2019-2020学年四川省棠湖中学高一下学期第四学月考试数学(文)试题

2020年春四川省成都市双流棠湖中学高一第四学月考试
文科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1.sin15cos15︒⋅︒的值是
A.
12
B.12
-
C.
14
D.14
-
2.设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =u u u r u u u r ，则OC =u u u r
A.1233
AB AC -+u u u
r u u u r
B.2133
AB AC -u u u
r u u u r C.1233
AB AC -u u u
r u u u r D.2133
AB AC -+u u u
r u u u r
3.在△ABC 中，如果sinA:sinB:sinC =2:3:4，那么cosC 等于
A. 23
B. −23
C.
 −1
3
D.
 −1
4
4.等比数列{}n a 中，372,8,a a ==则5a =
A.4±
B.4
C.6
D.4-
5.已知向量,a b r r 满足1a =v ，2b =v ，||a b +=r
r a b ⋅=r r
A.
12
B. 1
D. 2
6.设当x =θ时，函数f(x)=2sinx −cosx 取得最大值，则cos θ=
A. 2√55
B. √55
C. −2√55
D. −√5
5
7.已知函数223y x x =-+在区间[]0,m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 A.[
)1,+∞
B.[]0,2
C.(],2-∞
D.[]1,2
8.
2cos10sin 20cos 20︒-︒
︒
的值为
A.3
C.1
9.设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若 
bcosC
+ccosB =asinA , 则△ABC 的形状
为
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
10.若cos cos 24παα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，则sin 2α=
A. -1
B.
1
2
C. -1或
12
D. 12-
或14
11.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为 （结果精确到0.1．参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771．） A.2.6天
B.2.2天
C.2.4天
D.2.8天
12.如图，向量1e u r ，2e u u r ，a r 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若12a e e λμ=+r u r u u r
，则λμ+=
A. 1-
B. 3
C. 1
D. 3-
第II 卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.cos18∘
⋅cos42∘−cos72∘⋅sin42∘=_____.
14.已知向量()1,2a =r
，()3,4b =
r ，则a r 在b r
方向上的投影为______.
15.设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()10f =，则不等式()()
0f x f x x
--<的解集为
_____．
16.在数列{}n a 中，12a =，11n n a a n +=++，则5a =__________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知4a =r ，3b =r ，()()
23261a b a b -⋅+=r r
r r .
（Ⅰ）求a r 与b r
的夹角θ；
（Ⅱ）求a b -r r
.
18.（12分）已知sin 410
πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭， ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求cos α的值；
（Ⅱ）求sin 24πα⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
的值.
19.（12分）已知等差数列{a n }中，公差d ≠0，S 7=35，且a 2,a 5,a 11成等比数列.
（I ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若T n 为数列{1
a n a n+1}的前n 项和，且存在n
∈N *，使得T n −λa n+1≥0成立，求λ的取值
范围.
20.（12分）已知函数2()sin cos f x x x x =（Ⅰ）求()y f x =的最小正周期，并求其单调递减区间；
（Ⅱ）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2
f A =-
，且A 为钝角，2a =，求ABC △面积的最大值.
21.（12分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且2
215n S n n =-+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）n 为何值时，n S 取得最大值并求其最大值．
22.（12分）已知数列{}n a 中，11a =，()12311
23,*3
n n n a a a na a n N +++++⋯+=∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}
2
n n a 的前n 项和n T ；
（III ）若对任意的*n N ∈，都有()1n a n λ≥+成立，求实数λ的取值范围．
2020年春四川省成都市双流棠湖中学高一第四学月考试
文科数学试题答案
1-5:CADCA 6-10:DDDBC 11-12:AA
13.12
14.
5
11 15.()()1,00,1-⋃
16.16
17.（1）||4a =r
Q ，||3b =r ，
22(23)(2)4||3||437461a b a b a b a b a b -⋅+=--⋅=-⋅=r r r r r
r r r r r Q ， ∴||||cos ,6a b a b a b ⋅=⋅<>=-r r r
r r r g ，
∴1cos ,2
a b <>=-r r ，∴,120a b <>=o r
r ，
∴向量a r 与b r
的夹角120θ=?.
