2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题35

基础达标检测
一、选择题
1．(文)如果函数f(x)＝x4－x2，那么f ′(i)＝( )
A ．－2i
B ．2i
C ．6i
D ．－6i
[答案] D
[解析] 因为f ′(x)＝4x3－2x ，
所以f ′(i)＝4i3－2i ＝－6i.
(理)设函数f(x)＝(1－2x3)4，则f ′(1)等于( )
A ．0
B ．－1
C ．－24
D ．24 [答案] D
[解析] ∵f ′(x)＝4(1－2x3)3·(－6x2)，
∴f ′(1)＝4(1－2)3×(－6)＝24.
2．下列求导数运算正确的是( )
A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2
B ．(log2x)′＝1xln2
C ．(3x)′＝3xlog3e
D ．(x2cosx)′＝－2xsinx
[答案] B
[解析] (x ＋1x )′＝1－1x2，A 错；(3x)′＝3xln3，C 错；
(x2cosx)′＝2xcosx －x2sinx ，D 错；故选B.
3．(文)(2014·黄石模拟)已知f(x)＝xlnx ，若f ′(x0)＝2，则x0＝( )
A ．e2
B ．e
C.ln22 D ．ln2
[答案] B
[解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝lnx ＋1，
由f ′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
(理)若函数f(x)＝x2＋bx ＋c 的图像的顶点在第二象限，则函数f ′(x)的图像是( )
[答案] C
[解析] 由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫
－b 2，4c －b24在第二象限
⇒⎩⎨⎧ －b 2<04c －b24>0
⇒b>0，又f ′(x)＝2x ＋b ，故选C. 4．(文)曲线y ＝ex 在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A ．1
B ．2
C ．e D.1e
[答案] A
[解析] ∵y′＝ex ，故所求切线斜率k ＝ex|x ＝0＝e0＝1.
(理)(原创题)设f0(x)＝sinx ，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，…，fn ＋1(x)＝f ′n(x)，n ∈N ，则f2 015(x)等于( )
A ．sinx
B ．－sinx
C ．cosx
D ．－cosx
[答案] D
[解析] ∵fn(x)＝fn ＋4(x)，∴f2 015(x)＝f3(x)＝－cosx.
5．(2013·全国大纲)已知曲线y ＝x4＋ax2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )
A ．9
B ．6
C ．－9
D ．－6
[答案] D
[解析] y′＝4x3＋2ax ，y′|x ＝－1＝－4－2a ＝8
∴a ＝－6.
6．(文)已知点P 在曲线f(x)＝x4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于
直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( )
A ．(0,0)
B ．(1,1)
C ．(0,1)
D ．(1,0)
[答案] D
[解析] 由题意知，函数f(x)＝x4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′(x0)＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．
(理)若函数f(x)＝exsinx ，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )
A.π2 B ．0
C ．钝角
D ．锐角
[答案] C
[解析] f ′(x)＝exsinx ＋excosx
＝ex(sinx ＋cosx)＝2exsin(x ＋π4)．
f ′(4)＝2e4sin(4＋π4)＜0，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜
角为钝角，故选C.
二、填空题
7．(文)已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为 ________．
[答案] 103
[解析] f ′(x)＝3ax2＋6x ，
又∵f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.
(理)若函数f(x)＝13x3－f ′(－1)·x2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.
[答案] 6
[解析] ∵f(x)＝13x3－f ′(－1)x2＋x ＋5，
∴f ′(x)＝x2－2f ′(－1)x ＋1，
∴f ′(－1)＝(－1)2－2f ′(－1)(－1)＋1，
解得f ′(－1)＝－2.
∴f ′(x)＝x2＋4x ＋1，∴f ′(1)＝6.
8．(文)(2013·江西高考)若曲线y ＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
[答案] 2
[解析] y′＝αxα－1，y′|x ＝1＝α，则切线方程为
y －2＝α(x －1)，切线方程过原点，
则0－2＝α(0－1)，∴α＝2.
(理)(2013·广东高考)若曲线y ＝kx ＋lnx 在点(1，k)处的切线平行于x 轴，则k ＝________.
[答案] －1
[解析] y′＝k ＋1x ，y′|x ＝1＝k ＋1＝0，
∴k ＝－1.
9．(文)函数f(x)＝lnx x 在点(x0，f(x0))处的切线平行于x 轴，则f(x0)
＝________.
[答案] 1e
[解析] ∵f(x)＝lnx x ，f ′(x)＝1－lnx x2，切线斜率f ′(x0)＝1－lnx0x20＝0，
∴x0＝e ，∴f(x0)＝f(e)＝1e .
(理)(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x ＋ex ，则f′(1)＝________.
[答案] 2
[解析] ∵f(ex)＝x ＋ex ，∴f(x)＝x ＋lnx ，f ′(x)＝1＋1x ，∴f′(1)＝1＋1
＝2.
三、解答题
10．已知曲线y ＝13x3＋43.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
[分析] (1)在点P 处的切线以点P 为切点．
(2)过点P 的切线，点P 不一定是切点，需要设出切点坐标．
[解析] (1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k ＝y′| x ＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，
即4x －y －4＝0.
(2)设曲线y ＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点
A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x0，13x30＋43， 则切线的斜率k ＝y′| x ＝x0＝x20.
∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x30＋43＝x20(x －x0)， 即y ＝x20·x －23x30＋43.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，
即x30－3x20＋4＝0.∴x30＋x20－4x20＋4＝0.
∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.
能力强化训练
一、选择题
1．(文)已知f0(x)＝cosx ，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，f3(x)＝f ′2(x)，…，fn ＋1(x)＝f ′n(x)，n ∈N ＋，则f2 014(x)＝( )
A ．sinx
B ．－sinx
C ．cosx
D ．－cosx
[答案] D
[解析] f1(x)＝－sinx ，f2(x)＝－cosx ，f3(x)＝sinx ，
f4(x)＝cosx ，f5(x)＝－sinx…，故fn(x)的周期为4，
∴f2014(x)＝f2(x)＝－cosx.
(理)设函数f(x)＝sinθ3x3＋3cosθ2x2＋tanθ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围为( )
