高中物理必修二知识点总结(人教版)

第五章 平抛运动
§5-1 曲线运动 & 运动的合成与分解
一、曲线运动
1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。

2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。

3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。

②运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。

③F 合≠0，一定有加速度a 。

④F 合方向一定指向曲线凹侧。

⑤F 合可以分解成水平和竖直的两个力。

4.运动描述——蜡块运动
二、运动的合成与分解
1.合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。

2.互成角度的两个分运动的合运动的判断：
①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。

②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其
v v 水 v 船
θ 船
v d t =
m in ，
θsin d x =
水
船v v =
θtan
d 合运动是匀变速曲线运动，a 合为分运动的加速度。

③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。

④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。

当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。

三、有关“曲线运动”的两大题型
（一）小船过河问题
模型一：过河时间t 最短： 模型二：直接位移x 最短： 模型
三：间接位移x 最短：
[触类旁通]1．(2011 年上海卷)如图 5－4 所示，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进．此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为（ C ）。

αsin .v A α
sin .
v
B αcos .v
C αcos .v D
d v
v 水
v 船
θ
当v 水<v 船时，x min =d ， θ
sin 船v d t =
， 船v v A
v
v 船 θ 当v 水>v 船时，L v v d
x 船
水==θcos min
， θ
sin 船v d t =
，水船v v =θcos
θ
θsin )
cos -(min 船船水v L v v s =
θ
v 船 d
解析：依题意，船沿着绳子的方向前进，即船的速度总是沿着绳子的，根据绳子两端连接的物体在绳子方向上的投影速度相同，可知人的速度v 在绳子方向上的分量等于船速，故
v船＝v cosα，C 正确．
2．(2011 年江苏卷)如图5－5 所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA、OB 分别与水流方向
平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，
则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为(C)
A．t甲<t乙B．t甲＝t乙
C．t甲>t乙D．无法确定
解析：设游速为v，水速为v0，OA＝OB＝l，则t甲＝l
v＋v0＋
l
v－v0；
乙沿OB运动，乙的速度矢量图如图4所示，合速度必须沿OB方向，则t
乙＝2·
l
v2－v20
，联立
解得t
甲>t
乙
，C正确．
（二）绳杆问题(连带运动问题)
1、实质：合运动的识别与合运动的分解。

2、关键：①物体的实际运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定；
②沿绳（或杆）方向的分速度大小相等。

模型四：如图甲，绳子一头连着物体B，一头拉小船A，这时船的运动方向不沿绳子。

B
O
O
A
v A
θ
v2
v A
乙
处理方法：如图乙，把小船的速度v A 沿绳方向和垂直于绳的方向分解为v 1和v 2，v 1就是拉绳的速
度，v A 就是小船的实际速度。

[触类旁通]如图，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为 v1 和 v2，则下列说法正确的是( C ） A ．物体做匀速运动，且 v 2＝v 1 B ．物体做加速运动，且 v 2>v 1 C ．物体做加速运动，且 v 2<v 1 D ．物体做减速运动，且 v 2<v 1
解析：汽车向左运动，这是汽车的实际运动，故为汽车的合运动．汽车的运动导致两个效果：一是滑轮到汽车之间的绳变长了；二是滑轮到汽车之间的绳与竖直方向的夹角变大了．显然汽车的运动是由沿绳方向的直线运动和垂直于绳改变绳与竖直方向的夹角的运动合成的，故应分解车的速度，如图，沿绳方向上有速度v 2＝v 1sin θ.由于v 1 是恒量，而θ逐渐增大，所以 v 2 逐渐增大，故被吊物体做加速运动，且 v 2＜v 1，C 正确．
§5-2 平抛运动 & 类平抛运动
一、抛体运动
1.定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，它的运动即为抛体运动。

2.条件：①物体具有初速度；②运动过程中只受G 。

二、平抛运动
1.定义：如果物体运动的初速度是沿水平方向的，这个运动就叫做平抛运动。

2.条件：①物体具有水平方向的加速度；②运动过程中只受G 。

3.处理方法：平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平
方向的匀速直线运动，一个是竖直方向的自由落体运动。

