控制测量概算

第八章控制测量概算
[本章提要]
控制测量外业工作获得了大量的外业观测值（如水平方向、边长和天文方位角等）和必要的测绘资料（如归心投影用纸等），将这些地面上观测成果化算到高斯平面上，为平差计算作好数据准备工作是概算工作主要任务。

本章主要应用椭球面上的测量计算和高斯投影的理论知识，以三角网为例介绍控制测量概算的各项内容和具体做法，使理论与实践得以结合。

平面控制网又分三角网、三边网和边角网(导线网)。

无论是平面控制网或是高程控制网都是通过野外采集某些数据——观测量，经过适当处理，最终获得待定点的坐标和高程。

然而，观测量之间的矛盾是客观存在的，合理处理观测量之间矛盾的工作称之为平差，而在平差之前又必须将所有观测量归算到某一个基准面上，这是项重要又必不可少的工作，称这项工作为概算。

概算的目的不仅仅是为平差作准备，而且也在于检查和评价外业资料(也包括起算数据)的质量，本章主要讨论平面控制网的概算工作，其主要内容有：
(1)外业观测成果的整理、检查；
(2)绘制网的略图、编制观测数据表和已知数据表；
(3)观测成果归化到标石中心；
(4)观测成果归化到椭球面上；
(5)观测成果进一步归化到高斯投影平面上；
(6)依平面控制网应满足的条件检查观测成果的质量。

应该指出，平面控制网如果在椭球面上进行平差计算，则(5)、(6)两项可省略；如果在高斯投影面上进行，则上述各项不能省略。

在我国除全国性的天文大地网在椭球面上进行平差外，一般平面控制网，尤其是工测控制网都是在高斯平面上进行的，因此，必须按上述工作内容逐项进行。

由上列各项工作可以看出，概算的工作量甚大，内容也相当多，概算中的差错将直接影响到平差结果，且又不易发现，所以概算结果的正确性和计算精度应特别注意。

概算精度要求主要考虑两个方面，一是不损害观测量的精度，二是有利于工作进行，只保留必要的有效数字。

对三、四等控制网，由于边长较短，因此它的方向计算值和各项改正
数的计算分别达到0.1"和0.01"即可，边长概算取至mm位，而各项改正数的计算则至
0.1mm。

概算所选用的算式，既要确保精度，又能进行检核，还要便于使用电子计算机。

计算流程可用以下框图说明：
为便于计算，首先要绘制控制网计算略图，将观测方向值（或角度）、观测边长等清晰的注于图上（见图8-1）。

其次编制已知数据表（见表8-1），和观测数据表（见表8-2）。

××测区三角网略图
图8-1
水平方向值计算表 表8-2
§8.2 成果的归算和改化
1. 边长概算
对于三角网，须从已知边(或观测边)开始，接正弦公式计算边长，如图8-2所示， b 为已知边，则a 、c 的计算公式如下：
C B
b
c sin sin =
（8-1） 概略边长球面角超计算 表8-3
同时，计算出各三角形的球面角超(后面计算方向改化时检核用)，球面角超ε的计算式为
图8-2
B fca A fbc
C fab sin sin sin "===ε （8-2）
式中 2
"
2R f ρ=
(或以测区平均纬度为引数查表)
表8-3内列入近似边长和球面角超的计算数字。

对于测边网，则要由观测边计算角度近似值，以便推算方向近似值M ，角度A 的计算按余弦定律为：
bc
a c
b A 2arccos 2
22-+= （8-3）
其计算表格与表8-3类似，计算时角度取至10″，边长取至米，即够计算归心改正数使用。

(二)近似坐标计算 应用余切公式
[()])βαβctg ctga x x ctg y ctg y y A B B A C +--+= （8-4）
应该指出应用（8-4）式时，三角形角号排列有如下规定：
如图8-3所示A 、B 为已知点，其顶角分别为α、β；C 为待算点，其顶角为γ。

A 、B 、C
应按逆时针排列。

现举例如表8-4。

近似坐标存在递推累积的误差，故上表计算时坐标取至0.1m ，角度相应取至10″。

为防止计算出错，应采用B ，C 作为已知点，A 作为待算点进行校核计算，对于测边网的坐标计算，可先由观测边计算三角形各角度，然后按（8-4）式同法计算近似坐标。

近 似 坐 标 计 算 表 表 8-4
二、方向观测值的改化 (一)归心改正
将测站平差(一般为各测回方向平均值)后的方向值加入测站点和照准点的归心改正
图8-3
数(c "、r "
)，便得到归化到标石中心的方向值。

