高二下数学理科导数、定积分周末练习卷(含答案)

2011-2012学年第二学期高二理科数学周练（五）
2012-3-8
一、选择题
1． ∫1
0(e x
＋2x )d x 等于( )
A ．1
B ．e －1
C ．e
D ．e ＋1 解析：选C.∫1
0(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02
)＝e. 2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－1,0)∪(2，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(－1,0) 解析：选C.由题意知x ＞0，且f ′(x )＝2x －2－4x ，即f ′(x )＝2x 2
－2x －4
x
＞0，
∴x 2
－x －2＞0，解得x ＜－1或x ＞2.又∵x ＞0，∴x ＞2.
3．函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( ) A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点 B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点 C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点 D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点
解析：选D.由题意，得x >－1，f ′(x )>0或x <－1，f ′(x )<0，但函数f (x )在x ＝－1处未必连续， 即x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点，故选D.
4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )
A ．－12 B.12 C ．－2
2
D.2
2
解析：y ′＝cos x sin x ＋cos x －cos x －sin x sin x sin x ＋cos x 2
＝1
sin x ＋cos x
2
，
故y ′⎪
⎪⎪
x ＝
π
4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.
5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.
103 B ．4 C.16
3
D ．6 解析：选C.由⎩⎨
⎧
y ＝x y ＝x －2
，得其交点坐标为()4，2.因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积⎠⎛0
4
[
]x －()x －2d x ＝⎠⎛0
4
()x －x ＋2d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. 6、设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2，x ∈[0，1]，
2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( C )
A.34
B.45
C.5
6
D ．不存在
7、设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )的
图像是( )
解析：若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则易得a ＝c .因选项A 、B 的函数为f (x )＝a (x ＋1)2，则[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝a (x ＋1)(x ＋3)e x ，∴x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点满足条件；选项C 中，对称轴x ＝－b
2a ＞
0，且开口向下，
∴a ＜0，b ＞0.∴f (－1)＝2a －b ＜0.也满足条件；选项D 中，对称轴x ＝－b
2a ＜－1，且开口向上，∴a ＞0，b
＞2a .∴f (－1)＝2a －b ＜0.与图矛盾，故答案选D.
8、设(]⎩⎨⎧∈-∈=,
2,1,2],
1,0[,)(2x x x x x f 则,⎰20
)(x f d x 等于
( ) A.43
B ．54
C ．6
5
D ．不存在,
解析 本题应画图求解，更为清晰，如图，
.65)21224(31|)212(|31dx
)2(dx dx )(2121032
1
1
2
2
=+--+=-+=
-+=⎰⎰⎰
x x x x x x f
9、曲线y ＝cos x (0≤x ≤3π
2)与坐标轴围成的面积是 ( )
A ．4 B.5
2
C ．3
D ．2
解析 先作出y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π
2的图象，如图所示，从图象中 可以看出
)2
πsin 2π3(sin 0sin 2πsin
|
|
sin |sin dx
cos dx cos 2π32
π2π0
2π
2π32π---=-=-=⎰⎰x x x x S
=1-0-(-1-1)=3.
10、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1,0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围是( )
A ．[9
4
，＋∞)
B ．(0，94]
C ．[9
5
，＋∞)
D ．(0，9
5
]
解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(x )≤0在x ∈(－1,0)上恒成立，即3x 2＋2ax ＋b ≤0在x ∈(－1,0)上恒成
立，∴⎩⎨⎧
2a －b －3≥0，b ≤0.
∴a ，b 所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O 到直线2a －b －3＝0的距离d ＝35.
∴a 2＋b 2≥d 2＝95.∴a 2＋b 2的取值范围为[9
5，＋∞)．
二、填空题
11、函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[0，π
2
]上的单调递减区间是________．
解析：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )≤0，即1－2sin x ≤0，所以sin x ≥1
2.
又∵x ∈[0，π2]，所以π6≤x ≤π2，即函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2. 12、设a ∈R ，若函数y ＝e x
＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．
解析：y ′＝e x ＋a ，问题转化为“方程e x
＋a ＝0有大于零的实数根”， 由方程解得x ＝ln(－a )(a <0)，由题意得ln(－a )>0，即a <－1.
13、已知函数f (x )＝x e x
，则函数f (x )图象在点(0，f (0))处的切线方程为________．
解析：依题意得f ′(x )＝1·e x
＋x ·e x
＝(1＋x )e x
；f ′(0)＝(1＋0)e 0
＝1，f (0)＝0·e 0
＝0，因此函数f (x )
的图象在点(0，f (0))处的切线方程是y －0＝x －0，即y ＝x .
14、设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0),0≤x 0≤1，则x 0的值为________．
解析 ʃ10(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 2
0＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 15、如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x 2
及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________ 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx, P 点的坐标为(x ，y )，
则
x
⎰
(kx －x 2)d x ＝
2x
⎰
(x 2－kx )d x ，即(12kx 2－13x 3)0x ＝(13x 3－1
2kx 2)2x
，
解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－1
2
kx 2)，
解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．
三、解答题
16．设a >0，函数f (x )＝12
x 2
－(a ＋1)x ＋a ln x .
