第八讲__培优一次函数综合问题辅导

第八讲 函数综合类问题培优竞赛专题辅导
一、一次函数与几何综合
1、一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0） ①k 是斜率，表示倾斜程度; ②b 表示与y 轴交点的坐标。

2、设直线l 1：y 1=k 1x +b 1，直线l 2：y 2=k 2x +b 2，其中k 1，k 2≠0．
①若k 1=k 2，且b 1≠b 2，则直线l 1∥l 2；②若k 1·k 2=-1，则直线l 1⊥l 2． 3、一次函数与几何综合解题思路
从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．
精讲精练
1、如图，点B ，C 分别在直线y =2x 和y =kx 上，点A ，D 是x 轴上的两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k 的值为______．
第1题图 第2题图 第3题图
2、 如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转
90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2； 若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_______．
3、如图，在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线． 探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________； 猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____； 应用：已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，求点Q 的坐标．
4、
如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴
分别交于点A ，点B ，点P 的坐标为(-2，2)，
求S △P AB ．
一次函数之存在性问题
存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.
一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；
3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．
精讲精练
1、如图，直线1
22
y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为 (-3，0)，P (x ，y )是直线1
22
y x =
+上的一个动点（点P 不与点A 重合）． （1）在点P 的运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x （2）当点P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27
8
（3）过P 作AB 的垂线与x 轴、y 轴分别交于E ，F 使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P
2、如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且
4
3 OC
OB
=.
（1）求点B的坐标和k的值．
（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
一次函数之动点问题
动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．
解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：
①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；
②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．精讲精练
1、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线
3
3
4
y x
=-+与x轴、y轴分别交于A，
B两点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA，OB的长．
（2）过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E，在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
2、如图在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，CB的中点D的纵坐标为7．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB的路线运动，至点B停止，设运动时间为t秒．（1）求直线BC的解析式．
（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积
的1
4
？
（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
培优升级检测
1、如图，直线
1
1
2
y x
=-
+与x轴、y轴分别交于A，B两点，C(1，2)，坐标轴上是否存在
点P，使S
△ABP =S
△ABC
？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，直线1
22
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，在y 轴上有一点C （0，4）
，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动． （1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 为何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标
3、如图，直线y=-2x+10与x 轴交于点A ，与直线y=0.5x 交于点P ．
（1）求点P 的坐标．（2）求△OP A 的面积．（3）请判断△OPA 的形状并说明理由；
（4）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．
5、一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且
恰好用完购机软61000元，设购进A型手机x部，B款手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：
⑴用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；
⑵求出y与x之间的函数关系式；
⑶假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出
各种费用共1500元．
①求预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额一购机款一各种费用）
②求预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．。