河南省焦作市2016-2017学年高二上学期期末统考文数试题含答案

数学(文科)试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合{}2
|90A x x
=-=，则下列式子表示正确的有（
）
①3A ∈；②{}3A -∈;③A ∅⊆；④{}33A -⊆,
A ．4个
B ．3个
C ． 2个
D ．1 个 2. 命题2
2:,,0p x y R x y ∀∈+≥，则命题p 的否定为( ) A ．2
2,,0x y R x y ∀∈+< B ．2
2,,0x y R x y ∀∈+≤
C ．22
00,,0x y
R x y ∃∈+≤
D ．22
00,,0x y
R x y ∃∈+<
3. 函数()223f x x x =
-++( ）
A ． []1,3-
B ．[]3,1-
C ．(][),31,-∞-+∞
D ． (][),13,-∞-+∞
4. 已知函数()f x 在[]3,4-上的图象是一条连续的曲线，且其部分对应值如下表：
x —3 —2 -1 0 1 2 3 4
()f x
6
m
—4 —6 -6 —4 n
6
则函数()f x 的零点所在区间有（ ）
A ．()3,1--和()1,1-
B ．()3,1--和()2,4
C 。

()1,1-和()1,2
D ．(),3-∞-和()4,+∞ 5.过点(7A 与圆2
2:4O x
y +=相切的两条直线的夹角为（ ）
A ．512
π B ． 3
π C 。

6
π D ．
12
π
6.已知命题:p 已知函数()f x 的定义域为R ，若()f x 是奇函数,则()00f =，则它的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 （ ）
A ．0
B ．2 C. 3 D ．4 7. 已知数列{}n
a 满足()122n
n n a
a a n --=+>，且201520171,1a a ==-，则2000a =（ )
A ．0
B ．—3
C 。

—4
D ．-7
8。

已知:1,:2p x q a x a ≤-≤<+，若q 是p 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 （ ）
A ．(],1-∞
B ．[)3∞，
+ C 。

(],3-∞- D ．[)1,+∞ 9.下列函数是偶函数的是( ） ①()lg f x x =；②()x
x f x e
e -=+；③()()2
f x x x N =∈；④(
)f x x =-
A ． ①②
B ．①③
C 。

②④
D ．①④
10.已知,x y 满足不等式组1
10x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩
，若直线0x y a --=平分不等式组所表
示的平面区域的面积，则a 的值为 （ ） A ．12
- B
．
C. 1- D
．111。

已知,a b 是两个正实数，且111222b
a b a ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，则ab 有（ ）
A ．最小值4
B ．最大值4 C. 最小值2 D ．最大值2
12。

函数()cos f x x ax =+是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ) A ． [)1,+∞ B ．()1,+∞ C 。

(][)11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题 ,每小题5分.
13.某几何体的三视图如图所示,则其体积为 ．
14.已知两直线1
:20l ax y -+=和2
:0l
x y a +-=的交点在第一象限,则实数a 的
取值范围是 ．
15.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》的“田域类”中写道:问沙田一段,有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里,大斜一十五里，…，欲知为田几何。

意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14,15里,求三角形沙田的面积，请问此田面积为 平方里.
16.已知椭圆()22
122:10x y C a b a b
+=>>与双曲线2C 有共同的左右焦点12,F F ，两
曲线的离心率之积1
21,e e D =是两曲线在第一象限的交点，则12:F D F D =
（用,a b 表示).
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分）
如图，四边形ABCD 中，0
//,45,60,6,32AD BC DAC ADC DC AB ∠=∠==
=
（1)求AC 的长； （2）求ABC ∠的大小。

18. （本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x x x =-+.
（1）求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）证明：不等式ln 1x x ≤-恒成立。

19. （本小题满分12分)
设等差数列{}n
a 的前n 项和为22
22,37,352n
S a
S ==.
（1）求数列{}n
a 的通项公式；
（2）若38
1n
n n b
a a ++=
，求数列{}n
b 的前n 项和n
T .
20. （本小题满分12分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的两焦点分别为12,F F ，点D 是椭圆C 上的一
动点，当12
DF F ∆的面积取得最大值1时，12
DF F ∆为直角三角形.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P 是椭圆C 上的一点，则过点()0
,P x y 的切线的方程为
00
221xx yy a b +=.过直线:2l x =上的任意点M 引椭圆C 的两条切线，切点分别为
,A B ，求证：直线AB 恒过定点。

21. （本小题满分12分）
已知点()1,0H -，动点P 是y 轴上除原点外的一点，动点M 满足PH PM ⊥，且PM 与x 轴交于点Q ,Q 是PM 的中点。

（1）求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）已知直线1
1:8
l x my =+与曲线E 交于,A C 两点，直线2l 与1
l 关于x 轴对
称,且交曲线E 于,B D 两点,试用m 表示四边形ABCD 的面积. 22。

(本小题满分12分） 已知函数()3
231f x x
ax x =+--。

（1）当4a =-时,求函数()f x 的单调递减区间；
（2）已知()31g x x =-+，若()f x 与()g x 的图象有三个不同的交点，求实数a 的取值范围。

