数学上(人教版)第24章圆单元测试卷及答案

人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)
一、选择题
1.下列语句中,正确的是( )
A.长度相等的弧是等弧;等弧对等弦
B.在同一平面上的三点确定一个圆
C.直径是弦;半圆是劣弧
D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
答案 D 选项A中,长度相等的弧不一定是等弧,故A错误;选项B中,不在同一直线上的三点确定一个圆,故B错误;选项C中,直径是圆中最长的弦,半圆既不是优弧也不是劣弧,故C 错误;选项D中,三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,故D正确.故选D.
2.如图,已知☉O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是( )
A.6
B.5
C.4
D.3
答案 B 过O作OC⊥AB于C,由垂径定理得AC=BC=AB=12,在Rt△AOC中,由勾股定理得
OC=-=5.故选B.
3.如图,△ABC内接于☉O,∠OBC=40°,则∠A的度数为( )
A.80°
B.100°
C.110°
D.130°
答案 D 连接OC,如图所示,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=40°,∴∠BOC=100°.∵∠1+∠BOC=360°,∴∠1=260°,∵∠A=∠1,∴∠A=130°.故选D.
4.如图,四边形ABCD内接于☉O,已知∠ADC=140°,则∠AOC的大小是( )
A.80°
B.100°
C.60°
D.40°
答案 A 因为∠ADC=140°,所以∠ABC=180°-∠ADC=40°,所以∠AOC=2∠ABC=80°.
5.如图,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,☉O2的半径为1,O1O2⊥AB于点P,O1O2=6,若☉O2绕点P按顺时针方向旋转360°,则在旋转过程中,☉O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现( )
A.3次
B.4次
C.5次
D.6次
答案 B 当☉O2与AD相切且位于AD上方时,有一个交点;当☉O2与AD相切且位于AD下方时,有一个交点;与BC相切时与AD情况相同,所以共出现4次,故选B.
6.如图,直径AB为12的半圆绕点A逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B',则图中阴影部分的面积是( )
A.12π
B.24π
C.6π
D.36π
答案 B 因为以AB为直径的半圆绕点A逆时针旋转60°得到以AB'为直径的半圆,故S半圆
AB'=S半圆AB,则S阴影=S扇形BAB'+S半圆AB'-S半圆AB=S扇形BAB'===24π,故选B.
7.如图,已知线段OA交☉O于点B,且OB=AB,点P是☉O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案A连接OP,根据题意知,当OP⊥AP时,∠OAP的取值最大.在Rt△AOP 中,∵OP=OB,OB=AB,∴AO=2OP,∴∠OAP=30°.故选A.
8.如图,直线AB与☉O相切于点A,弦CD∥AB,E,F为圆上的两点,且∠CDE=∠ADF.若☉O的半
径为,CD=4,则弦EF的长为( )
A.4
B.2
C.5
D.6
答案 B 连接OA,并反向延长交CD于点H,连接OC,
∵直线AB与☉O相切于点A,∴OA⊥AB,
∵弦CD∥AB,∴OH⊥CD,
∴CH=CD=×4=2,
∵☉O的半径为,∴OA=OC=,
∴OH=-=,
∴AH=OA+OH=+=4,∴AC==2.
∵∠CDE=∠ADF,∴=,∴=,∴EF=AC=2.
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,☉P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被☉P截得的弦AB的长为4,则a的值是( )
A.4
B.3+
C.3
D.3+
答案B作如图所示的辅助线,易得OC=CD=3,AP=3,AE=2,故PE=DE=-=1,PD=,故a=PC=DC+PD=3+.
10.如图,已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连接PA、PB,则△PAB面积的最大值是( )
A.8
B.12
C.
D.