其计算公式按第八章第三节所述，即 )s i n (""
y y M s
e c θρ+=
(1l 一5)
式中io ij N N M -= )s i n (1"
"
T T M s
e r θρ+=
(1l 一6) 式中jo ji N N M -=1
y e 、y θ，和T e 、T θ，分别是测站点和照准点的归心元素值，ij N 和ji N 表示测站和照准点上相对的方向值，而io N 和jo N 。

是该两点上的归心零方向的方向值(通常io N 和jo N 为 零，即观测零方向与归心零方向一致)，S 为近似边长。

现以长山的测站归心和曙光、沟口、苏家对于长山的照准点归心为例，计算其归心改正 数。

如表ll 一5。

(二)方向改化
它是将经过归心改正后的方向观测值归化到椭球面上，然后再归化到高斯投影平面 上，然而，国家三、四等和城市工矿控制网，一般不测天文方位角，只有极个别独立网， 无法引测高一级的起算方位时，才施测天文方位角α，作为独立网的定向，且把实测天文 方位角口看作大地方位角A 而不加改正。

国家三、四等和城市工矿控制网，一般也不加 “三差改正”，也就是把地面观测方向值直接看作椭球面方向值。

对于观测天顶距的垂线偏 差改正，亦只有当作为三维控制网时或测区内的垂线偏差子午与卯酉分量变化甚大且视线高度角超过3。

时才进行改正，一般三角高程计算时均可忽略此项改正。

因此，对于三、四等平面控制网或工测控制网，一般只是将经过归心后的方向值， 改化到高斯投影平面上即可，其改化公式为：
三、四等网 二等网
(m f 仍以测区平均纬度为引数查附表一)。

现仍以图ll —l 为例，方向改正计算如表ll 一6。

方 向 改 正 计 算 表 11-6
获得高斯投影平面上的方向值。

三、边长观测值的改化
随着电磁波测距仪应用的普及，平面控制网的观测量除了方向值以外，边长观测值亦 占相当的比重，其外业观测结果当然也应该归算到高斯平面上，因此，地面观测边长一般应进行归心改正，倾斜改正和归算到高斯平面上的距离改正(又称曲率改正)。

(一)边长归心改正 其公式为：
测站归心
[]S
M e M e s
2)sin()cos(2
θθδ++
+-= （11-7） 镜站归心
[]S
M e M e S 2)sin()cos(2
111
111θθδ++
+-= 两式右端的符号与方向归心改正数计算公式的符号意义完全一致。

其右端的第二项(平
方项)一般很小，当e <0．5m ，S>lkm 时，此平方项最大值约0．1mm 。

可见，通常不必顾
及此项改正，在实际作业中，一般情况下，主机和反光镜均设在测站，故无需归心。

如果个别站受条件限制进行偏心观测时，则可按(1l 一7)式计算。

既然算法和方向归心改正数 计算方法相似，故此处不再叙述。

(二)归化至椭球面的改正
将地面观测的且经归心改正后的倾斜距离改正到椭球面上的大地线长度，其计算公式 如下：
[][]
A R H H H H d
K ÷++÷--=
)(1)(212122
（11-8）
)2((sin 21
A A R K R S ÷=- （11-9） )2
cos cos 21(2
2
2
'A
B e
C R A +÷= （11-10） 式中
D ——两端点间的斜距；
K ——两端点间的弦长；
S ——两端点间的椭球面长度；
B ——两端点纬度平均值，可在地图上量取； ‘ A ——两端点间的方位角，可在地图上量取；
1H 、2H ：——仪站和镜站的高程；
A R ——两端点测线方向地球曲率半径的平均值；
C=6399698； 2
'e =0．0067385。

由此可看出(11—8)～(儿一10)各式的作用： (1l 一8)式为斜距d 改化为弦长的计算式； (11一g)式为弦长与大地线长度的计算式；
(1l —10)式为两端点连线方向地球曲率半径计算武(实际是两端点测线方向曲率半径的平均值)。