A ．[－2,2]
B ．[2，3]
C ．[3，2]
D ．[2，2]
[答案] D
[解析] ∵f ′(x)＝sinθ·x2＋3cosθ·x ，
∴f ′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π3. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，∴θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤22，1， ∴f ′(1)∈[2，2]，故选D.
2．(文)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三
角形的面积为18，则a ＝( )
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
[答案] A [解析] 求导得y′＝－12x －32(x>0)，所以曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)
处的切线l 的斜率k ＝y′|x ＝a ＝－12a －32，由点斜式，得切线l 的方程
为y －a －12＝－12a －32(x －a)，易求得直线l 与x 轴，y 轴的截距分别
为3a ，32a －12，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a×32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64.
(理)如果f ′(x)是二次函数，且f ′(x)的图像开口向上，顶点坐标为(1，
3)，那么曲线y ＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A ．(0，π3]
B ．[π3，π2)
C ．(π2，2π3]
D ．[π3，π)
[答案] B
[解析] 由题意可设f ′(x)＝a(x －1)2＋3，(a>0)，
因此函数图像上任一点处切线的斜率为
k ＝f ′(x)＝a(x －1)2＋3≥3，即tanα≥3，
所以π3≤α<π2，选B.
二、填空题
3．(2014·柳州模拟)已知函数f(x)＝2xsinx ，则当x ＝π2时，其导函数
的值为________．
[答案] 2
[解析] f ′(x)＝2sinx ＋2xcosx ，
∴f ′(π2)＝2sin π2＋2·π2·
cos π2＝2. 4．(文)曲线y ＝x(3lnx ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
[答案] 4x －y －3＝0
[解析] 本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法．
y′＝3lnx ＋4，故y′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0.
在过某一点的切线方程时，先通过求导得出切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程，注意最后应将方程化为一般式．
(理)点P 是曲线y ＝x2－lnx 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．
[答案] 2
[解析] 作直线y ＝x －2的平行线使其与曲线y ＝x2－lnx 相切，则切点到直线y ＝x －2的距离最小．
由y′＝2x －1x ＝1，得x ＝1，或x ＝－12(舍去)．
∴切点为(1,1)，它到直线x －y －2＝0的距离为
d ＝|1－1－2|12＋－
＝22＝ 2. 三、解答题
5．(文)求下列函数的导数
(1)y ＝sinxcosx
(2)y ＝x2ex
(3)y ＝(x ＋1)(1x －1) (4)y ＝sin x 2(1－2cos2x 4)
[解析] (1)y′＝(sinx)′cosx ＋sinx(cosx)′
＝cosxcosx －sinxsinx
＝cos2x.
(2)y′＝(x2)′ex ＋x2(ex)′
＝2x·ex ＋x2·ex
＝(x2＋2x)ex.
(3)∵y ＝1－x ＋1x
－1 ＝－x 12 ＋x － 12 ∴y′＝－12x － 12 －12x － 32
＝－12x － 12 (1＋x －1)＝－12x
(1＋1x )． (4)∵y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sinx
∴y′＝(－12sinx)′＝－12cosx.
(理)求下列函数的导数：
(1)y ＝ex·lnx (2)y ＝x(x2＋1x ＋1x3) (3)y ＝sin2(2x ＋π3)
(4)y ＝ln(2x ＋5)．
[解析] (1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx ＋ex·1x
＝ex(lnx ＋1x )．
(2)∵y ＝x3＋1＋1x2，
∴y′＝3x2－2x3.
(3)设y ＝u2，u ＝sinv ，v ＝2x ＋π3，
则y′x ＝y′u·u′v·v′x ＝2u·cosv·2
＝4sin(2x ＋π3)·cos(2x ＋π3)＝2sin(4x ＋2π3)．
(4)设y ＝lnu ，u ＝2x ＋5，则y′x ＝y′u·u′x ，
∴y′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5
. 6．(文)已知函数f(x)＝x3－3x 及y ＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P 作直线l.
(1)求使直线l 和y ＝f(x)相切且以P 为切点的直线方程；
(2)求使直线l 和y ＝f(x)相切且切点异于P 的直线方程．
[解析] (1)由f(x)＝x3－3x 得f ′(x)＝3x2－3，
过点P 且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，
∴所求的直线方程为y ＝－2.
(2)设过P(1，－2)的直线l 与y ＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x20－3.
又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，
故其斜率可表示为 y0－－x0－1＝x30－3x0＋2x0－1
，
又x30－3x0＋2x0－1
＝3x20－3， 即x30－3x0＋2＝3(x20－1)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－12，
故所求直线的斜率为k ＝3×(14－1)＝－94，
∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.
(理)设函数f(x)＝ax －b x ，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x
－4y －12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
[解析] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.
又f ′(x)＝a ＋b x2.
于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，
a ＋
b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝3.故f(x)＝x －3x . (2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)
处的切线方程为
y －y0＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋3x20(x －x0)，
即y －⎝
⎛⎭⎪⎫x0－3x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x0)． 令x ＝0得y ＝－6x0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－6x0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0|2x0|＝6.
故曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。

东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。

莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。