答案 C 如图,平移AB使其与☉C相切于P,此时P点距离AB最远,即△PAB的面积最大,连接AC,连接PC并延长交AB于H.因为PC是☉C的半径,MN∥AB,所以PH⊥AB.∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,-3),则AB=5.∵S△ABC=·BC·AO=·AB·CH,∴CH=,∴PH=1+=,∴△PAB面积的最大值是×5×=,故选C.
二、填空题
11.“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”,这个命题用反证法证明应假设.
答案三角形中三个内角都小于60°
解析第一步应假设结论不成立,即三角形中三个内角都小于60°.
12.如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图,若∠AOB=120°,弧AB的长为12πcm,则该圆锥的侧面积为cm2.
答案108π
解析圆锥的侧面积就是所给扇形的面积,设扇形的半径为r cm,∵弧AB的长为12πcm,∴πr=12π,解得r=18,∴S=πr2=π×182=108π(cm2).另解:S=rl=×18×12π=108π(cm2).
13.如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形.则S扇形= cm2.
答案4
解析由题意可知扇形的周长为8cm.因为半径r=2cm,所以弧长l=8-2×2=4(cm),所以S扇形=l·r=×4×2=4(cm2).
14.如图,点A、B、C、D都在☉O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则☉O的直径的长是.
答案
解析连接AC,∵点A、B、C、D都在☉O上,∠ABC=90°,∴∠ADC=180°-∠ABC=90°,AC是直径,∵AD=3,CD=2,∴AC==,即☉O直径的长是.
15.如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连接外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,外圆的半径OC⊥AB于D,测得CD=
10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径为cm.
答案50cm
解析如图,连接OA,设半径为r cm,∵CD=10cm,AB=60cm,∴AD=AB=
30cm,OD=(r-10)cm,∴r2=(r-10)2+302,解得r=50.
∴这个车轮的外圆半径是50cm.
16.如图,两个同心圆,大圆的半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB的取值范围是.
答案8<AB≤10
解析如图,当AB经过圆心时最长,此时AB=2×5=10.当AB与小圆相切于D时,利用勾股定理可得AD=4.利用垂径定理可得AB=8.根据直线与圆的位置关系可得,若大圆的弦AB与小圆相交,则8<AB≤10.
17.如图,在平面直角坐标系中,直线l经过原点O,且与x轴正半轴的夹角为30°,点M在x 轴上,☉M半径为2,☉M与直线l相交于A、B两点,若△ABM为等腰直角三角形,则点M的坐标为.
答案(2,0)或(-2,0)
解析过点M作MC⊥l,垂足为C,
∵△MAB是等腰直角三角形,∴MA=MB,且∠BAM=∠ABM=45°.∵MC⊥l,∴∠BAM=∠CMA=45°,∴AC=CM.
在Rt△ACM中,∵AC2+CM2=AM2,即2CM2=4,
∴CM=.在Rt△OCM中,∠COM=30°,
∴CM=OM,∴OM=2CM=2,∴M(2,0).
根据对称性知,若点M在x轴负半轴上,则点M(-2,0)也满足条件.
18.如图24-5-16,在☉O中,AB是直径,点D是☉O上一点,点C是的中点,CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q.连接AC.关于下列结论:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心,其中正确结论是(只需填写序号).
答案②③
解析如图,连接OD,∵DG是☉O的切线,∴∠GDO=90°.∴∠GDP+∠ADO=90°.在Rt△APE中,∠OAD+∠APE=90°,∵AO=DO,∴∠OAD=∠ADO.∴∠APE=∠GPD=∠GDP,∴GP=GD.结论②正
确.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAQ+∠AQC=90°.∵点C是的中点,∴∠CAQ=∠ABC.又∵∠ABC+∠BCE=90°.∴∠AQC=∠BCE,∴PC=PQ.∵∠ACP+∠BCE=90°,∠AQC+∠CAP=90°,∴∠CAP=∠ACP,∴AP=CP,∴AP=CP=PQ,∴点P是△ACQ的外心.所以结论③正确.由于不能确定∠BAD与∠ABC的关系,所以结论①不一定正确.故答案是②③.