（1）位移：.2tan ,)2
1()(,2
1
,0
2
22
020v gt gt t v s gt y t v x =+===ϕ （2）速度：0v v x =，gt v y =，220)(gt v v +=，0
tan v gt =
θ
4.规律：
[牛刀小试]如图为一物体做平抛运动的x－y 图象，物体从O 点抛出，x、y 分别表示其水平位移和竖直位移．在物体运动过程中的某一点P(a，b)，其速度的反向延长线交于x 轴的A 点(A 点未画出)，则OA 的长度为(B）
A.a
B.0.5a
C.0.3a
D.无法确定
解析：作出图示(如图5－9所示)，设v与竖直方向的夹角为α，根据几何
关系得tan α＝v0
v y①，由平抛运动得水平方向有
a＝v0t②，竖直方向有
b＝1
2
v y t③，由①②③式得tan α＝
a
2b
，在Rt△AEP中，AE＝b tan α＝
a
2
，所以OA＝
a
2
.
5.应用结论——影响做平抛运动的物体的飞行时间、射程及落地速度的因素
α
a 、飞行时间：g
h
t 2=
，t 与物体下落高度h 有关，与初速度v 0无关。

b 、水平射程：,20
0g
h
v t v x ==由v 0和h 共同决定。

c 、落地速度：gh v v v v y 22
02
2
0+=+=，v 由v 0和v y 共同决定。

三、平抛运动及类平抛运动常见问题
模型一：斜面问题：
[触类旁通](2010 年全国卷Ⅰ)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图 5－10 中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(D ）
θtan .A θtan 2.B θ
tan 1
.
C θtan 21.D
解析：如图5所示，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面倾角θ，有tan θ＝
v 0
gt
，则下落高
度与水平射程之比为y x
＝
1
2gt 2
v 0t
＝
gt 2v 0＝1
2tan θ
，D 正确．
处理方法：1.沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；2.沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的竖直上抛运动。

考点一：物体从A 运动到B 的时间：根据g
v t gt y t v x θtan 221,02
0=⇒=
= 考点二：B 点的速度v B 及其与v 0的夹角α：
)tan 2arctan(,tan 41)(2022
0θαθ=+=+=v gt v v
模型二：临界问题：
模型三：类平抛运动：
[综合应用](2011 年海南卷)如图 所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，ab 为沿水平方向的直径．若在 a 点以初速度 v 0 沿 ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的 c 点．已知 c 点与水平地面的距离为坑半径的一半，求坑的半径。

解：设坑的半径为r ，由于小球做平抛运动，则
x ＝v 0t ① y ＝0.5r ＝1
2gt 2 ②
思路分析：排球的运动可看作平抛运动，把它分解为水平的匀速直线运动和竖直的自由落体运动来分析。

但应注意本题是“环境”限制下的平抛运动，应弄清限制条件再求解。

关键是要画出临界条件下的图来。

例：如图1所示，排球场总长为18m ，设球网高度为2m ，运动员站在离网
3m 的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出。

（不计空气阻力） （1）设击球点在3m 线正上方高度为2.5m 处，试问击球的速度在什么范围内才能使球即不触网也不越界？
（2）若击球点在3m 线正上方的高度小余某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度？ 考点一：沿初速度方向的水平位移：根据ma mg at b t v s ===θsin ,21,2
0.sin 20
θg b
v s =⇒ 考点二：入射的初速度：.2sin ,'2
1
,sin sin '002b
g v t v a t a b g m mg a θ
θθ=⇒====
考点三：P 到Q 的运动时间：.sin 2,'21,sin sin 2θ
θθg b
t t a b g m mg a =⇒===
过c 点作cd ⊥ab 于d 点，则有Rt △acd ∽Rt △cbd 可得cd 2＝ad ·db
即为(r
2)2＝x (2r －x ) ③
又因为x >r ，联立①②③式解得r ＝
4
7－4
3
g
v 20.
§5-3 圆周运动 & 向心力 & 生活中常见圆周运动
一、匀速圆周运动
1.定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周运动。

2.特点：①轨迹是圆；②线速度、加速度均大小不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变速曲线运动，匀速圆周运动的角速度恒定；③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直的合外力；④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动具有周期性。