(1)若曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为－1，求a 的值； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的极值点．
解：(1)由已知得x >0，f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x
.因为曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为－1，所以f ′(2)
＝－1.即2－(a ＋1)＋a
2
＝－1，所以a ＝4.
(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝
x 2
－a ＋1x ＋a x ＝x －1x －a
x
，
因0<a <1，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；
当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点． 17．已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b ln x (x >0，实数a ，b 为常数)． (1)若a ＝1，b ＝－1，求函数f (x )的极值；
(2)若a ＋b ＝－2，且b <1，讨论函数f (x )的单调性．
解：(1)函数f (x )＝x 2
＋x －ln x ，则f ′(x )＝2x ＋1－1x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1(舍去)，x 2＝12.
当0<x <12时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x >1
2时，f ′(x )>0，函数单调递增；
∴f (x )在x ＝12处取得极小值3
4
＋ln 2.
(2)由于a ＋b ＝－2，则a ＝－2－b ，从而f (x )＝x 2
－(2＋b )x ＋b ln x ，则
f ′(x )＝2x －(2＋b )＋b x ＝2x －b x －1x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝b
2
，x 2＝1.
①当b
2≤0，即b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)；
②当0<b
2
<1，即0<b <2时，列表如下：
x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，b 2 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2，1
(1，＋∞)
f ′(x ) ＋
－
＋
f (x )
所以，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b
2，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫b
2，1.
18．已知二次函数h (x )＝ax 2
＋bx ＋c (c >0)，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝ln x －h (x )． (1)求函数f (x )在x ＝1处的切线斜率；
(2)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，m ＋14上是单调函数，求实数m 的取值范围；
(3)若函数y ＝2x －ln x (x ∈[1,4])的图象总在函数y ＝f (x )的图象的上方，求c 的取值范围． 解：(1)由题知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过A (2，－1)、B (0,3)两点，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
4a ＋b ＝－1
b ＝3，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1
b ＝3.∴h (x )＝－x 2
＋3x ＋c .
∴f (x )＝ln x －(－x 2＋3x ＋c )＝x 2
－3x －c ＋ln x .∴f ′(x )＝2x －3＋1x
，
∴f ′(1)＝2－3＋1
1＝0，所以函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为0.
(2)由题意可知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2
－3x ＋1
x
＝
2x －1x －1x
.令f ′(x )＝0，得x ＝1
2
或x ＝1.
当x 变化时，f (x )、f ′(x )随x 的变化情况如下表：
x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 1
2 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 1 (1，＋∞)
f ′(x ) ＋
0 －
0 ＋
f (x )
极大值
极小值
∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)．f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1.
要使函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ＋14上是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧
12<m ＋1
4m ＋14≤1，解得14<m ≤3
4
.
故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤14，34.
(3)由题意可知，2x －ln x >x 2
－3x －c ＋ln x 在x ∈[1,4]上恒成立，
即当x ∈[1,4]时，c >x 2
－5x ＋2ln x 恒成立。

设g (x )＝x 2
－5x ＋2ln x ，x ∈[1,4]，则c >g (x )max . 易知g ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2
－5x ＋2
x
＝
2x －1x －2x
.令g ′(x )＝0得，x ＝1
2
或x ＝2.
当x ∈(1,2)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x ∈(2,4)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增． 而g (1)＝12
－5×1＋2ln 1＝－4，g (4)＝42
－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2，
显然g (1)<g (4)，故函数g (x )在[1,4]上的最大值为g (4)＝－4＋4ln 2，故c >－4＋4ln 2. ∴c 的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)．
19、设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1
x
，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．
(1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1
x
)的大小关系；
(3)是否存在x 0＞0使得|g (x )－g (x 0)|＜1
x 对任意x ＞0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在请说明理由．
解：(1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1
x ，∴g ′(x )＝x －1x 2.令g ′(x )＝0得x ＝1，
当x ∈ (0,1)时，g ′(x )＜0，故(0,1)是g (x )的单调减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，
故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间．因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.
20、已知函数x x g kx x f )(,)(=
=（Ⅰ）求函数x
x g )(=的单调区间；（Ⅱ）若不等式)()(x g x f ≥在区间),0(+∞上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）求证：n 1
ln 3ln 2ln 444<+⋅⋅⋅++
当x 在),0(+∞内变化时，)(x h ‘
，)(x h 变化如下表
x
x h (‘
)
+ 0
-
↘
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
e 21ln 2
≤x x ∴)2(1
e 21ln 24≥⋅≤x x x x ∴
)13121(21ln 33ln 22ln 222444n e n n +⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅++ 又
n n n
)1(1
321211131212
22-+⋅⋅⋅+⨯+⨯<+⋅⋅⋅++111)111()3121()211(<-=--+⋅⋅⋅+-+-=n n n ∴
e n e n n 21
)13121(21ln 33ln 22ln 2
22444<
+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅++即
e n
n 21
ln 33ln 22ln 4
44<+⋅⋅⋅++。