三、解答题
19.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.点M在☉O上,MD恰好经过圆心O,连接MB.
(1)若CD=16,BE=4,求☉O的直径;
(2)若∠M=∠D,求∠D的度数.
答案(1)∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,CD=16,
∴DE=CD=8.
∵BE=4,∴OE=OB-BE=OD-4.
在Rt△OED中,OE2+ED2=OD2,
∴(OD-4)2+82=OD2,解得OD=10.
∴☉O的直径是20.
(2)∵弦CD⊥AB,∴∠OED=90°.
∴∠EOD+∠D=90°.
∵∠M=∠D,∠EOD=2∠M,
∴∠BOD+∠D=2∠M+∠D=90°.
∴∠D=30°.
20.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点,以OA为半径的☉O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留π).
答案(1)证明:连接OD.
∵BC是☉O的切线,D为切点,
∴OD⊥BC.
又∵AC⊥BC,
∴OD∥AC,
∴∠ADO=∠CAD.
又∵OD=OA,
∴∠ADO=∠OAD,
∴∠CAD=∠OAD,即AD平分∠BAC.
(2)连接OE,ED.
∵∠BAC=60°,OE=OA,∴△OAE为等边三角形,
∴∠AOE=60°,∴∠ADE=30°.
又∵∠OAD=∠BAC=30°,∴∠ADE=∠OAD,
∴ED∥AO,
∴S△AED=S△OED,∠OED=∠AOE=60°,
∵OE=OD,∴△ODE为等边三角形,∴∠DOE=60°,
∴阴影部分的面积=S扇形ODE==π.
21.如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:DE为☉O的切线;
(3)若☉O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.
答案(1)证明:连接AD,∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,又BD=CD,
人教版数学九年级上册第24章《圆》培优检测题（含祥细答案）
一．选择题
1．已知⊙O的半径OA长为，若OB＝，则可以得到的正确图形可能是（）A．B．
C．D．
2．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（）
A．20°B．25°C．40°D．50°
3．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）
A．πB．2πC．3πD．6π
4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）
A．1 B．C．D．2
5．如图：已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．若∠COA＝60°，∠CDO＝70°，∠ACD的度数是（）
A．60°B．50°C．30°D．10°
6．对于以下图形有下列结论，其中正确的是（）
A．如图①，AC是弦
B．如图①，直径AB与组成半圆
C．如图②，线段CD是△ABC边AB上的高
D．如图②，线段AE是△ABC边AC上的高
7．如图，BC为⊙O的直径，AB＝OB．则∠C的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点且不与点A、B重合．若OP 的长为整数，则符合条件的点P有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则△PMN的周长为（）
A．6 B．6C．6D．9
10．如图，△ABC是半径为1的⊙O的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（）
A．3 B．C．D．
11．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）
A．20°B．25°C．30°D．35°
12．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）
A．3 B．C．D．4
二．填空题
13．在⊙O中，AC为直径，过点O作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，连接BC，若AB＝，ED
＝，则BC＝．
14．如图，△ABC的周长为16，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE 交于点G，则劣弧的长为．
16．在正六边形ABCDEF中，若边长为3，则正六边形ABCDEF的边心距为．17．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．
18．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．
三．解答题
19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂
足为E，连接OD．
（1）求证：∠A＝∠DOB；
（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
20．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点的切线交CB的延长线于点P，过点B 的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求PA的长度．
21．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交
A C于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