3.描述圆周运动的物理量：
（1）线速度v 是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量；其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s ，匀速圆周运动中，v 的大小不变，方向却一直在变；
（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量；国际单位符号是rad ／s ； （3）周期T 是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s ；
（4）频率f 是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz ；
（5）转速n 是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r/s ，以及r/min ． 4.各运动参量之间的转换关系：
.2,2222R v
T n T R v nR R T R v πππωππω====−−→−===变形
5.三种常见的转动装置及其特点：
模型一：共轴传动 模型二:皮带传动 模型三：齿轮传动
[触类旁通]1、一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A 和B 沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A 的运动半径较大，则( AC )
A ．A 球的角速度必小于
B 球的角速度 B ．A 球的线速度必小于B 球的线速度
C ．A 球的运动周期必大于B 球的运动周期
D ．A 球对筒壁的压力必大于B 球对筒壁的压力
解析：小球A 、B 的运动状态即运动条件均相同，属于三种模型中的皮带传送。

则可以知道，两个小球的线速度v 相同，B 错；因为R A >R B ，则ωA <ωB ,T A <T B ,A.C 正确；又因为两小球各方面条件均相同，所以，两小球对筒壁的压力相同，D 错。

所以A 、C 正确。

r R
O B A B A B A B A
T T r R
v v ===,,ωω
A
B
O
r R
O r
R
T T R r v v A B A B B A =
==,,ωω A
B
r 2
r 1 A
B
B A B A n n r r T T v v ωω====2121,
2、两个大轮半径相等的皮带轮的结构如图所示，AB 两点的半径之比为2 : 1，CD 两点的半径之比也为2 : 1，则ABCD 四点的角速度之比为 1∶1∶2∶2 ，这四点的线速度之比为 2∶1∶4∶2 。

二、向心加速度
1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度。

注：并不是任何情况下，向心加速度的方向都是指向圆心。

当物体做变速圆周运动时，向心加速度的一个分加速度指向圆心。

2.方向：在匀速圆周运动中，始终指向圆心，始终与线速度的方向垂直。

向心加速度只改变线速度的方向而非大小。

3.意义：描述圆周运动速度方向方向改变快慢的物理量。

4.公式：.)2(222
22r n r T v r r v a n ππωω=⎪⎭
⎫
⎝⎛====
5.两个函数图像：
[触类旁通]1、如图所示的吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车A ，小车下装有吊着物体B 的吊钩。

在小车A 与物体B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B 向上吊起。

A 、B 之间的距离以
O
O
a n
a n
r
r
v 一定
ω一定
A
B
d = H －2t 2(SI)(SI 表示国际单位制，式中H 为吊臂离地面的高度)规律变化。

对于地面的人来说，则物体做( AC )
Ａ．速度大小不变的曲线运动 Ｂ．速度大小增加的曲线运动 Ｃ．加速度大小方向均不变的曲线运动
Ｄ．加速度大小方向均变化的曲线运动
2、如图所示，位于竖直平面上的圆弧轨道光滑，半径为R ，OB 沿竖直方向，上端
A 距地面高度为H ，质量为m 的小球从A 点由静止释放，到达
B 点
时的速度为，最后落在地面上C 点处，不计空气阻力，求： (1)小球刚运动到B 点时的加速度为多大，对轨道的压力多大； (2)小球落地点C 与B 点水平距离为多少。

三、向心力
1.定义：做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力，叫做向心力。

2.方向：总是指向圆心。

3.公式：.)2(222
22r n m r T m mv r m r v m F n ππωω=⎪⎭
⎫ ⎝⎛====
4.几个注意点：①向心力的方向总是指向圆心，它的方向时刻在变化，虽然它的大小不变，但是向心力也是变力。