现仍以图ll —l 为例，苏家至长山测距仪实测斜长为7069．9llm ，归算至椭球面长度如 表ll 一7所示。

至此，获得了椭球面上的长度，然而，尚须进一步投影到高斯平面上，以利于后续计算。

(三)距离改正
在第六章的第三节中已经讨论了将椭球面上的长度归算到高斯投影平面上的计算过 程，在此，仅列出距离改正的计算公式如下： 三、四等网
kS S D += (1l —11)
式中 S ——椭球面上的长度； D ——高斯平面上的长度；
)(2
1
1k m y y y +=
以km 为单位 y ——横坐标自然值，由近似坐标计算获得。

本例苏家至长山k=1．098，故D=7070．809m 。

四、观测成果质量的检查 ， (一)边长条件(极条件)闭合差计算
公式证明将在下一章讨论，此处仅列出公式如下：
n n
i i i gs S b ig a g gS lg )sin sin 1(11
01--+=∑=ω (11-12)
式中
gs 1ω——边长条件对数闭合差；
0S 、n S ——分别是投影到高斯平面后的起算边长和终了边长； i a 、i b ——分别是投影到高斯平面后的传距角； n ——所经三角形的个数。

闭合差限差的计算公式为
][
2
2
1gs01m 2m 2)(δδω+≤限gs （11-13）
式中 δ——传距角正弦对数秒差； m ——测角中误差；
1g s 0
m ——起算边对数中误差。

至于极条件闭合差及限差公式，因其推算的开始与结束是同一条边，故(1l 一12)式中的
n 0S S =，从而(11—13)式中略去1gs0m 。

的影响项，便使该两式转化为极条件的相应公
式。

图ll 一4是本章列举的控制网，图中注明了归化到高斯平面上的三角形各角，三角形最大闭合差为"
1.2±，均满足规范要求。

本例极条件闭合差计算如表ll 一8。

[]84.292m ==δδω容，故本例合格。

本例应用小型计算器计算，故正弦对数栏未一一填写，而直接写出累加数· 此外，按四等三角网要求，故测角中误差按规范给出的"
5.2=m 计算。

五、方位角和坐标条件闭合羞的计算
⎪
⎪
⎪⎭
⎪
⎪
⎪
⎬⎫
-+=-+=--±+=∑∑∑===n i n i i y n
i n i i x n
i n i T y T S y w x T S x w T j C T w 10101
0sin cos 180)( （11-14）
式中 0x 、0y 、0T 。

和n x 、n y 、n T 。

分别是起点和终点的平面坐标和方位角，i C 、i S 、
i T ．分别是推算路线上的间隔角，边长和方位角。

这些数据按照控制网的种类不同，有的
是直接观测值，有的则是观测值的函数。

j 为转折角个数。

下面再给出方位角限差公式
2
2T m n 2m 2)(⨯+=限T w (1l —15)
至于坐标闭合差的限差公式，往往导入纵横向位差L m 、Q m 的限差公式，而公式的推导是建立在固定在两高级点间的直伸等边导线的基础上的。

这一前提具有一定的典型意 义，因此，在实用上往往是规定限限（))(2
2
2
2
Q L y x m m w w +<+，就实际作业而言，一般不考 虑此项限差。

概算可在计算机上按如下平面控制网概算程序框图进行
图11-4为经过概算后的三角网平面图，在此基础上就可以进行平差计算了。

平 面 控 制 网 概 算 程 序 框 图
Y
N
N
Y
习题与思考题
1．试述三角测量概算的目的、内容、工作程序和意义。

2．在概算工作中，归心改正计算及方向改正计算要求近似边长达到什么精度？为什么？
3．将工程控制网的地面方向观测值、边长观测斜距分别化算为高斯投影平面上的平面方向值及平面边长各需加入哪几项改正数？并图示各改正数的几何意义。

4．将地面观测值（方向和边长）归算到椭球面上，各需加入哪些改正？用图说明各项改正的几何意义。

如果把椭球面上的上述归算值，再化算到高斯投影面上，还应加入哪些改正？写出化算的步骤和计算公式。

5．将边角同测网的地面观测值化算到高斯平面上，应加入哪些改正？影响各改正数大小的因素有哪些？影响规律是什么？
6．试述地面方向观测值（已加入归心改正）归算至高斯投影平面（按一等要求）应进行哪些项目的改正计算？请按顺序写出改正项的名称。

指出图1所有的方向中不需加上述改正的项目，并用符号示于空格中：
7．在三角网中测得的水平角已经进行了观测限差的检查，为什么还要依控制网几何条
件检查外业观测成果的质量？试述其检查内容。