高中数学必修4余弦函数与正切函数的图象和性质(基础)知识点巩固练习

目录
余弦函数与正切函数的图象和性质 ........................................................................... 1 【学习目标】 ............................................................................................................... 1 【要点梳理】 ............................................................................................................... 1 【典型例题】 ............................................................................................................... 5 【巩固练习】 . (14)
余弦函数与正切函数的图象和性质
编稿：孙永钊 审稿：王静伟
【学习目标】
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.
2.借助图象理解余弦函数的性质.
3.借助正切线画出正切函数的图象，并通过该图象理解正切函数的性质.
【要点梳理】
要点一：余弦函数图象的画法 1．描点法：
按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法． 2．几何法
利用三角函数线作出余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到cos y x =的图象． 3．五点法
先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到余弦曲线在一个周期内的图象．
在确定余弦函数cos y x =在]2,0[π上的图象形状时，起关键作用的五个点是
3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)22
ππ
ππ-
要点诠释：
（1）熟记余弦函数图象起关键作用的五点．
（2）若x R ∈，可先作出余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到cos y x =的图象． （3）由诱导公式cos sin()2
y x x π
==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左
平移
2
π
个单位长度得到． 要点二：余弦曲线
（1）定义：余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做余弦曲线． （2）图象
要点诠释：
（1）由余弦曲线可以研究余弦函数的性质．
（2）运用数形结合的思想研究与余弦函数有关的问题． 要点三：余弦函数的性质
函数 余弦函数y=cosx
定义域 R 值域 [-1，1] 奇偶性 偶函数 周期性
最小正周期2π 单调区间（k ∈Z ）
增区间[]22k k πππ-，
减区间[]22k k πππ+， 最值点（k ∈Z ）
最大值点()21k π，
最小值点()2,1k ππ+-
要点诠释：
（1）余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。

（2）求余弦函数的单调区间时，应先将cos()y x =-变换为cos y x =再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域。

要点四：余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质。

函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数cos y x =类似地得到：
（1）定义域：R （2）值域：[],A A -
（3）单调区间：求形如cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间。

（4）奇偶性：余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性，对于函数
cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2
k k z π
ϕπ=±
∈时为奇函数。

（5）周期：函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π
ω
=。

（6）对称轴和对称中心
与正弦函数sin y x =比较可知，当()2
x k k z π
ωϕπ+=±
∈时，
函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2
x k k z π
ωϕπ+=±
∈解出，其对称中心的横坐标
()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫
∈
⎪⎝⎭。

同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2
x k k z π
ωϕπ+=±
∈解出。

要点诠释：
判断函数cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽
视“定义域关于原点对称”这一前提条件。