②在受力分析时，只分析性质力，而不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向心力。

③描述做匀速圆周运动的物体时，不能说该物体受向心力，而是说该物体受到什么力，这几个力的合力充当或提供向心力。

四、变速圆周运动的处理方法
1.特点：线速度、向心力、向心加速度的大小和方向均变化。

2.动力学方程：合外力沿法线方向的分力提供向心力：r m r
v m F n 22
ω==。

合外力沿切线方向的分
力产生切线加速度：F T =m ωa T 。

3.离心运动：
（1）当物体实际受到的沿半径方向的合力满足F 供=F 需=m ω
2r
时，物体做圆周运动；当F
供
<F 需=m ω2r 时，物体做离心运动。

（2）离心运动并不是受“离心力”的作用产生的运动，而是惯性的表现，是F 供<F 需的结果；离心运动也不是沿半径方向向外远离圆心的运动。

五、圆周运动的典型类型
球壳外的小球
在最高点时弹力F N 的方向向上
①如果刚好能通过球壳的最高点A ，则v A
＝0，F N ＝mg
②如果到达某点后离开球壳面，该点处小球受到壳面的弹力F N ＝0，之后改做斜抛运动，若在最高点离开则为平抛运动
六、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型分析
（一）解题步骤： ①明确研究对象； ②定圆心找半径；
③对研究对象进行受力分析； ④对外力进行正交分解；
⑤列方程：将与和物体在同一圆周运动平面上的力或其分力代数运算后，另得数等于向心力；
⑥解方程并对结果进行必要的讨论。

（二）典型模型：
I 、圆周运动中的动力学问题
谈一谈：圆周运动问题属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。

解题思路就是，以加速度为纽带，运用那个牛顿第二定律和运动学公式列方程，求解并讨论。

模型一：火车转弯问题：
模型二：汽车过拱桥问题：
N
F 合
mg
h
L
a 、涉及公式：L
h mg
mg F =≈=θθsin mgtan 合① R
v m F 20
=合②，由①②得：L
Rgh
v =
0。

b 、分析：设转弯时火车的行驶速度为v ，则： （1）若v>v 0，外轨道对火车轮缘有挤压作用；
a 、涉及公式：R v m F mg N 2=-,所以当mg R v m mg F N <-=2
，
此时汽车处于失重状态，而且v 越大越明显，因此汽车过拱桥时不宜告诉行驶。

[触类旁通]1、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的倾角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度小于，则( A ) A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C ．这时铁轨对火车的支持力等于
D ．这时铁轨对火车的支持力大于
解析：当内外轨对轮缘没有挤压时，物体受重力和支持力的合力提供向心力，此时速度为
θgR tan 。

2、如图所示，质量为m 的物体从半径为R 的半球形碗边向碗底滑动，滑倒最低点时的速度为v 。

若物体滑倒最低点时受到的摩擦力是f ，则物体与碗的动摩擦因数μ为（ B ）。

A 、
mg f B 、2
mv mgR fR
+ C 、
2
mv mgR fR
- D 、
2
mv fR
解析：设在最低点时，碗对物体的支持力为F ，则R
v m ma mg F 2
==-，解得R v m mg F 2+=，由
f=μF 解得R
v m
mg f 2
+=
μ，化简得2
mv
mgR fR
+=
μ，所以B 正确。

II 、圆周运动的临界问题
A.常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题
谈一谈：竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。

对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况，并且经常出现有关最高点的临界问题。

模型三：轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周最高点：
模型四：轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：
（注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.） （1）临界条件：小球到达最高点时，绳子的拉力或单轨的弹力刚好等于0，小球的重力提供向心力。

即：
gR 2=⇒=临界临界
v R
v m mg 。

（2）小球能过最高点的条件：时当gR .gR >≥v v ，绳对球产生向下的拉力或轨道对球产生向下的压力。

（1）临界条件：由于轻杆和双轨的支撑作用，小球恰能到达最
高点的临街速度.0=临界v （2）如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：①当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球的重力，即F N =mg ；
甲 乙 ③当gR =v 时，F N =0； ④当gR >v 时，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。

