数学公式整理(牛人非牛人皆宜)

数学公式整理
导数表：
1．()0='
c ； 2．()1
-='αααx
x
，()0≠α；
3．()αα
α
ln x
x
='，()x
x
e e ='，()1,0≠αα ；
4．()α
αln 1
log ⋅='
x x ；()x
x 1ln ='
，()1,0≠αα ；
5．()x x cos sin ='
；()x x sin cos -='
；
6．()x x 2sec tan ='；()x x 2
csc cot -='
；
7．()x x x tan sec sec ='；()x x x tan csc csc -='
；
8．()2
11
arcsin x
x -='
；()2
11
arccos x
x --='
；
9．()2
11
arctan x
x +='
；()2
11
cot x x arc +-='
；
10．()chx shx ='；()shx chx ='
，（2
x
x
e
e shx --=；2
x
x e
e chx -+=）；
积分表：
1. c x dx x ++=
+⎰11
1
αα
α，()1-≠α； 2. c x dx x +=⎰ln 1
；
3. ⎰+=c dx x x
αα
αln 1；c e dx e x x +=⎰，()1,0≠αα ； 4. ⎰+-=c x xdx cos sin ；⎰+=c x xdx sin cos ； 5. ⎰+=c x xdx sec ln tan ；⎰+=c x xdx sin ln cot ；
6. ⎰++=c x x xdx tan sec ln sec ；⎰++-=c x x xdx cot csc ln csc ；
7.
⎰+-=
c x x xdx 42sin 2sin 2；⎰++=c x
x xdx 4
2sin 2cos 2；
8. ⎰+-=c x x xdx tan tan 2；⎰+--=c x x xdx cot cot 2； 9.
⎰+=c x xdx tan sec 2；⎰+-=c x xdx cot csc 2；
10. c x x xdx ++-
=⎰cos 3sin 2sin 23
；c x x xdx ++=⎰sin 3
cos 2cos 23
； 11. c x x xdx ++=⎰cos ln 2tan tan 23
；c x x xdx +--=⎰sin ln 2
cot cot 23
； 12. c x
x x x dx x +++=⎰2
tan sec ln 2tan sec sec 3
c x
x x x dx x +-+-
=⎰2
cot csc ln 2cot csc csc 3
； 13.
⎰⎰---+-=xdx n
n x x n dx x n n n 2
1sin 1cos sin 1sin dx x n
n x x n dx x n n n ⎰⎰---+=21
cos 1sin cos 1cos ； 14. ⎰⎰----=
xdx n x xdx n n n
21tan 1tan tan ；⎰⎰-----=xdx n x xdx n n n
21cot 1
cot cot ； 15.
⎰⎰----+-=
xdx n n x x n dx x n n n 2
2sec 12sec tan 11sec ⎰⎰----+--=xdx n n x x n xdx n n n 22
csc 1
2csc cot 11csc ； 16. ⎰+-+=c x x x xdx 21arcsin arcsin ；⎰+--=c x x x xdx 21arccos arccos ；
17. ()
⎰++-=c x x x xdx 21ln 2
1arctan arctan ； 18. ⎰+=c x xdx x sec tan sec ；⎰+-=c x xdx x cot cot csc ； 19. ⎰+=c chx shxdx ；⎰+=c shx chxdx ；
20.
⎰+-=c x x x xdx ln ln ；
21.
c x dx x +=+⎰αααarctan 1122；c x
x
dx x +-+=-⎰ααααln 2112
2 22.
c x
dx x
+=-⎰
α
αarcsin
1
2
2；
23.
c x x dx x +±+=±⎰
222
2ln 1αα；
24.
