高三数学一轮复习：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布.9

＝12[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)]
＝12[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]
＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
(3)因为 P(X≥5)＝P(X≤－3)， 所以 P(X≥5)＝12[1－P(－3<X≤5)]＝12[1－P(1－4<X≤1＋4)]
B 错误；对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)， C 正确，D 错误，故选 C.
2019年5月13日
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(2017·惠州二调)已知随机变量 ξ 服从正态 分布 N(1，1)，若 P(ξ<3)＝0.977，则 P(－1<ξ<3)＝ ()
A．0.683 B．0.853 C．0.954 D．0.977
2019年5月13日
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2．正态分布的定义与简单计算 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝__________， 则称随机变量 X 服从正态分布，记作__________． (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4. 可以看到，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ ＋3σ)之内．而在此区间 以外取值的概率只有 0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发 生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ，σ 2)的随机变量 X 只取(μ －3σ，μ ＋3σ)之间的值，并简称之为 3σ 原则．
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解：由图象可知三个图象的对称轴相同， 即三学科的均值相同，甲学科成绩的正态分 布图象最瘦高，说明甲学科成绩最集中，方 差最小．故选 A.
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类型二 正态分布的计算问题
(2017·石家庄模拟)设 X～N(1，σ 2)，其正态分布密度曲 线如图所示，且 P(X≥3)＝0.022 8，那么向正方形 OABC 中随机投 掷 20 000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )
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(2015·湖南)在如图所示的正方形
中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分
(曲线 C 为正态分布 N(0，1)的密度曲线)
的点的个数的估计值为( )
A．2 386
B．2 718
C．3 413
D．4 772
附：若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，
2πσ2
1
2πσ3
，即
σ1＝σ2
＜σ3.故选 D.
2019年5月13日
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【点拨】正态曲线的性质(详见“考点梳 理”)大都可由 φμ，σ(x)的解析式推知．如 σ 一定，当 x<μ 且 x 增大时，(x－μ)2 减小⇒
-（x2－σμ2）2增大⇒
e

(
x) 2 2
2
增大⇒φμ，σ(x)在
之外的零件的概率只有 0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情 况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况， 需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
故估计落入阴影部分的点的个数为 20 000×(1－0.341 3)＝13 174，故选 B.
【点拨】正态分布计算的关键是在充分利用正态曲线的 对称性；随机模拟的关键是计算面积(长度、体积)．
2019年5月13日
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设 X～N(1，22)，试求 (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)； (3)P(X≥5)．
解：因为已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1，1)，所以正态曲线关于直线 x＝1 对称， 又 P(ξ<3)＝0.977，所以 P(ξ>3)＝1－0.977＝ 0.023，所以 P(－1<ξ<3)＝1－P(ξ<－1)－P(ξ>3) ＝1－2P(ξ>3)＝1－0.046＝0.954.故选 C.
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(1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ ＋3σ)之外的零件数，求 P(X≥1) 及 X 的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程 可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
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解：由正态曲线关于直线 x＝μ 对称，知 μ1＜μ2
＝μ3；σ 的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布 越分散，曲线越矮胖；σ越小，总体分布越集中，曲
线越瘦高，则 σ1＝σ2＜σ3.实际上，由 φ1(μ1)＝φ2(μ2)＞
φ3(μ3)，则
1＝
2πσ1
1＞
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类型一 正态分布的概念与性质
已知三个正态分布密度函数 φi(x)＝
1
(xi )2
e 2
2 i
2π σ i
(x∈R，i＝1，
2，3)的图象如图所示，则( ) A．μ 1＜μ2＝μ3，σ 1＝σ2＞σ3 B．μ 1＞μ2＝μ3，σ 1＝σ2＜σ3 C．μ 1＝μ2＜μ3，σ 1＜σ2＝σ3 D．μ 1＜μ2＝μ3，σ 1＝σ2＜σ3
①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得—x＝116i＝161xi＝9.97，s＝
116i＝161 （xi－ x ）2＝
2019年5月13日
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⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着________的变化而沿 x 轴平 移，如图甲所示．
⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越__________，曲线越“瘦高”， 表示总体的分布越集中；σ 越__________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 分散，如图乙所示．
x
＝μ 左侧单调递增．其他类似可得．
2019年5月13日
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某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩 近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是
() A．甲学科总体的方差最小 B．丙学科总体的均值最小 C．乙学科总体的方差最小 D．甲、乙、丙的总体的均值不相同
2019年5月13日
解：因为 X～N(1，22)，所以 μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6.