（3）如图乙所示的小球过最高点时，光滑双轨对小球的弹力情况： ①当v=0时，轨道的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球的重力，即F N =mg ； ②当gR 0<<v 时，轨道的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支持力F N ，大小随小球速度的增大而减小，其取值范围是g F N m 0<<；
③当gR =v 时，F N =0；
b
a
O Q
P
O
A
F
模型五：小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动：
[触类旁通]1、如图所示，质量为0.5 kg 的小杯里盛有1 kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m ，小杯通过最高点的速度为4 m/s ，g 取10 m/s2，求： (1)在最高点时，绳的拉力？ (2)在最高点时水对小杯底的压力？
(3)为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少? 答案：(1)9 N ，方向竖直向下；(2)6 N ，方向竖直向上；(3)m/s = 3.16 m/s 2、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，现给小
球
一初速度，使其做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是( AB )
A ．a 处为拉力，b 处为拉力
B ．a 处为拉力，b 处为推力
C ．a 处为推力，b 处为拉力
D ．a 处为推力，b 处为推力 3、如图所示，LMPQ 是光滑轨道，LM 水平，长为5m ，MPQ 是
一半径R=1.6m 的半圆，QOM 在同一竖直面上，在恒力F
作用
下，质量m=1kg 的物体A 从L 点由静止开始运动，当达到M 时立即停止用力，欲使A 刚好能通过Q 点，则力F 大小为多少？（取g=10m/s 2） 解析：物体A 经过Q 时，其受力情况如图所示：
由牛顿第二定律得：R
v m F mg N 2
=+
两种情况：
（1）若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑，物体在最高点的速度v
的限制条件是.gR v < Q P
mg F N O
物体A 刚好过A 时有F N =0；解得s m gR v /4==， 对物体从L 到Q 全过程，由动能定理得：
2
2
12mv mgR LM F =
-⋅，解得F=8N 。

B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题 谈一谈：在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动（半径变化）的趋势。

这时要根据物体的受力情况判断物体所受的某个力是否存在以及这个力存在时方向如何（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

【综合应用】
1、如图所示，按顺时针方向在竖直平面内做匀速转动的轮子其边缘上有一点 A ，当 A 通过与圆心等高的 a 处时，有一质点 B 从圆心 O 处开始做自由落体运动．已知轮子的半径为 R ，求：
(1)轮子的角速度ω满足什么条件时，点 A 才能与质点 B 相遇？
(2)轮子的角速度ω′满足什么条件时，点 A 与质点 B 的速度才有可能在某时刻相同？
处理方法：先对A 进行受力分析，如图所示，注意在分析时不能忽略摩擦力，当然，如果说明盘面为光滑平面，摩擦力就可以忽略了。

受力分析完成后，可以发现支持力N 与mg 相互抵销，则只有f 充当该物体的向心力，则有
等效处理：O 可以看作一只手或一个固定转动点，B 绕着O 经长为R 的轻绳或轻杆的牵引做着圆周运动。

还是先对B 进行受力分析，发现，上图的f 在此图中可等效为绳或杆对小球的拉力，则将f 改为F 即可，根据题意求出F
带入公
O
A
N
mg
f
等效为
O B
R
解析：(1)点 A 只能与质点 B 在 d 处相遇，即轮子的最低处，则点 A 从 a 处转到 d 处所转过的角度应为θ＝2n π＋3
2π，其中n 为自然数．
由h ＝
1
2
gt 2知，质点B 从O 点落到d 处所用的时间为t ＝
2R
g
，则轮子的角速度应满足条件
ω＝θ
t ＝(2n ＋3
2
)π
g
2R
，其中n 为自然数． (2)点 A 与质点 B 的速度相同时，点 A 的速度方向必然向下，因此速度相同时，点 A 必然运动到了 c 处，则点 A 运动到 c 处时所转过的角度应为θ’＝2n π＋π，其中 n 为自然数． 转过的时间为 '
)12('''ωπ
ωθ+==
n t 此时质点 B 的速度为 v B ＝gt ′，又因为轮子做匀速转动，所以点 A 的速度为 v A ＝ω′R 由 v A ＝v B 得，轮子的角速度应满足条件R
g
n πω)12('+=
，其中n 为自然数． 2、(2009年高考浙江理综)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如下图所示，赛车从起点A 出发，沿水平直线轨道运动L 后，由B 点进入半径为R 的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C 点，并能越过壕沟．已知赛车质量m ＝0.1 kg ，通电后以额定功率P ＝1.5 W 工作，进入竖直轨道前受到的阻力恒为0.3 N ，
随后在运动中受到的阻力均可不记．图中L ＝10.00 m ，R ＝0.32 m ，h ＝1.25 m ，x ＝1.50 m ．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(取g ＝10 m/s 2) 解析：设赛车越过壕沟需要的最小速度为v 1，由平抛运动的规律
x ＝v 1t ，h ＝
12
gt 2，解得：v 1＝x
R 2h
＝3 m/s
设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v 2，最低点的速度为v 3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律得
mg ＝m v 22
R ， 12mv 23＝12mv 22＋mg (2R )
解得v 3＝
5gh ＝4 m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是
v min ＝4 m/s
设电动机工作时间至少为t ，根据功能关系
Pt －F f L ＝12
mv 2min ，由此可得t ＝2.53 s.
3、如下图所示，让摆球从图中A 位置由静止开始下摆，正好到最低点B 位置时线被拉断．设摆线长为L ＝1.6 m ，摆球的质量为0.5kg ，摆线的最大拉力为10N ，悬点与地面的竖直高度为H=4m ，不计空气阻力，g
取10 m/s 2。