若x R ∉，则函数cos()y A x ωϕ=+不一定有对称轴和对称中心。

要点五：正切函数的图象 正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”
，利用正切线画函数y= tanx ，x ∈)2
,2(π
π-
的图象
步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π
-的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8
π
）.分别在单位圆中作出正切线；
③把横坐标从2π-到2
π
也分成8份
④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线．
由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2
,2(π
π-的图象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2
π
）的图象.
要点六：正切函数的性质 1．定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
2．值域：R
由正切函数的图象可知，当()2
x k k z π
π<
+∈且无限接近于
2
k π
π+时，tan x 无限增大，记作
tan x →+∞
（tan x 趋向于正无穷大）；当()2
x k k z π
π>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x
趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2
x k k z π
π=+
∈为正切函数的渐进线．
3．周期性：周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：奇函数，即()x x tan tan -=-．
5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增
要点诠释：
1．观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称
中心，正切函数图象没有对称轴
2．正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函
数．
【典型例题】
类型一：余弦函数与正切函数的图象
例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象． （1）1
1cos 3
y x =-；（2）3sin 2x y π+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
． 【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数1
1cos 3
y x =-在[0，2π]上的图象，然后作出它关于y 轴对称的图象即可．（2）由于3sin |cos |2x y x π+⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，因此只需作出函数y=|cos x|，x ∈[－2π，2π]的图
象即可．
【解析】（1）描点、作图
x
2
π π
32
π 2π
1
1cos 3
y x =-
23
1
43
1
23
其图象如下图所示．
（2）函数y=|cos x|，x ∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x ，x ∈[－2π，2π]的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．
【总结升华】 作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了．
举一反三：
【变式】用五点法作出函数cos 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，11,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
的图象． 【思路点拨】取11,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上五个关键的点． 【解析】 找出五点，列表如下：
6
u x π
=+
2π π
32π 2π
x
6
π-
3
π 56
π 43
π 116
π
y=cos u 1
－1
1
描点作图（如下图）．
【总结升华】在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的． 例2．作函数1
sin tan y x x
=
⋅的图象． 【思路点拨】函数cot sin y x x =的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}，因此作出函数cos y x =的图象后，要把x=k π（k ∈Z ）对应的点去掉．
【解析】当sin 0x ≠，即x ≠k π（k ∈Z ）时，有1
sin cos tan y x x x
=⋅=，即cos y x =（x ≠k π，k ∈Z ）．其图象如下图．
【总结升华】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数()f x -的图象与()f x 的图象关于y 轴对称，()f x -与()f x 的图象关于x 轴对称，()f x --和图象与()f x 的图象关于原点对称，
(||)f x 的图象关于y 轴对称．
举一反三：
【变式】利用图象变换作出下列函数的简图：1cos y x =-．
【解析】先作出cos y x =的图象，然后利用对称作出cos y x =-的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图．
类型二：余弦函数与正切函数的定义域与值域 例3．求下列函数的定义域； （1）22sin cos 1y x x =+-（2）1
lg(tan )
y x =
；
【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0，正切函数、余切函数自身有意义等．
【解析】（1）为使函数有意义，需满足2sin 2x+cos x －1≥0，即2cos 2x ―cos x ―1≤0，解得
1
cos 12
x -≤≤。

画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。

∴定义域为2222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-
≤≤+∈⎨⎬⎩
⎭。

（2）要使1
lg(tan )
y x =
有意义，必须满足
()2
tan 0tan 1x k k Z x x π
π⎧≠+∈⎪⎪>⎨⎪≠⎪⎩，即()2()2()4x k k Z k x k k Z x k k Z πππππππ⎧
≠+∈⎪⎪⎪
<<+∈⎨
⎪
⎪
≠+∈⎪⎩
， ∴函数1lg(tan )y x =
的定义域为,,442x k k k k πππππππ⎛⎫⎛⎫
∈+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（k ∈Z ）．
【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
举一反三：
【变式1】求函数)sin(cos lg x y =的定义域.
【解析】由πππ+<<⇒>k x k x 2cos 20)sin(cos (k ∈Z ). 又∵-1≤cosx ≤1，∴0＜cosx ≤1. 故所求定义域为222
2k k π
πππ⎛
⎫
-
+
⎪⎝
⎭
，.
【变式2】已知)(x f 的定义域为［0，1)，求)(cos x f 的定义域.
【思路点拨】求函数的定义域：要使0≤cosx ＜1，这里的cosx 以它的值充当角. 【解析】0≤cosx ＜1222
2
k x k π
π
ππ⇒-≤≤+
，且()2x k k Z π≠∈.
∴所求函数的定义域为[22)(22]22
k k k k k Z π
π
ππππ-
+∈，，，.
【变式3】求tan 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的定义域、周期、单调区间． 【答案】5,212k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩
⎭ 2π 5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭
【解析】由5
2()()3
2212
k x k k Z x k Z π
π
πππ-
≠+
∈⇒≠+∈， 所以定义域是5,212k x x k Z ππ⎧
⎫
≠+∈⎨⎬⎩
⎭
，周期2T π=． 由2()2
32
k x k k Z π
π
π
ππ-
<-
<
+∈，
得5()212122
k k x k Z ππππ-<<+∈．
所以函数在5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫
-+∈
⎪⎝⎭
上递增． 例4．求函数cos 2
cos 1
x y x -=
-的值域：
【解析】∵cos 2cos 111
1cos 1cos 11cos x x y x x x
---===+
---， 当cos x=－1时，min 13
122
y =+=，
∴函数的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质。

类型三：余弦函数与正切函数的单调性 例5．求下列函数的单调递增区间： （1）cos 3y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭；（2）12
log cos y x =。

【思路点拨】（1）要将原函数化为cos 3y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
再求.（2）这个函数是复合函数，复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。