c
x x x x dx x +++++=+⎰2222
22
2
ln 2
2ααααc x x
x
dx x +++
=
-⎰
222
2
22
arcsin
2
αα
αα；
定积分应用：
1. 面积（直角坐标系）：
()()⎰-=b
a
dx x g x f A ；
2. 面积（极坐标）
()[]θθβ
α
d r A 2
21⎰=；
3. 已知平行截面积求体积：
()dx x A dV =，()dx x A V b
a
⎰=；
4. 旋转体体积：
()[]dx x f V b
a
2
⎰=π；
5. 曲线弧长（一般式）：
()[]dx x f s b
a
⎰
'+=2
1；
6. 曲线弧长（参数方程）：
()()
⎩⎨⎧==t y y t x x ，βα≤≤t ，()[]()[]dt t y t x s ⎰'+'=βα
2
2； 7. 曲线弧长（极坐标）：
θβ
α
d r r s ⎰
'+=22；
8. 旋转曲面面积（一般式）：
()()[]dx x f x f F b
a
⎰'+=2
12π；
9. 旋转曲面面积（参数方程）：
()()
⎩⎨⎧==t y y t x x ，βα≤≤t ，()()[]()[]dt t y t x t y F ⎰'+'=βα
π2
22；
广义积分
1.
Γ函数：
()dx xe x s x
s ⎰
∞=Γ0
；()()!1-=Γn n ，()1
≥n ；()()()ππ
s s s sin 1=-Γ⋅Γ ，()10 s ； 2.
B 函数
()()
⎰---=B 1
1
11,dx x x q p q p ，()0,0 q p ；()()()()
q p q p q p +ΓΓ⋅Γ=
B ,；
Taylor 公式：
1.
()()()()()()
∑
=-+-=n
i n
i i x x x x x f i x f 0000!
1ο()()
()()()()()1
00010!
11++--++=
-n n n x x x x x f n x x θο；
2. ()()()()()()()n n x f n f f f x f ο+++''+
'+=0!102100 ()
()()()11!
11+++=n n n x x f n x θο；
多元函数微分：
记：
()
()n n
n n
n n y F y F
y F y F y y y D F F F D ∂∂∂∂∂∂∂∂=
1
11
12121,,,,, ； 1.
空间曲面的切平面（一般式）：
()()()()()[]0,,,00000000=---'+-'y x f z y y y x f x x y x f y x ；
2. 空间曲面的切平面（隐函数）：
()()()()()()0,,,,,,000000000000=-'+-'+-'z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ；
3. 空间曲面的切平面（参数方程）：
()
()()⎪⎩
⎪
⎨⎧===v u z z v u y y v u x x ,,, ，()()()()()()()()()0,,,,,,00
0=-+-+-z z v u D y x D y y v u D x z D x x v u D z y D ； 4. 空间曲线的切线（一般式）：
()()()()()()
000000t z t z z t y t y y t x t x x '-=
'-='-； 5. 空间曲线的切线（参数方程）：
()()()()()()
000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-； 6. 空间曲线的切线（两平面交线表示）：
()()⎩
⎨⎧==0,,0
,,z y x G z y x F ，()()()()()()
y x D G F D z z x z D G F D y y z y D G F D x x ,,,,,,000-=-=- ；
多元函数积分：
1.
变幻坐标求解：
()()⎩⎨
⎧==v u y y v u x x ,,:ϕ ，()()()[]()()σσ'=⎰⎰⎰⎰Ω'
Ωd v u D y x D v u y v u x f d y x f ,,,,,,
2. 三重积分变量代换：
⎪⎩
⎪
⎨⎧===z z r y r x θθ
ϕsin cos : ，()()σθθσ'⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω'Ωrd z r r f d z y x f ,sin ,cos ,,；
⎪⎩
⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x ，()()σϕϕθϕθϕσ'=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ'd r r r con r f d z y x f sin cos ,sin sin ,sin ,,2
3. 计算重心：
()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
ΩΩ
===
=σ
ρσρσρσρd z y x z M z d z y x y M y d z y x x M
x d z y x M ,,1
;,,1
;,,1,
,,
4. 转动惯量：
()
()⎰⎰⎰Ω
+=σρd z y x z y I x ,,22；
()
()⎰⎰⎰Ω
+=σρd z y x z x I y ,,22；
()
()⎰⎰⎰Ω
+=σρd z y x y x I z ,,22；
Taylor 级数：
1. +++++==∑∞
=!21!20
n x x x n x e n
n n x
；
2.