22．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，且AB＝BD，DB的延长线交⊙O于点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）CF与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若BF+CF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长度．
23．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）
24．如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD ＝AB，∠D＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
25．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为．
26．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的一点，过C点的切线于BA的延长线交于D点，E为CD上一点，连EA并延长交⊙O于H，F为EH上一点，且EF＝CE，CF 交延长线交⊙O于G．
（1）求证：弧AG＝弧GH；
（2）若E为DC的中点，sim∠CDO＝，AH＝2，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题
1．解：∵⊙O的半径OA长为，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选：A．
2．解：连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOP＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOP＝∠B+∠OAB，
∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．
故选：B．
3．解：该扇形的弧长＝＝3π．
故选：C．
4．解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，
所以原来的纸带宽度＝×2＝．
故选：C．
5．解：∵OA＝OC，∠COA＝60°，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
又∵∠CDO＝70°，
∴∠ACD＝∠CDO﹣∠CAD＝10°．
故选：D．
6．解：A、AC不是弦，故错误；
B、半圆是弧，不包括弧所对的弦，故错误；
C、线段CD是△ABC边AB上的高，正确；
D、线段AE不是△ABC边AC上的高，故错误，
故选：C．
7．解：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝OB，
∴BC＝2AB，
∴sin C＝＝，
∴∠C＝30°．
故选：A．
8．解：连接OA，作OC⊥AB于C，
则AC＝AB＝4，
由勾股定理得，OC＝＝3，
则3≤OP＜5，
OP＝3有一种情况，OP＝4有两种情况，
则符合条件的点P有3个，
故选：B．
9．解：分别过正六边形的顶点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
则∠EAM＝∠NBF＝30°，EF＝AB＝2，
∵AM＝BN＝2＝1，
∴EM＝FN＝1＝，
∴MN＝++2＝3，
∴△PMN的周长3×3＝9，
故选：D．
10．解：连接BD，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°，
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2，CD＝BD＝1，
∴BC＝＝，
∴矩形BCDE的面积＝BC•CD＝×1＝；
故选：C．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，
∵四边形AECD 是圆内接四边形，
∴∠AEB ＝∠D ＝80°，
∴∠EAC ＝∠AEB ﹣∠ACE ＝30°，
故选：C ．
12．解：连接BP ，如图，
当y ＝0时， x 2﹣4＝0，解得x 1＝4，x 2＝﹣4，则A （﹣4，0），B （4，0）， ∵Q 是线段PA 的中点，
∴OQ 为△ABP 的中位线，
∴OQ ＝BP ，
当BP 最大时，OQ 最大，
而BP 过圆心C 时，PB 最大，如图，点P 运动到P ′位置时，BP 最大， ∵BC ＝＝5，
∴BP ′＝5+2＝7，
∴线段OQ 的最大值是．
故选：C ．
二．填空题（共6小题）
13．解：∵OD ⊥AB ，
∴AE ＝EB ＝AB ＝，
设OA ＝OD ＝r ，
在Rt △AOE 中，∵AO 2＝OE 2+AE 2，
∴r 2＝（）2+（r ﹣）2，
∴r＝，
∴OE＝﹣＝，
∵OA＝OC，AE＝EB，
∴BC＝2OE＝，
故答案为．
14．解：∵AB、AC的延长线与圆分别相切于点F、E，
∴AF＝AE，
∵圆O与BC相切于点D，
∴CE＝CD，BF＝BD，
∴BC＝DC+BD＝CE+BF，
∵△AB C的周长等于16，
∴AB+AC+BC＝16，
∴AB+AC+CE+BF＝16，
∴AF+AE＝16，
∴AF＝8．
故答案为：8．
15．解：连接OG，DF，
∵BC＝2，E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∵AB＝3，AF＝1，
∴BF＝2，
由勾股定理得，DF＝＝，EF＝＝，∴DF＝EF，
在Rt△DAF和Rt△FBE中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△FBE（HL）
∴∠ADF＝∠BFE，
∵∠ADF+∠AFD＝90°，
∴∠BFE+∠AFD＝90°，即∠DFE＝90°，
∵FD＝FE，
∴∠FED＝45°，
∵OG＝OE，
∴∠GOE＝90°，
∴劣弧的长＝＝π，
故答案为：π．
16．解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OA，OB，
则△OAB是等边三角形，
过O作OH⊥AB于H，
∴∠AOH＝30°，
∴OH＝AO＝，
故答案为：．