2019年5月13日
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(2)因为 P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)， 所以 P(3<X≤5)＝12[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)]
0.002 6)，因此 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8， X 的数学期望为 E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6.
(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概 率只有 0.002 6，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)
＝12[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]＝12(1－0.954 4)＝0.022 8.
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类型三 正态分布的实际应用
(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个 零件，并测量其尺寸(单位：cm)，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态 分布 N(μ，σ 2)．
解：数学成绩 ξ 的正态曲线关于直线 x＝110 对称，
因 为 P(100≤ ξ ≤ 110) ＝ 0.34. 所 以 P(ξ≥120) ＝
P(ξ≤100)＝12×(1－0.34×2)＝0.16. 数学成绩在 120
分以上的人数为 0.16×50＝8.故填 8.
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P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.
解：P(0<X<1)＝12P(－1<X<1)＝12×0.682 6＝0.341 3，落
入阴影部分的点的个数的估计值为 10 000×0.341 3＝3 413.
故选 C.
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9
(2017·黄石九月调考)已知随机变量 ξ 服从正态分 布 N(0，δ 2)，且 P(－2≤ξ≤2)＝0.4，则 P(ξ>2)＝________．
第第十一章章 计数原理、集概合率与、常随用机逻变辑量用及语其分布
10．9 正态分布
2019年5月13日
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1
1．正态曲线的性质
(1)正态曲线的定义
函数 φμ ，σ (x)＝
1
( x )2
e 2 2 ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ 和σ (σ >0)
2π σ
为参数，我们称 φμ ，σ (x)的图象(如图)为正态分布密度曲线．简称__________． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于 x 轴____________，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线____________对称； ③曲线在 x＝μ 处达到峰值__________； ④曲线与 x 轴之间的面积为____________；
附：随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ 2)，则 P(μ－σ<ξ<μ ＋σ) ＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4.
A．12 076 B．13 174 C．14 056 D．7 539
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解：由题意得，P(X≤－1)＝P(X ≥3)＝0.022 8， 所以 P(－1<X<3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4， 因为 P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4， 所以 1－2σ＝－1，故 σ＝1， 所以 P(0<X<1)＝12P(0<X<2)＝0.341 3，
解：P(ξ>2)＝1－P（－22≤ξ≤2）＝0.3.故填 0.3.
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(2016·青岛模拟)某班有 50 名同学，一次数学 考 试 的 成 绩 ξ 服 从 正 态 分 布 N(110 ， 102) ， 已 知 P(100≤ξ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在 120 分以上的有________人．
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数 t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
2019年5月13日
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6
解：由正态密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ21)，Y～ N(μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线 x＝μ1，x＝μ2 对称，因 此结合所给图象可得μ1<μ2，所以 P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，A 错误；又 X～N(μ1，σ12)的密度曲线较 Y～N(μ2，σ22)的密 度曲线“瘦高”，所以 0<σ1<σ2，所以 P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，
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自查自纠
1．(1)正态曲线 (2)①上方 ②x＝μ ③ 1
σ 2π
④1 ⑤μ
⑥小 大
2．(1)∫baφμ ，σ (x)dx X～N(μ，σ 2)
2019年5月13日
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5Байду номын сангаас
(2015·湖北)设 X～N(μ1，σ 21)，Y～N(μ2，σ 22)，这两个正态分 布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ，σ 2)，则 P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4，0.997 416≈0.959 2， 0.008≈0.09.
2019年5月13日
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解：(1)抽取一个零件的尺寸在(μ～3σ，μ＋3σ)之内的概率为 0.997 4， 从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为 0.002 6，故 X～B(16，
116（i＝161x2i －16 x 2）≈0.212，其中 xi 为抽取的第 i
个零件的尺寸，i＝1，2，…，16. 用样本平均数 x 作为 μ 的估计值μ^ ，用样本标准差 s 作为 σ 的估计值σ^ ，利用估计值判断是否需对当天的生产
过程进行检查？剔除(μ^ －3σ^ ，μ^ ＋3σ^ )之外的数据，用剩下的数据估计 μ 和 σ(精确到 0.01)．