()()()() ++-+
-+-=+-=+∞
=+∑
125
301
2!121!
5!3!
121sin n n
n n n
x n x x x x
n x ； 3.
()()()() +-+-+-=-=∑∞
=n
n
n n n x n x x x n x 24220
!21!4!21!21cos ；
4.
()() +--+-+-=--=--∞
=--∑
1215131211
215
3
1
21arctan n n n n n x n x x x x n x ，[]1,1-∈x ；
5.
()()() +-+-+-=-=++∞
=+∑
n
n n n n x n
x x x x n x 132
1
113211ln ，(]1,1-∈x ； 6.
()()m m m
x mx x m m mx x +++-+
+=+-12
2
111 ，()N m ∈； 7.
()()(][]⎪⎩
⎪⎨⎧-∈--∈-≤-∈⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=+∑∞
=0,1,101,1,11
,1,1,10 ααααα
x x x x n x n n ，()()!11n n n +--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛αααα ； 8. ++++++=-n x x x x x
32111
，()1,1-∈x ；
Fourier 级数：
()()∑∞
=++=10sin cos 2n n n nx b nx a a x f ；
()dx x f a ⎰-
=
π
π
π1
0，()⎰-
=
π
π
πnxdx x f a n cos 1
，()nxdx x f b n sin 1
⎰-
=
π
ππ
； Parseval 等式：
()
()⎰∑-∞
==++πππdx x f b a a n n n 21
2
22
012；
常微分方程：
1． 齐次线性方程：
形式：()()()()()()()()0122110=+'++++---y x a y x a y x a y x a y x a n n n n n ； 2． 一阶常微分方程：
变量可分离方程： 形式：
()()y h x g dx
dy
⋅=； 解法：1）
()()dx x g y h dy ⋅=；2）()()⎰⎰
=dx x g y h dy
；3）()()c x G y H +=； 注意：若0y 是方程()0=y h 的根，则显然函数0y y =也是方程的解，而且这
个解不一定包含在通解的表达式中；
齐次方程：
形式：
()y x f dx
dy
,=，其中()()y x f y x f ,,=ττ，0≠τ； 解法：1）令ux y =，代入：()()()u f ux x f dx
du
x u dx ux d ,1,==+=； 2）()u u f dx du x -=,1，解出u ，用x
y
u =代入； 注意：同上；
同类多项式分式方程： 形式：2
221
11c y b x a c y b x a dx dy ++++=
； 解法：
•021==c c ：同齐次方程； •0,21≠c c ，
02
2
11≠b a b a ：
1）作变换：⎩⎨⎧-=-=η
ξy y x x ~
~
； 2）代入：()()
2222211111~~~~~~c b a y b x a c b a y b x a x d y
d -+-+-+-+=ηξηξ；
3）解方程组：⎩⎨⎧=+=+222
1
11c b a c b a ηξηξ，得到ηξ,；
4）解齐次方程：y
b x a y
b x a dx dy ~~
~~2211++=；
•
02
21
1=b a b a （既()()1122,,b a b a λ=）
，21,b b 不同时等于0： 1） 取y b x a u 11+=，代入：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=111a dx du b dx dy ； 2） 代入：
()2
1
111111222111c u c u c y b x a c y b x a c y b x a c y b x a ++=
++++=++++λλ； 3） 解变量可分离方程：
()u g dx
du
=； 全微分方程：
形式１：()()0,,=+dy y x g dx y x f ，其中()()x y x g y y x f ∂∂=∂∂,,； 解法：观察法；
形式２：()()0,,=+dy y x g dx y x f ，其中
()()x
y x g y y x f ∂∂≠∂∂,,； 解法：1）取()y x ,μ，使()()()()0,,,,=+dy y x g y x dx y x f y x μμ是全微分方 程（观察法）；
2）用观察法解全微分方程； 线性方程： 形式：
()()x g y x f dx
dy
=+； 解法：()()()⎰⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎰=-⎰dx x f dx x f e c dx e x g y ； Bernoulli 方程： 形式：
()()n y x g y x f dx
dy