17．解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°．
∵AD＝AB＝2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE＝AD＝1，∠ODE＝∠ADB＝30°，
∴OD＝＝．
故答案为
18．解：连接OE，
∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，
∴∠AOE＝120°，
S
△OAE
＝AE×OE sin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OE sin∠OEA＝，
S
阴影部分＝
S扇形OAE
﹣S
△OAE
＝×π×32﹣＝3π﹣．
故答案3π﹣．三．解答题（共8小题）19．（1）证明：连接OC，∵D为的中点，
∴＝，
∴∠BOD＝BOC，
∵∠BAC＝BOC，
∴∠A＝∠DOB；
（2）解：DE与⊙O相切，
理由：∵∠A＝∠DOB，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
20．（1）证明：连接OA，
∵AF、BF为半⊙O的切线，
∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°，
∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠E＝∠EAF，
∴AF＝EF，
∴BF＝EF；
（2）解：连接AB，
∵AF、BF为半⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，
又∵tan∠P＝，即，
∴PB＝，
∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P，
∴△APB∽△CPA，
∴，即PA2＝PB•PC，
∴，解得PA＝．
21．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AH＝AC＝，
∴OA＝，
故⊙O的半径为2．
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠MBC＝60°，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
22．解：（1）CF与⊙O相切．连接BC，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠D，
又∵OA＝OB，
∴OC是△ABD的中位线．
∴OC∥BD，
∴∠OCF＝∠CFD＝90°，
即CF⊥OC．
∴CF与⊙O相切；
（2）过点O作OH⊥BE于点H，则∠OCF＝∠CFH＝∠OHB＝90°，∴四边形OCFH是矩形，
∴OC＝FH，OH＝CF，
设BH＝x，
∵OC＝5，BF+CF＝6，
∴BF＝5﹣x，OH＝CF＝6﹣（5﹣x）＝x+1，
在Rt△BOH中，由勾股定理知：
BH 2+OH 2＝OB 2，即x 2+（x +1）2＝52，
解得x 1＝3，x 2＝﹣4（不合题意，舍去）．
∴BH ＝3，
∵OH ⊥BE ，
∴BH ＝EH ＝BE ，
∴BE ＝2BH ＝2×3＝6．
23．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径，
∴∠ABE ＝∠BCG ＝∠AFB ＝90°，
∴∠BAF +∠ABF ＝90°，∠ABF +∠EBF ＝90°，
∴∠EBF ＝∠BAF ，
在△ABE 与△BCG 中，
，
∴△ABE ≌△BCG （ASA ）；
（2）解：连接OF ，
∵∠ABE ＝∠AFB ＝90°，∠AEB ＝55°，
∴∠BAE ＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF ＝2∠BAE ＝70°，
∵OA ＝3，
∴的长＝＝．
24．（1）证明：连接OA ，则∠COA ＝2∠B ，
∵AD ＝AB ，
∴∠B ＝∠D ＝30°，
∴∠COA ＝60°，
∴∠OAD ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA ⊥AD ，
即CD 是⊙O 的切线；
（2）解：∵BC ＝4，
∴OA ＝OC ＝2，
在Rt △OAD 中，OA ＝2，∠D ＝30°，
∴OD ＝2OA ＝4，AD ＝2，
所以S △OAD ＝OA •AD ＝×2×2
＝2， 因为∠COA ＝60°，
所以S 扇形COA ＝＝π，
所以S 阴影＝S △OAD ﹣S 扇形COA ＝2﹣．
25．证明（1）∵AB ＝AC ，AC ＝CD
∴∠ABC ＝∠ACB ，∠CAD ＝∠D
∵∠ACB ＝∠CAD +∠D ＝2∠CAD
∴∠ABC ＝∠ACB ＝2∠CAD
∵∠CAD ＝∠EBC ，且∠ABC ＝∠ABE +∠EBC
∴∠ABE ＝∠EBC ＝∠CA D ，
∵∠ABE ＝∠ACE
∴∠CAD ＝∠ACE
∴CE ＝AE
（2）①当∠ABC＝60°时，四边形AOCE是菱形；理由如下：
如图，连接OE
∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE
∴△AOE≌△EOC（SSS）
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠ABC＝60°
∴∠AOC＝120°
∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC
∴△AOE，△COE都是等边三角形
∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，
∴四边形AOCE是菱形
故答案为：60°
②如图，过点C作CN⊥AD于N，
∵AE＝，AB＝，
∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD
∴AN＝DN
在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①
在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②
∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，
∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，
∴EN＝
∴AN＝AE+EN＝＝DN
∴DE＝DN+EN＝
故答案为：
26．（1）证明：如图，连接AC，BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAO＝90°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠ECA+∠ACO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠ECA＝∠B，
∵EF＝CE，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵∠ECF＝∠ECA+∠ACG，∠EFC＝∠GAF+∠G，∵∠ECA＝∠B＝∠G，
∴∠ACG＝∠GAF＝∠GCH，
∴；
（2）解：∵CH是⊙O的直径，
∴∠CAH＝90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠EC O＝90°，
设CO＝2x，
∵sim∠CDO＝＝，
∴DO＝6x，
∴CD＝＝4，
∵E为DC的中点，
∴CE＝＝2，
EH＝＝2，
∵∠ECH＝∠CAH，∠CHA＝∠EHC，
∴△CAH∽△ECH，
∴，
∴CH2＝AH•EH，
∴AH＝，
∵AH＝2，
∴，
∴x＝3，
∴⊙O的半径CO＝2x＝6．
人教版九年级上册数学第二十四章圆单元测试题（含答案）
一、选择题
1.已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 无法确定
2.下列说法正确的是( )
A. 同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等
B. 0°的圆心角所对的弦是直径
C. 平分弦的直径垂直于这条弦
D. 三点确定一个圆
3.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是（）
A. 点P在⊙O上
B. 点P在⊙O内
C. 点P在⊙O 外
D. 无
法确定
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是( )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 30°
5.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（）
A. 16
B. 10
C. 8
D. 6
6.过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为( )
A. 3 cm
B. 6cm
C. 8cm
D. 9 cm
7.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
8.如图，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于（）
A. 20°
B. 30°
C. 35°
D. 70°
9.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60
10.如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O与半圆P的半径的比为（）
A. 5﹕3
B. 4﹕1
C. 3﹕1
D. 2﹕1
11.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF 等于（）
A. 80°
B. 50°
C. 40°
D. 20°
12.如图，已知扇形OBC，OAD的半径之间的关系是OB=OA，则弧BC的长是弧AD长的多少倍（）
A. 倍
B. 倍
C. 2倍
D. 4倍
二、填空题
13.在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为________cm．
14.半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为________ cm2．
15.若直线a与⊙O交于A，B两点，O到直线a的距离为6，AB=16，则⊙O的半径为________．
16.如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm•长为半径的圆与直线BC的位置关系是________．
17.⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为________．
18.已知正四边形的外接圆的半径为2，则正四边形的周长是 ________
19.如图，AB是圆O的弦，若∠A=35°，则∠AOB的大小为________度．
20.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，⊙O的半径为3，则BC的长为________．
21.要在三角形广场ABC的三个角处各修一个半径为2m的扇形草坪，则三个扇形弧长的和为________
22.如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，若图中阴影部分的面积是16π，则AB 的长为________．
三、解答题
23.如图，在⊙O中，= ，OD= AO，OE= OB，求证：CD=CE．
24.已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O 的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长．
25.已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB=120°，AB=6，求BC的值．
26.如图所示，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求圆中阴影部分的面积.