【解析】（1）cos()cos()33
y x x π
π
=-=-.
故由2k π-π≤3
x π
-≤2k π.
⇒2k π-
23π≤x ≤2k π+3
π
(k ∈Z )，为单调增区间；
∴递增区间为［2k π-23π，2k π+3π
］(k ∈Z). （2）由cosx ＞0，得2k π-2π＜x ＜2k π+2
π
（k ∈Z ）。

∵
1
12<，∴函数12
log cos y x =的递增区间即为u=cos x 的递减区间， ∴222
k x k π
ππ≤<+
（k ∈Z ）。

故函数12
log cos y x =的递增区间为2,22k k πππ⎡
⎫
+
⎪⎢⎣
⎭
（k ∈Z ）。

【总结升华】（1）求函数cos()y A x ωϕ=+(0,0A ω>>)的单调区间时，应由22k x k ππωϕπ-≤+≤（k ∈Z ）或22k x k πωϕππ≤+≤+（k ∈Z ），求得x 的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元法的应用。

（2）求单调区间应在定义域内求解。

举一反三： 【变式】三个数3cos
2，1
sin 10
，7cos 4-的大小关系是（ ） A ．317cos sin cos 2104>>- B ．371
cos cos sin 2410>->
C ．317cos sin cos 2104<<-
D ．731
cos cos sin 4210
-<<
【答案】C
例6．比较13tan 4π与17tan 5π
的大小． 【解析】∵13tan tan 44ππ=，172tan tan
55
ππ
=， 又∵204
52π
ππ<
<
<，y=tan x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭内单调递增， ∴2tan
tan
4
5π
π<，即1317tan tan 45
ππ
<； 【总结升华】比较三角函数值大小时，①异名函数化为同名函数，②利用诱导公式化为同一单调区间，③利用函数的单调性比较大小． 举一反三：
【变式】求函数1
tan 2
4y x π⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭的单调区间．
【解析】11
tan tan 242
4y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
由1()2242k x k k Z π
ππ
ππ-
<
-<+∈． 得3
2222
k x k ππππ-<<+，k ∈Z ．
∴函数1tan 24y x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为32,222k k ππππ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭，k ∈Z ．
【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例3】 【变式2】求函数|tan(2-
)|3
y x =π
的单调增区间.
【答案】5,26212k k ππππ⎛⎫
++
⎪⎝⎭
类型四：余弦函数和正切函数的对称性、周期性 例7．指出下列函数的对称轴与对称中心 （1）sin()4y x =+
π
；
（2）cos(2)3
y x =-π
. 【解析】（1）令4
t x π
=+
，则3sin 3sin 4y x t π⎛
⎫
=+
= ⎪⎝
⎭的对称轴方程是2
t k π
π=+（k ∈Z ）
，即4
2
x k π
π
π+
=+
（k ∈Z ），解得4
x k π
π=+
（k ∈Z ）。

∴函数sin 4y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的对称轴方程是4
x k π
π=+
（k ∈Z ）。

同理，对称中心的横坐标为4
x k π
π+
=，4
x k π
π∴=-
，即对称中心为,04k π
π⎛
⎫-
⎪⎝
⎭。

（2）令23
t x π
=-
，则3sin 23sin 3y x t π⎛⎫
=-
= ⎪⎝
⎭的对称轴方程是t k π=（k ∈Z ）
，即23
x k π
π-=（k ∈Z ），解得26k x ππ
=
+（k ∈Z ）。

∴函数sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的对称轴方程是26
k x ππ
=
+（k ∈Z ）。

同理，对称中心的横坐标为23
2
x k π
π
π-=+
，5212k x ππ∴=
+
，即对称中心为5,0212k ππ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
（k ∈Z ）。

举一反三：
【变式1】若()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6
x π
=对称，则a=________。

【变式2】已知函数()sin cos f x a x b x =-（a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R ）的图象关于直线4
x π
=对称，
则函数34y f x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B ．偶函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．奇函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称 【答案】 D
【解析】由题意知()f x 的图象关于4
x π
=
对称，∴(0)2f f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭。

∴a=－b ，()sin 4f x x π⎛
⎫=
⋅+ ⎪⎝
⎭。

∴3sin()sin 4f x x x ππ⎛⎫
-=-=
⎪⎝⎭。

∴34f x π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
为奇函数且其图象关于（π，0）对称，故选D 。

