2020高考理科数学课时作业77

高考数学 课时作业(七十七)
1．(2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.12
B.13
C.14
D.1
6
答案 B
解析 从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的(1,3)，(2,4)，故所求概率是26＝13.
2．(2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
A.23
B.25
C.35
D.910
答案 D
解析 事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P ＝1－110＝910.
3．(2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )
A.49
B.13
C.29
D.19
答案 D
解析 由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一
偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有C 15C 1
4＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C 15C 15＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共
有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C15×1＝5个．于是，所求概率为5 45＝
1
9.
4．(2012·安徽)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()
A.1
5 B.
2
5
C.3
5 D.
4
5
答案 B
解析标记红球为A，白球分别为B1、B2，黑球分别为C1、C2、C3，记事件M为“取出的两球一白一黑”．则基本事件有：(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共15个．其中事件M包含的基本事件有：(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，共6个．根
据古典概型的概率计算公式可得其概率为P(M)＝6
15＝
2
5.
5．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)，向量b ＝(1，－2)，则a⊥b的概率是()
A.1
12 B.
1
6
C.7
36 D.
2
9
答案 A
解析由a⊥b，得m－2n＝0，所以事件“a⊥b”包含的基本事件为(2,1)，
(4,2)，(6,3)共3个，所以a⊥b的概率是3
36＝
1
12，故选A.
6．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线x
a＋
y
b＝1的斜
率k≥－1
2的概率为()
A.1
9 B.
5
36
C.1
6 D.
1
4
答案 D
解析记a，b的取值为数对(a，b)，由题意知a，b的所有可能取值有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，(3,1)，(3,2)，…，(3,6)，(4,1)，(4,2)，…，
(4,6)，(5,1)，(5,2)，…，(5,6)，(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种．由直线x
a＋y
b＝
1的斜率k＝－b
a≥－
1
2，知
b
a≤
1
2，那么满足题意的a，b可能的取值为(2,1)，(3,1)，
(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9种，所以所求概率为9
36＝
1
4，
故选D.
7．(2014·郑州质检)现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为
()
A.1
2 B.
9
16
C.11
16 D.
7
24
答案 B
解析所求概率P＝C24·A34
44＝
9
16.
8．(2014·衡水调研卷)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0－9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，若他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是()
A.4
5 B.
3
5
C.2
5 D.
1
5
答案 C
解析只按一次就按对的概率是1
5.按两次就按对的概率是
4×1
5×4
＝
1
5，所以不
超过2次就按对的概率是1
5＋
1
5＝
2
5，选C.
9．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为()
A.3
5 B.
2
5
C.3
4 D.
2
3
答案 A
解析基本事件总数为C25＝10,2张卡片上数字之和为奇数、须1为奇1为
偶，共有C13C12＝6，∴所求概率为6
10＝
3
5，选A.
10．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点分别为x，y，则log2x y＝1的概率为()
A.1
6 B.
5
36
C.1
12 D.
1
2
答案 C
解析要使log2x y＝1，则要求2x＝y，∴出现的基本事件数为3，∴概率为3
36
＝1
12.
11．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为()
A.3
5 B.
3
10
C.1
2 D.
6
25
答案 B
解析设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，
(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为6
20＝
3
10.
12．(2011·湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为________．(结果用最简分数表示)
答案28 145
解析方法一：由题意知本题属古典概型．概率为P＝C127C13＋C23
C230＝
28
145.
方法二：本题属古典概型．概率为P＝1－C227
C230＝
28
145.
13．(2013·课标全国Ⅱ)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，
若取出的两数之和等于5的概率为1
14，则n＝________.
答案8
解析因为5＝1＋4＝2＋3，所以2
C2n＝
1
14，即n(n－1)＝56，解得n＝8或n
＝－7(舍)．
14．(2013·河南郑州)已知一组抛物线y＝1
2ax
2＋bx＋1，其中a为2,4中任取
的一个数，b为1,3,5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是________．
答案2 15
解析抛物线共有6条，任取两条共15种情况．在x＝1处的切线相互平行
的有2种情况，所以所求概率为2 15.
15．某学校为促进学生的全面发展，积极开设各种各样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人．
(1)求三个社团分别抽取了多少人；
(2)设从“剪纸”社团抽取的同学中有2名女生．现要从“剪纸”社团中选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1名女生被选中的概率．
答案(1)8、6、5(2)3 5
解析(1)设抽样比为x，则由分层抽样可知，“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为320x,240x,200x.
则由题意得320x－240x＝2，解得x＝1 40.
故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为320×1 40＝
8,240×1
40＝6,200×
1
40＝5.
(2)由(1)知，从“剪纸”社团抽取了6人，其中2位女生记为A，B,4位男生记为C，D，E，F.
则从这6位同学中任选2人，不同的结果有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．
其中含有1名女生的选法为{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，共8种；
含有2名女生的选法只有{A，B}．
故至少有1名女生被选中的概率为8＋1
15＝
3
5.
16．(2013·北京)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气质量污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
答案(1)6
13(2)
4
13(3)3月5日
解析(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12
日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是6 13.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”，所以此人在该市停
留期间只有1天空气重度污染的概率为4 13.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
17．(2013·天津)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
答案(1)0.6(2)①略②2 5
解析(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为6 10
＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝6
15＝
2
5.。