（2）222||||||21691237a b a b a b -=+-⋅=++=r r r
r r r Q ，
||a b ∴-=r
r
18（Ⅰ）由πsin 410
α⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭得， 12，即1sin cos 5αα+=. ①22sin cos 1αα+= ② 由①②解得3cos 5α=-
或cos α= 45. 因为ππ2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
，所以3cos 5α=-.
（Ⅱ）因为ππ2α⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
，
3
cos 5
α=-
,
4sin 5α===
4324sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ 2
237cos22cos 12525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭
.
πππ
sin 2sin2cos cos2sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 2472525⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=. 19（1）由题意可得{
7a 1+7×62
d =35,(a 1+4d )
2
=(a 1+d )(a 1+10d ),
即{a 1+3d =5,2d 2
=a 1d.
又因为d
≠0，所以{a 1=2,d =1.
所以a n
=n +1.
（2）因为1
a n a n+1
=1
(n+1)(n+2)=1
n+1−1
n+2，所以 T n =12−13+13−14+⋯+1n+1−1
n+2
= 1
2−1
n+2=n
2(n+2). 因为存在n
∈N
*，使得T n
−λa n−1≥0成立，所以存在n ∈N *，使得n
2(n+2)−λ(n +2)≥0成立，即存在n
∈N
*，使得λ
≤
n 2(n+2)成立.
又n
2(n+2)2=1
2(n+4n
+4)⋅1
2(n+4n
+4)≤1
16（当且仅当n
=2时取等号）.
所以λ≤
116
，即实数λ的取值范围是(−∞,
1
16
].
20.（1）()21sin cos sin 22sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=⋅==+ ⎪⎝
⎭ ()f x ∴最小正周期：22
T π
π=
= 令()32222
3
2k x k k Z π
π
πππ+
≤+
≤+
∈得：()71212
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈ ()f x ∴的单调递减区间为：()7,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
单调递减区间7,()1212k k k z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
.
（2）由()f A =sin 232A π⎛⎫+=-
⎪⎝⎭
,2A ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
Q 472,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪
⎝⎭ 5233A ππ∴+=，解得：23A π= 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2243b c bc bc =++≥（当且仅当b c =时取等号）
43bc ∴≤
1142sin sin 2233ABC S bc A π∆∴=≤⨯=
即ABC ∆
21.（1）由题意可知：2
215n S n n =-+，当1n =时，1121513a S ==-+=，
当2n ≥时，22
1215[2(1)15(1)]174n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-，
当1n =时，显然成立，∴数列{}n a 的通项公式174n a n =-；
（2）2
2152252152()48
n S n n n =-+=--
+， 由n *∈N ，则4n =时，n S 取得最大值28， ∴当n 为4时，n S 取得最大值，最大值28．
22.（1）数列{a n }中，11a =，()12311
23,*3
n n n a a a na a n N +++++⋯+=
∈． 可得1n =时，1223
a a =
，即232a =，
2n ≥时，()12312313
n n n
a a a n a a -+++⋯+-=
， 又12311
233
n n n a a a na a +++++⋯+=
， 两式相减可得1133
n n n n n
na a a ++=
-， 化为()114,2n n n a na n ++=≥，
可得2
2
224
34
n n n na a --=⋅=⋅，即2
34,2n n a n n
-⋅=≥，
综上可得21,134,2n n n a n n
-=⎧⎪
=⎨⋅≥⎪
⎩；
（2）22
34,2n n n a n n -=⋅≥，
则前n 项和2
132134416(4)n n T n -=+⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，
144324316464(4)n n T n -=+⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，
相减可得1
2
1
11433324164
4
33414
()n n n n n T n n ------=-++++⋯+-⋅=⋅-⋅-，
化为()1
13143
n n n T -+-⋅=
；
（3）对任意的*n N ∈，都有()1n a n λ≥+成立，
即为1
n
a n λ≤
+的最小值， 由1n =可得
1
12
n a n =+， ()()()()1
2
12
1343442,111123421
n n n n n n a n n a n n a n n n n n n n +---+⋅⋅+==⋅=>++++⋅++， 可得2n ≥时，1n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
递增， 当1n =或2时，1n a n ⎧⎫
⎨
⎬
+⎩⎭
取得最小值12，则12λ≤．。