云南省玉溪市民族中学2017-2018学年高一下学期第2次阶段检测数学试卷(含精品解析)

玉溪市民族中学高一年级下学期第二次阶段性考试数学试卷
满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知角的终边经过点，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，再求出的值，代入即可得到结果
【详解】由题意可得
则
故选
【点睛】本题是基础题，考查了任意角的三角函数的定义，考查了计算能力，较为基础。

2.已知函数，则该函数图象（）
A. 关于点对称
B. 关于点对称
C. 关于直线对称
D. 关于直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据余弦函数的图象判断函数的对称中心和对称轴即可
【详解】
当时，为最小值，
则函数关于直线对称，故排除，
当时，，也不是最值
故排除
故选
【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数对称轴和对称中心的判断方法，属于基础题。

3.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何？”意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是（）
A. 102
B. 112
C. 130
D. 136
【答案】B
【解析】
由题意得，三乡总人数为人.
∵共征集378人
∴需从西乡征集的人数是
故选B.
4.已知向量，且，则=（ ）
A. B. C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
分析：根据向量，利用，即可求解．
详解：由向量，且
所以，解得，故选D．
点睛：本题主要考查了向量的垂直关系的应用问题，着重考查了推理与运算能力．
5.点在圆上，则点到直线的最短距离为( )
A. 2
B. 5
C. 9
D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可求出结果
【详解】将圆化为标准方程:
则圆心，
圆心到直线的距离
则到直线的最短距离为
故选
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题。

6.如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）
A. B. C. 、 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合题目条件计算，则可以判定加到，即求出结果
【详解】根据程序框图，要得到
则需要循环次，每次循环加，的初始值为，的最大值为，
故判断框内填入的条件应为
故选
【点睛】本题主要考查了循环结构，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，考查了逻辑推理能力。

7.某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：
日需求量n1415161820
频率0.10.20.30.20.2
试估计该商品日平均需求量为( )
A. 16
B. 16.2
C. 16.6
D. 16.8
【答案】D
【解析】
估计该商品日平均需求量为
选D
8.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则
的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：设，，∴，，
，∴.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为
向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
视频
9.已知函数的部分图象如图所示，其中，将的图象向右
平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意，，得，则，，
又，得，，
所以，
则，故选A。

10.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，又因为，故选D.
11.在中，已知，则的形状为( )
A. 正三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
解：因为
选C
12.如果实数满足等式，那么的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将转化为几何意义，圆上的点与原点连线的斜率范围，当相切时求出结果
【详解】实数满足等式，
表示以为圆心，为半径的圆上的点和原点连线的斜率
当直线与圆相切时，
联立和消去并整理可得：
由可解得：
故的取值范围为
故选
【点睛】本题考查了简单的取值问题，结合题意将其转化为几何意义，点与点连线的斜率问题，同时还要满足直线与圆相切，代入求解。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.三位七进制的数表示的最大的十进制的数是_____________.
【答案】342
【解析】
【分析】
先将满足条件的七进制数表示出来，根据七进制与十进制的转换方法计算即可
【详解】最大的三位七进制的数表示：
故答案为
【点睛】本题主要考查了进位制，熟练掌握进制数之间的转化是解题的关键，属于基础题。

14.某校高二年级名学生参加数学调研测试成绩（满分120分）分布直方图如图．已知分数在
100～110的学生有21人，则=_______________.
【答案】60
【解析】
【分析】
由测试成绩（满分分）分布直方图求出分数在的频率，再由分数在的学生有人，即可求出答案
【详解】由测试成绩（满分分）分布直方图可得：
分数在的频率为
分数在的学生有人，
则
故答案为
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，先求出满足题意得频率，注意在计算时乘以组距，然后求解，属于基础题。

15.已知，，则____________
【答案】
【解析】
【分析】
将已知等式两边平方求出的值小于，由的范围判断出，即，再利用完全平方公式计算即可得到答案
【详解】将两边平方可得
则
，
则，即
则
则
故答案为
【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解题的关键，考查了计算能力，较为基础。

