二元函数的极限与连续
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y0
lim 1 x0 xy11
y0
1. 2
2021/6/16
8
确定极限不存在的方法：
（1） 令 P( x, y)沿 y kx趋向于P0 ( x0 , y0 )，若 极限值与k 有关，则可断言极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，使limf(x,y)存在， xx0 yy0 但两者不相等，此时也可断言f(x,y)在点 P0(x0,y0)处极限不存在．
于Байду номын сангаас意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不
等式 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 的一切点 P(x, y) ，都
有 | f ( x, y) A | 成 立 ， 则 称 常 数 A 为 函 数
z f ( x, y)当 P P0（或 x x0，y y0）时的极限，
记为
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y0
6
lim 1 x2 y2
例4 求 x
x2 y2
y
解
lim 1 x 2 y 2
x x 2 y 2
y
1
lim x (1 x 2 y 2 )
y
1
2021/6/16
7
例5 求 lim xy11. x0 xy
y0
解 原式 limxy11 x0x(y xy11)
2021/6/16
9
例6 讨论函数
f(x,y)x2xyy2, x2y2 0
0,
x2y2 0
在P(x,y)趋向于(0,0)时极限是否存在.
解 取 ykx
lim
x0
x
2
xy
y2
y0
lim
x0
x2
kx2 k2
x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
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10
二、二元函数的连续性
定义 3：设函数z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有定义，
若
lim
x x0
f (x, y)
f (x0, y0 ) ，则称函数 z
f (x, y) 在
y y0
点 p0 (x0 , y0 ) 处连续。
定义 4：如果函数z f ( x, y)在区域 D 上每一点
都连续，则称它在区域 D 上连续。
第二节 二元函数的极限与连续性
一、二元函数的极限 二、二元函数的连续性 三、总 结
2021/6/16
1
一、二元函数的极限
定义 1 设函数 z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有定义，
P(x, y) 是 N ( p0, ) 内的任意一点，如果存在一个确定
的常数 A ，点 P(x, y) 以任何方式趋向于定点 p0 (x0, y0 ) 时，函数z f ( x, y)都无限地趋近于 A ，则称常数 A
f1(p1)f2(p2) ,则存在 Q(x,y)D
,使得 2021/6/16 f (Q)k
12
三、小结
多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
2021/6/16
13
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
lim f (x, y) A
p p0
或 lim
f (x, y) A
x x0
y y0
2021/6/16
3
说明：
（1）定义中 PP0的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 limf (x, y); xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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4
例1
求
lim x0
sin( xy ) x
y2
解
lim x0
sin( xy ) x
y2
lim lim
sinx(y)
y =1×2=2.
xy0 xy
y2
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例2 求
lim x 0
1 x y
y1
解
lim x 0
1 1 1 x y 01
y1
lim 例3
求
x0
(x
y)sinx2
1
y2
y0
lim 1
解 x0 (xy)sinx2 y2 0
为函数z f ( x, y)当 P P0 （或 x x0， y y0）
时的极限，
记为：
lim f (x, y) A
p p0
或 lim f ( x, y) A x x0 y y0
2021/6/16 lim 或 ( x, y)( x0, y0 ) f (x, y) A
2
定义 2 设函数z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有定义，如果对
2021/6/16
11
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
如果二元函数 zf(x,y)在有界闭区域D上连续，
则在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（２）有界性定理
如果二元函数 zf(x,y)在有界闭区域D上连
续，则在D上一定有界．
（３）介值定理
如果二元函数 zf(x,y)在有界闭区域D上连续， 任给 P 1 (x 1 ,y 1 )P ,2(x2,y2) D ，若存在数Ｋ，使得
lim 1 x0 xy11
y0
1. 2
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确定极限不存在的方法：
（1） 令 P( x, y)沿 y kx趋向于P0 ( x0 , y0 )，若 极限值与k 有关，则可断言极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，使limf(x,y)存在， xx0 yy0 但两者不相等，此时也可断言f(x,y)在点 P0(x0,y0)处极限不存在．
于Байду номын сангаас意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不
等式 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 的一切点 P(x, y) ，都
有 | f ( x, y) A | 成 立 ， 则 称 常 数 A 为 函 数
z f ( x, y)当 P P0（或 x x0，y y0）时的极限，
记为
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y0
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lim 1 x2 y2
例4 求 x
x2 y2
y
解
lim 1 x 2 y 2
x x 2 y 2
y
1
lim x (1 x 2 y 2 )
y
1
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例5 求 lim xy11. x0 xy
y0
解 原式 limxy11 x0x(y xy11)
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例6 讨论函数
f(x,y)x2xyy2, x2y2 0
0,
x2y2 0
在P(x,y)趋向于(0,0)时极限是否存在.
解 取 ykx
lim
x0
x
2
xy
y2
y0
lim
x0
x2
kx2 k2
x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
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二、二元函数的连续性
定义 3：设函数z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有定义，
若
lim
x x0
f (x, y)
f (x0, y0 ) ，则称函数 z
f (x, y) 在
y y0
点 p0 (x0 , y0 ) 处连续。
定义 4：如果函数z f ( x, y)在区域 D 上每一点
都连续，则称它在区域 D 上连续。
第二节 二元函数的极限与连续性
一、二元函数的极限 二、二元函数的连续性 三、总 结
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一、二元函数的极限
定义 1 设函数 z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有定义，
P(x, y) 是 N ( p0, ) 内的任意一点，如果存在一个确定
的常数 A ，点 P(x, y) 以任何方式趋向于定点 p0 (x0, y0 ) 时，函数z f ( x, y)都无限地趋近于 A ，则称常数 A
f1(p1)f2(p2) ,则存在 Q(x,y)D
,使得 2021/6/16 f (Q)k
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三、小结
多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
2021/6/16
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结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
lim f (x, y) A
p p0
或 lim
f (x, y) A
x x0
y y0
2021/6/16
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说明：
（1）定义中 PP0的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 limf (x, y); xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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例1
求
lim x0
sin( xy ) x
y2
解
lim x0
sin( xy ) x
y2
lim lim
sinx(y)
y =1×2=2.
xy0 xy
y2
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例2 求
lim x 0
1 x y
y1
解
lim x 0
1 1 1 x y 01
y1
lim 例3
求
x0
(x
y)sinx2
1
y2
y0
lim 1
解 x0 (xy)sinx2 y2 0
为函数z f ( x, y)当 P P0 （或 x x0， y y0）
时的极限，
记为：
lim f (x, y) A
p p0
或 lim f ( x, y) A x x0 y y0
2021/6/16 lim 或 ( x, y)( x0, y0 ) f (x, y) A
2
定义 2 设函数z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有定义，如果对
2021/6/16
11
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
如果二元函数 zf(x,y)在有界闭区域D上连续，
则在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（２）有界性定理
如果二元函数 zf(x,y)在有界闭区域D上连
续，则在D上一定有界．
（３）介值定理
如果二元函数 zf(x,y)在有界闭区域D上连续， 任给 P 1 (x 1 ,y 1 )P ,2(x2,y2) D ，若存在数Ｋ，使得