高中_高二数学不等式的证明章节试题

不等式的证明章节试题
一. 习题：
1. 求证：221423a a a -≥-
2. a b c 、、为正数，求证：2233
3
(
)()a b ab a b c abc +-≤++- 3. ：a b a b >>+=001，，，求证：()()a a b b ++≥1125
4
4. ：a b c R 、、∈+，求证：121212111a b c a b b c c a
++≥+++++ 5. ：a b c R 、、∈+，求证：a b c a b c a b c b c c a a b 222≥⋅⋅+++
6. 设x y >>00，，证明不等式：()()x y x y 22
12
3
313
+>+
7. ：a b c ++=1，求证：ab bc ca ++≤1
3
二. 练习：
1. 假设a b >>0，求证：lg
lg a b a b >++11 2. a b R 、∈+，记P a b
Q a b =+=+2
，，
那么P Q 、的大小关系为〔 〕 A. P Q > B. P Q < C. P Q ≥ D. P Q ≤
3. a b >>00，，那么m ab =+lg()1与n a b =+++1
2
11[lg()lg()]的大小关系
是
〔 〕
A. m n ≥
B. m n >
C. m n ≤
D. m n < 4. 实数a b 、满足什么条件时，a b a b 333-<-？ 5. 假设x a ≠，比拟x a x 3213+与5923ax a +的大小。

【试题答案】 一. 例题：
1. 求证：221423a a a -≥- 证明：()()221423a a a ---
=---=---+=---=--+--=--+-+=-++=-++≥21211112112221121121122112121
2
4323332222222()()()()()()()
()[()]()[()()()]()()()[()]a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
另：
左右-=-+-++=-+-a a a a a a a a 43224222222111()()
2. 证明：右左-=-+c abc ab 32
=++-≥-=()c ab ab abc abc abc 3330333 证毕
法二：分析法：
要证不等式成立，即证c ab abc +≥⋅233(*) 而c ab c ab ab c ab ab abc +=++≥⋅⋅=23333 即〔*〕成立 ∴证毕
3. 法一：()()a a b b ab b a a b ab
++=+++111
=-
+++()()(*)ab ab
b a a
b 122 a b >>00，
∴+≥b a a
b
21()〔当且仅当a b =，“=〞成立〕
又12=+≥a b ab
∴<≤01
2
ab 〔当且仅当a b =，“=〞成立〕
∴≥-≤-1212ab ab
， ∴-
≤-=-ab ab 112
232 ∴-
≥()()ab ab
19422(*) ()()12+得：()()a a b b ++≥++=11942225
4
法二：要证()()a a b b ++≥1125
4
只需证444252222a b a b ab +++≥()
a b a b ab
+=∴+=-11222
只需证441242522a b ab ab +-+≥() 即4338022a b ab -+≥(*)
只需证ab ≤1
4
或ab ≥8
a b a b ab >>+=≥0012，，
∴≤ab 1
4
又ab ≥8不可能
∴只有ab ≤1
4
，〔*〕成立
∴原不等式成立
4. 证法一：141414440222
a b a b ab b a ab ab ab a b a b ab a b +-+=+++-+=-+≥()()()
同理：14141402
b c b c b c bc b c +-+=-+≥()()
14141402
a c c a c a ac c a +-+=-+≥()()
三式相加即可
法二：141421414121
1a b a b ab +≥⋅=⋅
()
又a b ab +≥2 ∴
≥+121
2ab a b
() (1)、(2)及传递性得14141a b a b
+≥+ 同理：14141b c b c +≥+ 14141a c a c
+≥+ 5. 证明：左
右
=⋅⋅------a b c a b c b c a c a b 222
=⋅⋅-+--+--+-a b c a b a c b c b a c a c b ()()()()()()
=⋅⋅---()()()a b a c b
c
a b a c b c
此不等式是轮换对称式 ∴不妨设a b c ≥≥>0
a
b a b ≥->10， ∴≥-()a
b
a b 1
同理：()a
c
a c -≥1
()b
c b c -≥∴≥11左右
证毕
6. 证法一：要证原不等式
只需证：()()x y x y 223332+>+ 只需证：32222233x y x y x y ()+>
只需证：x y xy 222
3
+>
显然 x y >>00，
∴+≥>x y xy xy 2222
3
证法二： ()()x y x y x y x y 2236622223+=+++
≥++>++=+>>x y x y x y x y x y x y 66336633
3326200()()
，
∴+>+()()x y x y 2212
3313
7. 证法一：要证ab bc ca ++≤
13
只要证ab bc ca a b c ++≤++()2
3
即证333222222ab bc ca a b c ab bc ca ++≤+++++
就是a b c ab bc ca 222++≥++
a b c ab bc ca 222++≥++成立〔略〕
∴++≤ab bc ca 1
3
证法二： a b c a b b c c a 2222222221
2++=+++++[()()()]
≥++=++1
2222()
ab bc ca ab bc ca
∴++≥++()()a b c ab bc ca 2
3
a b c ++=1
∴++≤
ab bc ca 13
证法三：ab bc ca b a c ca ++=++()
=-+++=+-++≤+-+++=-+++=-+-+≤
[()]()()()()(
)()()
[()]12
3
434231313
222
22a c a c ca
a c a c ca
a c a c c a a c a c a c 二. 练习：
1. 证：
a b a b a b b a b b a b
b b -++=+-++=-+>1111110()()()() ∴>++a b a
b
11
两边取以10为底的对数得：lg lg a b a
b
>++11
2. D
P a b ab
Q a b 2222
=
++=+，
P Q a b ab a b 22
2222
0-=-+-=--≤()()
3. C n a b m ab a b ab a b ab a b n m
=++=+++-+=+-=-≥lg[()()]lg()
()()()()111111212
22，
4. 解： a b a b 333-<-
由定理5：()()a b a b 33333-<- 即()()a b a b 3330---< 右左333333-=-ab a b () 亦即30333ab a b ()->
∴>->⎧⎨⎪⎩⎪<-<⎧⎨
⎪⎩⎪ab a b ab a b 333333000
0或 ∴>><<ab a b ab a b 00且或且 即a b b a a b >><<<<000或或 5. 解：()()x a x ax a 32231359+-+
=---+()()x a a x ax a 33225138
=-++---()()()()x a x ax a a x a x a 2258
=-++-+=--+()[()]
()[()]x a x ax a ax a x a x a a 2222
2
5825
x a x a ≠∴-≠0
x a -2与5a 不同时为0 ∴-+>()x a a 25022
∴>x a 时，x a x ax a 32231359+>+ x a <时，x a x ax a 32231359+<+。