16.关于x的方程(0≤x≤)有两相异根，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
把化成，画出函数在上的图像即可得到的取值范围．
【详解】令，则，
该函数在上的图像如图所示：
因有两个不同的解，
故直线与的图像有两个不同的交点，
所以，填．
【点睛】对于形如的函数，我们可将其化简为，其中
，．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知.
化简.
若为第三象限角，且，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
利用诱导公式对函数解析式化简整理即可求得函数的解析式
利用诱导公式和已知条件求得的值，然后利用同角三角函数的基本关系求得的值，代入函数的解析式即可
【详解】
，
则，
为第三象限角，
由可知
则
【点睛】本题主要考查了诱导公式的化简求值，同角三角函数的基本关系的应用，运用诱导公式时注意三
角函数名称和正负号的变化。

18.已知三个顶点坐标分别为:直线经过点
（1）求外接圆的方程．
（2）若直线与相交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）(x－1)2＋(y－2)2＝4，或x2＋y2－2x－4y＋1＝0.
（2）x＝0或3x＋4y－16＝0.
【解析】
【分析】
法一：设圆的方程为，根据条件列出方程组，解出即可
法二：根据的横坐标相同设，由半径相等和两点之间的距离公式列出方程求出，即可求得的方程
对直线的斜率存在问题分类讨论，根据点到直线的距离公式和弦长公式列出方程，求出直线的斜率，即可得到直线的方程
【详解】（1）法一：设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则由题意得解得
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＝0，或(x－1)2＋(y－2)2＝4.
法二：∵A(1,0)，B(1,4)的横坐标相同，故可设M(m,2)，
由MA2＝MC2得(m－1)2＋4＝(m－3)2，解得m＝1，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，或x2＋y2－2x－4y＋1＝0.
（2）当直线l与x轴垂直时，l方程为x＝0，它截⊙M得弦长恰为2；
当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋4，
圆心到直线y＝kx＋4的距离为，由勾股定理得
解得，故直线l的方程为x＝0或3x＋4y－16＝0.
【点睛】本题主要考查了直线和圆的综合问题的应用，考查了直线、圆的方程，点到直线的距离公式，注意考虑直线的斜率的存在情况，利用圆心到直线的距离解决问题是常用的方法，属于中档题。

19.已知平面内三个向量：
（1）若，求实数的值；
（2）设，且满足，，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据向量平行坐标表示得方程，解得实数的值；（2）根据向量垂直坐标表示以及模的定义列方程组解得.
【详解】
【点睛】向量平行：，向量垂直：，向量加减：
20.在四棱锥P-ABC中，底面ABCD为平行四边形，，O为AC的中点，平面M为PD的中点。

（1）证明平面．
（2）证明平面．
（3）求三棱锥P-MAC体积．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
【分析】
证明平面，利用线面平行的判定定理证明即可
利用线面垂直的判定定理证明即可证明平面
利用等体积法求解三棱锥体积
【详解】（1）证明：连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.
（2）证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.
（3）取的中点，连接，则
平面，则平面，
则
【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直，锥体体积的计算，解题的关键是正确运用线面平行，线面垂直的判定定理，本题求体积时运用了等体积法，属于中档题。

21.某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下：
零件的个数/个2345
加工的时间/小时 2.534 4.5
若加工时间与零件个数之间有较好的相关关系．
（1）求加工时间与零件个数的线性回归方程．
（2）试预报加工10个零件需要的时间．
附录：参考公式：，.
【答案】（1）y＝0.7x＋1.05.
（2）8.05
【解析】
【分析】
根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和的值，写出线性回归方程
将代入回归直线方程得出的值，即可预测加工个零件的时间，这是一个预报值。

【详解】（1）由表中数据，利用科学计算器得
x i y i＝52.5， x＝54，
因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋1.05.
（2）将x＝10代入线性回归方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，即加工10个零件的预报时间为8.05小时．
【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法和运算，本题是一个基础题，关键是要正确的运算，考查了计算能力，由回归直线得到的是预报值，不是精确值。

22.已知，, 且
（1）求函数的最小正周期．
（2）当时, 的最小值是－4 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的的值．
【答案】（1）
（2）；.
【解析】
【分析】
根据向量数量积的坐标运算可得的解析式，再由周期公式求得结果
由可知，根据题意求出的值，然后代入求出结果
【详解】（1）
即
（2）由, , ,
,
, 此时, .
【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标运算，三角函数的周期性及求法，两角和与差的正弦函数，解题的关键是根据三角函数的性质熟练的表示并求解，属于中档题。