天津市南开中学高考数学训练2 理

天津市南开中学2015届高考数学训练2 理
一、选择题:
1．在复平面内，复数21i
z i
=
+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．下列结论错误的是（ ） A ．命题
p ：“x R ∃∈，1x e x ≥+”的否定是“x R ∀∈，1x e x <+”
B ．命题：“若0a b >>，则2
2
a b >”的逆命题是假命题； C ．向量,a b 的夹角为钝角的充要条件是0a b ⋅<；
D ．若函数()f x 可导，则0()0f x '=是0x
3.执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入 的x 值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．11
4. 在区间[0,2]上随机取两个数,x y ，则02xy ≤≤的概率为（ ）
A ． 1ln 22-
B ．32ln 24-
C ．1ln 22+
D ．12ln 2
2
+ 5. 设等差数列}{n a 和等比数列}{n b 首项都是1，公差和公比都是2，则=
++432b b b a a a （ ）
A ．24
B ． 25
C ． 26 D.27
6. 设1F ，2F 是双曲线122
22=-b
y a x 0(>a ，)0>b 的左、右两个焦点，若双曲线右支
上存在一点P ，使0)(22=⋅+P F OF OP （O 为坐标原点），且||3||21PF PF =，则
双曲线的离心率为 （ ） A.
212+ B.12+ C.2
1
3+ D.13+ 7．如图，已知在ABC ∆中，2BC =，以BC 为直径的圆分别交,AB AC 于,M N ，MC 与NB 交于点G ，若2BM BC ⋅=，1CN BC ⋅=-，
则BGC ∠的度数为（ ）
A ．105
B ．120
C ．150
D ． 135
8. 定义在(1)+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）；②当24x ≤≤时， 2()=1(3),f x x --若函数()f x 的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c
等于（ ）
A.1
B.2
C.2或4
D.1或2 二、填空题：
9.已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a
的等比中项为则7112a a +的最小值 为 ． 10.
已知cos 23
θ=
44
sin cos θθ-的值为 ． 11.设中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ，
且过点（5,4），则其焦距为 ．
12.如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． 则AC = ．
13.已知直线l 的参数方程是)(242
2
22
是参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4
cos(2π
θρ+=．由直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长的最小值为 ．
14.若实数,x y 满足42
2=+y x ,则2
-+y x xy
的取值范围是 .
三、解答题：
15.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.1tan 4A =，3tan 5
B =． （1）求角
C 的大小；
（2）若ABC △
ABC △的面积．
16..某校高二年级共有学生1000名,其中走读生750名,住宿生250名,现从该年级采用 分层抽样的方法从该年级抽取n 名学生进行问卷调查.根据问卷取得了这n 名同学每天晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以
下区间分为八组：①[0,30),②[30,60),③
[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),
⑦[180,210),⑧[210,240),
得到频率分布直方图如下.已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人；（1）求n 的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n 名学生，完成下列2×2列联表：
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
参考列表：
（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出
3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X ，求X 的分布列及期望.
17.在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，
1/3000
1/600 1/300
1/750 11
AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G 为AD 中点．
（1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一事实； （2）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小.
参考答案：
一、选择题：
DCCC BDAD
二、填空题： 9. 8
10. 3
-
11.
12. 13. 62 14.
]21,2()2,21[+-
15.（1）π()C A B =-+，
1345tan tan()113145
C A B +∴=-+=-
=--．………………………2分 又0πC <<，…………………………………………………4分
3
π4
C ∴=
．…………………………………………………6分
16.解：（1）设第i 组的频率为P i （i=1,2,…,8), 则由图可知：P 1=13000×30=1100,P 2=1750×30=4100
∴学习时间少于60钟的频率为：P 1+P 2=5100 由题n×5
100=5 ∴n=100…(2分)
又P 3=
1300×30=10100, P 5=1100×30=30100, P 6=1200×30=15100, P 7
=1300×30=10100, P 8=1
600
×30=5
100
,
∴P 4=1-(P 1+P 2+P 3+P 5+P 6+P 7+P 8)= 1-1+4+10+30+15+10+5100 =1-75100 = 25100
第④组的高度h=25100×130=253000=1
120
频率分布直方图如图：（未标明高度1/120扣1分）……4分
（2）K 2
=100×(50×15-25×10)2
75×25×40×60
≈5.556
由于K 2
>3.841,所以有95%的把握认为
学生利用时间是否充分与走读、住宿有关………8分
（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑦组15人，第⑧组10人，总计20人。

则X 的所有可能取值为0，1，2，3，P （X=i)=C i 5C 3-i
15
C 320
(i=0，1，2，3)，
∴P(X=0)= C 0
5C 3
15 C 320 =4551140=91228 , P(X=1)= C 1
5C 2
15 C 320 =5251140=105228 =3576, P(X=2)= C 2
5C 1
15 C 320 =
150
1140=30228 =538, P(X=3)= C 3
5C 0
15 C 320 =101140=2228 =1
114 . ∴X 的分布列为：
EX=0×91228 +1×105228 +2×30228 +3×2228 =
1×105+2×30+3×2228= 171228 = 3
4
(或由X 服从20，5，3的超几何分布，∴EX=3×520=3
4
)…………………12分
17.解法一：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，
则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,0,2)E ，(2,0,1)B ，(1,0)C ， （1）点F 应是线段CE 的中点，下面证明：
设F 是线段CE 的中点，则点F 的坐标为1(2F ，∴3(0)2BF =-，
1/1/1/1111
显然BF 与平面xOy 平行，此即证得BF ∥平面ACD ； ……………4分
（2）设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，
则n CB ⊥，且
n CE ⊥，
由(1,CB =
，(1,CE =-，
∴020
x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩
，不妨设y =1
2x z =⎧⎨=⎩
，即(1,3,2)n =， ∴所求角θ满足(0,0,1)2
cos 2
||
n n θ⋅=
=
，∴4πθ=. ………………12分
解法二：（1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ，
设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，
连接FH ，则//FH =
12
ED ，∴//FH =
AB ， ………………2分 ∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ，
由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面
ACD ； …………4分
（2）由已知条件可知ACD ∆即为BCE ∆在平面ACD
上的射影，
设所求的二面角的大小为θ，则
cos ACD
BCE
S S θ∆∆=
， …………………6分 易求得BC=BE =CE =
∴1||2BCE
S CE ∆==
而2||4ACD S AC ∆=
=，∴cos 2
ACD BCE S S θ∆∆==，而02πθ<<， ∴
4
π
θ=
；
B。