27.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求弧BC的长.
28.如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB 于点E，线段CD=10，连接BD；
（1）求证：∠CDE=∠DOC=2∠B；
（2）若BD：AB=：2，求⊙O的半径及DF的长．
参考答案
一、选择题
1. A
2.A
3. C
4. B
5.A
6. A
7. C
8. C
9. A 10. D 11. D 12. B
二、填空题
13.4π 14. π 15.10 16.相切17. 50°
18.819.110 20.3 21.2π 22.8
三、解答题
23.证明：= ，
∴∠AOC=∠BOC．
∵AD=BE，OA=OB，
∴OD=OB．
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD=CE
24.解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴PA=PB=12，
∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，
∴EB=EQ，FQ=FA，
∴△PEF的周长是：PE+EF+PF=PE+EQ+FQ+PF，
=PE+EB+PF+FA=PB+PA=12+12=24，
答：△PEF的周长是24．
25.解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OP=OB，
∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连结AP，如图，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴BP=CP，
∵∠CAB=120°，
∴∠BAP=60°，
在RtBAP中，AB=6，∠B=30°，∴AP=AB=3，
∴BP=AP=3，
∴BC=2BP=6．
26.（1）证明：连接OC，
∵CA=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠COD=2∠A=2×30°=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S扇形OBC=．
在Rt△OCD中，∵，
∴．
∴．∴图中阴影部分的面积为．
27.（1）解：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∵D是弧的中点，
∴，
∴，
∴∠ACB=2∠ACD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=∠EAD=105°
∴∠ACB+∠ACD=105°，即3∠ACD=105°，
∴∠CAD=∠ACD=35°
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=40°，
连结OB，OC，则∠BOC=2∠BAC =80°，
∴的长.
28.（1）证明：∵直线CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∠CDO=90°，
∴∠CDE+∠ODE=90°．
又∵DF⊥AB，
∴∠DEO=∠DEC=90°．
∴∠COD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠COD．
又∵∠EOD=2∠B，
∴∠CDE=∠DOC=2∠B．
（2）解：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵BD：AB=：2，
∴在Rt△ADB中cosB==，
∴∠B=30°．
∴∠AOD=2∠B=60°．
又∵∠CDO=90°，
∴∠C=30°．
在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°=，
即⊙O的半径为．
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，
∴DE=CDsin30°=5．
∵DF⊥AB于点E，
∴DE=EF=DF．
∴DF=2DE=10．
人教版九年级数学（上）第24章《圆》单元检测题
一．选择题
1．如图，AO是圆锥的高，圆锥的底面半径OB＝0.7，AB的长为2.5，则AO的长为（）
A．2.4 B．2.2 C．1.8 D．1.6
2．如图，OA为⊙O的半径，点P为OA的中点，Q为⊙O上的点，且∠APQ＝135°，若OA＝2，则PQ的长度为（）
A．B．C．3D．
3．若⊙O的半径为5cm，OA＝4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．内含
4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝130°，则∠BOD＝（）
A．50°B．80°C．100°D．130°
5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BOC＝50°，则∠A的度数是（）
A．25°B．20°C．80°D．100°
6．下列命题错误的是（）
A．经过平面内三个点有且只有一个圆
B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．圆内接菱形是正方形
7．如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（）
A．πB．2πC．3πD．4π
8．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为（）
A．点M在⊙C上B．点M在⊙C内
C．点M在⊙C外D．点M不在⊙C内
9．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（）
A．6﹣πB．6﹣πC．12﹣πD．12﹣π
10．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，PA，PC均是⊙O的切线，若∠B＝40°，则∠P 的度数是（）
A．80°B．90°C．100°D．120°
11．如图，⊙O直径是10，弦AB长为8，M是AB上的一个动点，则OM的长度不可能是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．如图，⊙C过原点，且与坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣3，0），且M是第三象限内⊙C上一点，则∠BMO的度数为（）
A．100°B．110°C．120°D．130°