求：
（1）摆球着地时的速度大小．（2）D 到C 的距离。

解析：（1）小球刚摆到B 点时，由牛顿第二定律可知：
l
v m mg F B
m 2
=-①，由①并带入数据可解的：s m v B /4=，
小球离开B 后，做平抛运动. 竖直方向：2
2
1gt l H =
-②，落地时竖直方向的速度：gt v y =③ 落地时的速度大小：22y B v v v +=④，由①②③④得：./8s m v =
（2）落地点D 到C 的距离.35
8
m t v s B ==
第六章 万有引力与航天
§6-1 开普勒定律
一、两种对立学说（了解）
1.地心说：
（1）代表人物：托勒密；（2）主要观点：地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。

2.日心说：
（1）代表人物：哥白尼；（2）主要观点：太阳静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动。

二、开普勒定律
1.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的
一个焦点上。

2.开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。

此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动。

3.开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴R 的三次方与公转周期T 的二次方的比
值都相同，即k k T a ,23
值是由中心天体决定的。

通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近似
为圆，则半长轴a 即为圆的半径。

我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小。

[牛刀小试]1、关于“地心说”和“日心说”的下列说法中正确的是( AB )。

A ．地心说的参考系是地球 B ．日心说的参考系是太阳
C ．地心说与日心说只是参考系不同，两者具有等同的价值
D ．日心说是由开普勒提出来的
2、开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。

关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( B )
A ．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
B ．对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大
C ．在牛顿发现万有引力定律后，开普勒才发现了行星的运行规律
D ．开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发现行星运动规律等全部工作
§6-2 万有引力定律
一、万有引力定律
1.月—地检验：①检验人：牛顿；②结果：地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力都是同一种力。

2.内容：自然界的任何物体都相互吸引，引力方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量
m 1和m 2乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比。

3.表达式：2
21r
m m G
F =，).(/1067.62
211引力常量kg m N G ⋅⨯=- 4.使用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间的距离。

5.四大性质：
①普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都存在万有引力。

②相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，满足牛顿第三定律。

③宏观性：一般万有引力很小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，其存在才有意义。

④特殊性：两物体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者间的距离，而与它们所处环境以及周围是否有其他物体无关。

6.对G 的理解：①G 是引力常量，由卡文迪许通过扭秤装置测出，单位是22/kg m N ⋅。

②G 在数值上等于两个质量为1kg 的质点相距1m 时的相互吸引力大小。

③G 的测定证实了万有引力的存在，从而使万有引力能够进行定量计算，同时标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代。

[牛刀小试]1、关于万有引力和万有引力定律理解正确的有( B ) A ．不可能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力 B ．可看作质点的两物体间的引力可用F =22
1r
m m G 计算 C ．由F = 2
2
1r m m G
知，两物体间距离r 减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力非常大 D ．引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，且等于6.67×10－11N ·m 2 / kg 2
2、下列说法中正确的是( ACD )
A ．总结出关于行星运动三条定律的科学家是开普勒
B ．总结出万有引力定律的物理学家是伽俐略
C ．总结出万有引力定律的物理学家是牛顿。