高二物理竞赛布里渊区与能带PPT(课件)

自由电子
共有化运动的电子
波函数
空间各处几率相同
r Aeikr
几率不相同，有周期性 周期函数的周期与晶格周期相同
r 周期函数 eikr
波矢K 标志区域
能量
k可取任意的连续值，自由 电子可以在整个空间内运动
k只能取有限多个分立值，在k空间内，k到k+dk范 围内只能有Vdk个分立的k值 （V：晶体的体积密度）)
布里渊区与能带图
能带中电子导电作用
存在外电场 晶体衍射的极大值所对应的位置：
电子共有化运动状态，不同波矢标志不同的共有化运动状态。
E f k空间内环绕原点的一个有限区域，一般称为简约布里渊区，允带出现在以下几个区（布里渊区）
完全填满 k只能取有限多个分立值，在k空间内，k到k+dk范围内只能有Vdk个分立的k值
部分填充
E
f
1 2a
1 2a
1 2a
1 2a
外电场作用下部分填充的能带中电子按能量分布的变化
电子分布将向轴的正向移动，由于散射作用，最终达到一个 稳定的不对称分布，正向运动电子数增加，电流部分抵消， 产生宏观电流。
部分填充能带中的电子才能起导电作用
导带
Eg
价带
价带：0K条件下被电子填充的能量的能带 导带：0K条件下未被电子填充的能量的能带 带隙：导带底与价带顶之间的能量差
整个k空间
k空间内环绕原点的一个有限区域，一般称为简约 布里渊区，允带出现在以下几个区（布里渊区）
第一 ： 1 k 1
2a
2a
第二 ： 1 k 1 ,
a
2a
第三 ： 3 k 1 ,
2a
a
1 k1
2a
a
1k 3
a
2a
E k 2k2
2m0
E(k)随晶体中周期性变化 势场影响形式复杂
布洛赫波函数的波矢与自由电子波来自数中的一样，描述晶体中内层电子能带较窄，可与能级一一对应；
其中外层电子共有化运动较强（准自由电子）。
两列驻波的能量差，就是能隙
k可取任意的连续值，自由电子可以在整个空间内运动
倒格子空间中的维格纳-赛茨原胞
布里渊区的边界，即所有能在晶体上发生布拉格反射
的波的波矢 晶体中电子波的布拉格反射——周期势场的必然结果
布洛赫波函数的波矢与自由电子波函数中的一样，描述晶体中 电子共有化运动状态，不同波矢标志不同的共有化运动状态。
布里渊区：
倒格子空间中的维格纳-赛茨原胞
晶体衍射的极大值所对应的位置：
晶体中电子波的布拉格反射——周期势场的必然结果 自由电子：
，
全满能带中电子的填充情况
微晶扰体： 中U电(子r)-：V(r-Rm)，U(r)是周期性其平均中势G场 为任意倒格矢
内层电子能带较窄，可与能级一一对应；
代表同一状态，A点出，A’
视角2：
等价于
微扰：U(r)-V(r-Rm)，U(r)是周期性平均势场
晶体中电子运动的基本方程式
其中外层电子共有化运动较强（准自由电子）。
1 2a
1
点进，分布不变，无宏观
2a
电流。绝对零度下的半导
全满能带中电子的填充情况 体就是这种情况。
布里渊区与能带
倒格矢：
晶体的衍射图 样是晶体倒格 子的映像
波函数形式相似 振幅uk(x)作周期变化，以一个被调幅的平面波在晶体中传播。
空间几率不同。
自由电子： 2 * A2
几率相等，自由运动
晶体中电子： 2 | kk* || ukxuk*x |
周期性变化，电子共有化运动
分别反映了电子的空间自由运动及在晶体中的共有化运动， 其中外层电子共有化运动较强（准自由电子）。
（V：晶体的体积密度）)
k可取任意的连续值，自由电子可以在整个空间内运动
允带出现布里渊区，禁带出现在布里渊区边界上，每一个布里渊区对应于一个能带，常考虑第一布里渊区（简约布里渊区），波矢为简约波矢。
一维晶格的布里渊区：
晶体中电子运动的基本方程式
2 d2(x) V (x)(x) E(x)
2m0 dx2
晶体中电子波的布拉格反射——周期势场的必然结果 J代表近邻原子间的电子云重叠（价电子）。
所有各点变化速度为
dk / dt qE /
（V：晶体的体积密度）)
晶体中电子：
A、A’的k值相差 1/ a
对有限晶体而言，根据周期性边界条件，可以得出波矢只能取分立的数值，具有量子数的作用，描述晶体中共有化运动的量子状态。
模型
零级近似：N个电子环绕N个格点，它们具有相 同的能量，即N重简并。势场：V(r-Rm)
微扰：U(r)-V(r-Rm)，U(r)是周期性平均势场
布洛赫波函数+简并微扰计算
能量本征值 近邻 Es (k ) Esat J0 J eik (Rn Rs ) Rn
J代表近邻原子间的电子云重叠（价电子）。J越大，能带越宽。 内层电子能带较窄，可与能级一一对应；外层电子能带宽，情况较复杂。
a
a
能级劈裂
简并微扰，就是
在微扰项作用下
视角2： k + 等价于 k - +
a
a
重新寻找线性组 合基矢
简并微扰的初始基态为两列行波： exp(i x / a) 和 exp(-i x / a)
两列行波在晶体中将受到布拉格衍射的强烈影响，可以等效认为晶体中存 在两列驻波：
两列驻波的能量差，就是能隙
❖ E是k的多值函数，用En(k)标明是第几个能带。
❖ 对有限晶体而言，根据周期性边界条件，可以得出 波矢只能取分立的数值，具有量子数的作用，描述 晶体中共有化运动的量子状态。
带隙的由来： 晶体中电子波的布拉格反射——周期势场的必然结果
视角1：近自由电子近似
对布里渊区边界两侧的电子态（k 和k + ）做简并微扰处理
——近自由电子近似，假定周期势场起伏较小，作为零级近似，用势场平均 值 V 代替 V (x) ，将周期势场起伏 V (x) V 作为微扰来处理
带隙是怎么来的？
自由电子
E和k的关系
能带
简约布里渊区
❖ 允带出现布里渊区，禁带出现在布里渊区边界上， 每一个布里渊区对应于一个能带，常考虑第一布里 渊区（简约布里渊区），波矢为简约波矢。
布洛赫波函数的波矢与自由电子波函数中的一样，描述晶体中 整个k空间 两列驻波的能量差，就是能隙
布里渊区与能带 零级近似：N个电子环绕N个格点，它们具有相同的能量，即N重简并。
布里渊区的边界，即所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢 布洛赫波函数的波矢与自由电子波函数中的一样，描述晶体中 k可取任意的连续值，自由电子可以在整个空间内运动 E(k)随晶体中周期性变化 简并微扰，就是在微扰项作用下重新寻找线性组合基矢 振幅uk(x)作周期变化，以一个被调幅的平面波在晶体中传播。 E(k)随晶体中周期性变化 微扰：U(r)-V(r-Rm)，U(r)是周期性平均势场 绝对零度下的半导体就是这种情况。 两列行波在晶体中将受到布拉格衍射的强烈影响，可以等效认为晶体中存 在两列驻波： E(k)随晶体中周期性变化