二．填空题
13．在边长为的正方形OABC中，D为边BC上一点，且CD＝1，以O为圆心，OD为半径作圆，分别与OA、OC的延长线交于点E、F，则阴影部分的面积为．
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为．
15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，
图中阴影部分的面积是（结果保留π）．
18．在⊙O中，直径AB＝4，PD与⊙O相切于点C，交AB的延长线与点D，且∠PDO＝30°，则劣弧的弧长为．
三．解答题
19．如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足B．
（1）若∠OAB＝40°，求∠C度数；
（2）若∠C＝30°，AC＝4，求⊙O的直径．
20．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB＝AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）PC＝2，OA＝4，求⊙O的半径．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．
22．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
23．如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F，且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠EAC＝∠CAB；
（2）若CD＝4，AD＝8，求⊙O的半径．
24．如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB＝10cm，BC＝8cm，CD平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．
25．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，点P是CD延长线上一点，连接PB、BD．（1）若BD平分∠ABP，求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接AP，延长BD交AP于点F，若BD⊥AP，AB＝，OP＝，求OE的长度．
参考答案
一．选择题
1．解：由勾股定理得，AO＝＝2.4，故选：A．
2．解：作OE⊥PQ于E，连接OQ．
∵AP＝OP＝1，∠APQ＝135°，
∴∠OPE＝45°，
∴OE＝PE＝，
在Rt△OQE中，
QE＝＝＝，
∴PQ＝PE+QE＝+＝，
故选：D．
3．解：∵⊙O的半径为5cm，OA＝4cm，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．
故选：A．
4．解：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝130°，∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝50°，
由圆周角定理得，2∠A＝∠BOD＝100°，
故选：C．
5．解：∵∠BOC＝50°，
∴∠A＝∠BOC＝25°．
故选：A．
6．A、当三点在一直线上时，三点不共圆；故本项错误，符合题意；
B、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点；它到三角形
三个顶点的距离都相等；故本选项正确，不符合题意；
C、因为在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系
中，只要有一组成立，则另外几组一定成立；故本选项正确，不符合题意；
D、因为在菱形中只有正方形外接圆；故本项正确，不符合题意；
故选：A．
7．解：如图，连接OA、OB．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝4，
∴的长是：＝2π．
故选：B．
8．解：∵由勾股定理得AB＝＝10cm，
∵CM是AB的中线，
∴CM＝5cm，
∴d＝r，
所以点M在⊙C上，
故选：A．
9．解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴正六边形ABCDEF的面积是：＝6×＝6，∠FAB＝∠EDC ＝120°，
∴图中阴影部分的面积是：6﹣＝，
故选：B．
10．解：连接OA，
∵∠B＝40°，
∴∠AOC＝2∠B＝80°，
∵PA，PC均是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OCP＝90°，
∴∠AOC+∠P＝180°，
∴∠P＝100°，
故选：C．
11．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂线段最短可知当M于点D重合时OM最短，当OM是半径时最长，
∵，⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵弦AB的长为8，OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4，
在Rt△OAD中，
OD＝＝＝3，
∴当OM＝3时最短，
∴OM长的取值范围是：3≤OM≤5．
∴OM的长度不可能是2．
故选：D．
12．解：∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣3，0），
∴OA＝3，OB＝3，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝60°，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO＝120°，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．解：在Rt△OCD中，OD＝＝＝2，∴∠COD＝30°，
在Rt△COD和Rt△AOG中，
，
∴Rt△COD≌Rt△AOG（HL）
∴AG＝CD＝1，∠AOG＝∠COD＝30°，
∴∠DOG＝30°，
∴阴影部分的面积＝×﹣×1××2﹣＝3﹣﹣，故答案为：3﹣﹣．
14．解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，
则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值＝MN′，
∵∠MAB＝20°，
∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°，。