=+； 解法：1）两端除以n y ：
()()x g y
x f dx dy y n n =+-1
1
1； 2）取1
1-=
n y u ，则()
du y n du n
1
1-=，代入； 3）
()()()()x g n u x f n dx
du
-=-+11； 4）解线性方程；
注意：当0 n 时，0=y 是方程的解；
3． 二阶线性微分方程：
二阶常系数齐次线性微分方程：
形式：
02
2=++qy dx dy
p dx y d ； 解法：1）设x e y λ=，代入；
2）解方程：02=++q p λλ（特征方程），得出21,λλ； 3）若2121,,λλλλ≠∈R ：x x
e c e
c y 2121λλ+=；
若λλλλλ==∈2121,,R ：()x e x c c y λ21+=； 若bi a ±=λ：()bx c bx c e y ax sin cos 21+=； 二阶常系数非齐次线性微分方程：
形式：
()x f qy dx dy p dx y d =++2
2； 一般解法：1）取()x y *
是相应齐次方程的一个解，记()x y 0是齐次方程通解；
2）取特解为()()x y x u *，代入方程；
3）()x f dx
du py dx dy dx u d y qy dx dy p dx y d u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++******22222； 由于()x y *
是相应齐次方程的解，既02
2=++*
**qy dx dy p dx
y d ， 既()x f dx
du py dx dy dx u d y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++***
222； 4）记dx du v =，代入：()x f v py dx dy dx dv y =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++***2，得出v ； 5）对v 积分，得出u ；()*
+=y x u y y 0；
特征解法：
()()x n e x U x f *
=λ：
1）判定*
λ是特征方程的m 重根；计算相应齐次方程的通解，记为0y ； 2）取()x n m e x V x y *
=*λ，得到'
*
y 和"
*
y
；
3）代入，比较系数，确定()x V n ；得出*+=y y y 0； ()()bx e x U x f ax n cos =或()()bx e x U x f ax n sin =：
1）判定bi a ±是特征方程的m 重根；计算相应齐次方程的通解，记为0y ； 2）取()()[]x x N x x M e x y n n ax m sin cos +=*，得到'
*
y 和"
*
y
；
3）代入，比较系数，确定()x V n ；得出*+=y y y 0；
Euler 方程：
形式：()x f qy dx dy
px dx
y d x =++2
22
； 解法：1）取t
e x =，即x t ln =；
2）dt dy x dx dt dt dy dx dy 1==；⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=dt dy dt y d x dt dy x dx d dx
y d 2222211； 3）代入，得()()
t e f qy dt dy
p dt
y d =+-+122，解出y 关于t 的函数，代入解出； 4． 可降阶的高阶微分方程:
形式1：()
(
)0,=n y
x F ；
解法：1）若可以从()
(
)0,=n y
x F 中解出()()x f y n
=：两边积n 次分；
2）若不能解出()()x f y n =：表示成参数方程：()()()
⎩⎨⎧==t y t x n ψϕ，满足()()()0,≡t t F ψϕ；
3）()
()()()()111c t dt t t dx y y
n n +='==⎰⎰-ψϕψ；做n 次，得出参数解；
4）解出参数或保留参数都可以； 形式2：()
()()(
)
0,,,,1=+n k k y y y
x F
解法：1）令()
k y p =，则()
p y
k '=+1，…，()()k n n p y -=，代入；
2）解降阶后的方程：()
()0,,,,='''-k n p p p x F ，得到p ；
3）对p 积k 次分，得到y ；
形式3：()()0,,,,='''n y y y y F ；
解法：1）令y p '=，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y ===''，2
222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=''dy dp p dy p d p dx dp p dx d y ； 2）解降阶后的方程：()()0,,,,1='-n p p p y F ，得出()121,,,,-=n c c c y p p ；
3）解变量可分离方程：p dx dy =：()⎰+=-n n c x c c c y p dy 121,,,, ，得到解；。