数学高一(北师大)必修1素材 1.3《集合学习中的五大误区》素材

集合学习中的五大误区
集合是高中数学的基本概念，同时也是最难以理解的概念之一，尤其在解题时容易出现以下五个误区．
1.符号意义不清晰
例1 在①{}∅∈∅；②{}∅⊂∅；③若{}{}A x x B A ⊆==|,1,0，则B A ∈中，正确的叙述有几个？
误解：1个（或2个）．
正解：{}∅是含有一个元素“∅”的非空集合，按规定∅是任何非空集合的真子集，从
而①②均正确，对于③，{}{}{}{}1,0,1,0,∅=B ，故B A ∈正确．综上，正确的叙述有3个．
2.忽略“互异”致增解
例2 {}{}
A B a B a A ⊆==,,1,,4,12，求a ． 误解：由10242
2，
或得：或±===a a a a ． 正解：1=a 时，B A ，中分别出现相同元素，应舍去，故02或±=a ． 3.忽略空集漏特例
例3 {}{}A B ax x B A ⊂=-=-=,01|,1,3,求a ． 误解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=a B 1,从而311或
-=a ． 正解：当B ≠∅时，311或
-=a ； 当B =∅时，0=a ． 故3
11或-=a ． 例4 {}{}
m B B A mx x x B x x x A ，求，若，==+-==+-= 02|023|22． 误解：{}，，，A B A ⊆=21从而{}{
}{}2121，，B 或=．其中{}21，=B 时，符合题意，得：3=m ．
正解：当∅≠B 时，3=m ；
当∅=B 时，2222,082<<-<-=∆m m ．
4.代表元素误理解
例5 已知{}{}
B A x y x B x y y A 求,1|,1|22-==-==．
误解：由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2211x y x y 得： {}）
，），（，（0101-=B A ． 正解：集合A 表示12
-=x y 的值域），∞+-1[，集合B 表示21x y -=的定义域]11[，-，从而=B A ]11[，-．
5.集合转化不等价
例6已知集合{}012|2=++=x ax x A 为一元集，求a 的值．
误解：集合A 为一元集，即方程0122=++x ax 有两等根，由044=-=∆a 得1=a ． 正解：当0≠a 时，由044=-=∆a 得1=a ；
当0=a 时，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=21A 也符合题意． 例7已知集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
=-+=11|2x a x x A 为一元集，求a 的值． 误解：由A 得：0=∆得：-
=a 45． 正解：当012≠-x 时，-=a 4
5； 当1=x 时，由012=---a x x 得1-=a ，此时{}0111|
2=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
=--=x x x A 符合题意； 同理1-=x 时，1=a 也符合题意．
综上，a 14
5±-=或．。