试卷答案
一、选择题
1-5： BDAAB 6-10: BDCAD 11、12：AC 二、填空题
13. 3
π
14。

()2,+∞ 15。

84 16.
2
2
21a b -(或22
2
2a b b -) 三、解答题
17。

【解析】(10
sin 60AC
=
,…………………………………3分
得3
62322
AC ⨯=
= (5)
分
（2)∵//AD BC ，∴0
45ACB ∠=，……………………………6分
由
0323
sin 45sin ABC
=
∠,……………………………8分
得1sin 2
ABC ∠=，………………………9分
由小边对小角得0
30ABC ∠=…………………………………………10分
（2)()1x f x x
-'=，由()0f x '=,得1x =，………………………………7分
∵在()0,1上()0f x '>，在()1,+∞上
()0f x '<， (8)
分
∴()f x 在()0,1上是单调递增函数，在()1,+∞上单调递减函数，…………………………9分 ∴函数()f x 的最大值为
()1ln10f ==, (10)
分
∴()0f x ≤在()0,+∞上恒成立，即ln 1x x ≤-在()0,+∞上恒成立………………………………12分 19。

【解析】（1）∵()12222
223522
a a S +⨯==,且22
37a
=， (1)
分 ∴1
5a
=-…………………………………………3分
2212221
a a
d -==-，…………………………………………………5分
∴()51227n
a
n n =-+-⨯=- (6)
分
（2）()()1
111212122121n
b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，…………………………………9分
1111111
11233557212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=
-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
……………………12分
20.【解析】（1）当D 在椭圆的短轴端点时,12
DF F ∆的面积取得最大值，…………………2分
依题得1
bc b c =⎧⎨=⎩
，解得1b c ==，
∴2
222a
b c =+=……………………………………5分
∴椭圆C 的方程为2
212
x y += (6)
分
(2）设()()1
1
2
2
,y ,,y A x B x ，则直线AM 的方程：1
112
xx
yy +=，直线BM 的方程：
2
212
xx yy +=……………………………………………8分
设()2,M t ,∵直线,AM BM 均过点M ，∴1
1
221,1x ty
x ty +=+=， (9)
分
即()()1
1
2
2
,,,y x y x 均满足方程1x ty +=,又知两点确定唯一的一条直线，故直
线AB 的方程为1x ty +=…………………………………………11分 显然直线AB 恒过点()1,0………………………………12分
21。

【解析】(1）设()()()(),,0,0,,0M x y P y y Q x '''≠,()()1,,,PH y PQ x y '''=--=-， ∵PH PM ⊥，∴2
0x y ''
-+=，即2y x ''=……………………………3分
又2
02
x
x y y ⎧'=⎪⎪⎨
'+⎪=⎪⎩…………………………………………………………4分
∴2x x y y
⎧'=⎪⎨
⎪'=-⎩，代入2y x ''=，得()2
02x y y =≠…………………………………6分
（2)联立直线1
l 与抛物线的方程得
218
12
x my y x
⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩………………………………………7分
得2
11
0,,216216
A C A C m m y
y y y y y -
-=+==-,…………………………………9分
依题可知，四边形ABCD 是等腰梯
形，…………………………………………10分 ∴()()
()()()2
222
A D D A A C C A A C ABCD
y y x x S
y y x x m y y +-=
=--=--四边形
()3
2
44
A C A C m m
m y y y y +⎡⎤-+-=
⎣
⎦ (12)
分
22.【解析】（1）当4a =-时,()()()2
383313f x x x x x '=--=+- (2)
分
由()0f x '=，得1
21
,33x
x =-=，
由()0f x '≤，得133
x -≤≤…………………………4分
∴函数()f x 的单调递减区间为1,33
⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
，（写成1,33
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
也正
确）……………………………5分 （2）设()()()3
22G x f x g x x ax =-=+-，
所以()()2
3232G x x
ax x x a '=+=+，由()0G x '=，得0x =或
23
a
x =-
………………………6分
①当0a >时，在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
上()0G x '>;在2,03
a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
上
()0G x '<；在()0,+∞上，
()0G x '>，
∴()G x 在()2,,0,3a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭
上是递增函数，在2,03
a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
上是递减函数，
∴
()()()3242,02327
a G x G a G x G ⎛⎫=-=-==- ⎪⎝⎭极大值极小值，………………………………
…7分
()f x 与()g x 的图象有三个不同的交点等价于函数()G x 有三个不同的零
点， ∴
342027a ->，解得a >…………………………………8分
②当0a <时,在(),0-∞上()0G x '>；在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
上()0G x '<，在2,3
a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
上()0G x '>，
∴()G x 在()2,0,,3
a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭
上是递增函数,在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
上是递减函
数，…………………………9分 ∴()
()()3
2402,G 2327
a G x G x G a ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭极大值
极小值，
由于()
0G x <极大值
,因此()G x 只有一个零点，所以不合题
意……………………………10分 ③当0a =时，
∵在(),-∞+∞上()0G x '≥,∴()G x 在(),-∞+∞上是递增函数，所以()G x 只有一个零点，所以不合题意，…………………………………11分 综上，实数a 的取值范围为
⎫
+∞⎪⎭
………………………………………12分。