例8．求函数cos 26y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的周期。

【思路点拨】应借助函数cos 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的周期及函数图象得到周期。

【答案】
2
π 【解析】∵函数cos 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的周期为π，而函数cos 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象是将函数cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方，并且保留在x 轴上方图象而得到的，由此可
知所求函数的周期为2
T π
=。

【总结升华】求函数周期的方法大致有三种：（1）cos()y A x ωϕ=+（A ＞0，ω≠0，x ∈R ）的周
期皆用公式：2||
T π
ω=
求解；（2）含绝对值符号的三角函数的周期可依据其图象得到，如函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2T π=，而函数2cos 213y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭的周期为π，与函数
2cos 213y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
的周期相同；（3）利用周期函数的定义求函数周期。

类型五：余弦函数与正切函数图象的综合应用 例9．求y=lg(sinx-cosx)的定义域；
【思路点拨】本小题实际就是求使sinx>cosx 的x 的集合，可用图象或三角函数线解决； 【解析】要使函数有意义，必须使sinx-cosx>0
方法一：利用图象。

在同一坐标系中画出[0，2π]上y=sinx 和y=cosx 的图象，如图所示：
在[0，2π]内，满足sinx=cosx 的x 为
4
π，54π
，再结合正弦、余弦函数的周期
是2π，所以定义域为5{|22,}44
x k x k k Z ππ
ππ+<<+∈
方法二：利用三角函数线，如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sinx>cosx,即
MN>OM ，则
5()44
x π
π
π<<
在[0,2]内。

∴定义域为5{|22,}44
x k x k k Z ππ
ππ+<<+∈
方法三：sinx-cosx=2sin(x-4π)>0,将x-4
π
视为一个整体，由正弦函数y=sinx
的图象和性质可知2k π< x-4π<π+2k π,解得2k π+4
π
<x<54π+2k π,k ∈Z.
∴定义域为5{|22,}44
x k x k k Z ππ
ππ+<<+∈
举一反三：
【变式】已知函数)(x f =x
x x 2cos 1
cos 5cos 624+-，求)(x f 的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.
【解析】由cos2x ≠0得2x ≠k π+
2
π，解得x ≠2
4
k π
π+
，k ∈Z ，
所以)(x f 的定义域为{x|x ∈R 且x ≠4
2π
π+k ，k ∈Z }， 因为)(x f 的定义域关于原点对称，
且)(x f -=x
x x x x x 2cos 1
cos 5cos 6)2cos(1)(cos 5)(cos 62424+-=
-+---=)(x f . 所以)(x f 是偶函数.
又当x ≠
4
2π
π+k (k ∈Z )时， )(x f =
1cos 32cos )
1cos 3)(1cos 2(2cos 1cos 5cos 622224-=--=+-x x
x x x x x . 所以)(x f 的值域为{y|-1≤y<
21或2
1
<y ≤2}. 【巩固练习】
1．若tan 0x ≤,则（ ）. A ．22,2
k x k k Z π
ππ-<<∈ B ．2(21),2
k x k k Z π
ππ+
≤<+∈
C ．,2
k x k k Z π
ππ-
<≤∈ D ．,2
k x k k Z π
ππ-
≤≤∈
2.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是( )
A.0
B.
4π C.2π
D.π 3．直线y=3与函数y=tan ωx （ω＞0）的图象相交，则相邻两交点的距离是（ ）
A ．π
B ．2π
ω
C ．
π
ω
D ．2πω
4．函数2sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫
=--+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（x ∈R ）的最小值等于（ ）
A ．―3
B ．―2
C ．―1
D ．
5.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为( )
A.)45,()2,4(
πππ
π B.),4(ππ C.)45,4(ππ D.)2
3,45(),4(ππππ 6．若函数y=2cos x （0≤x ≤2π）的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为（ ）
A ．4
B ．8
C ．2π
D ．4π
7．函数ln cos 2
2y x x π
π⎛⎫=-
<< ⎪⎝⎭的图象是下图中的（ ）
8.函数y =2tan （3x －4π
）的一个对称中心是( ) A.（
3π
，0）
B.（
6
π
，0） C.（－
4
π
，0） D.（－
2
π
，0） 9．函数tan 4y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的单调区间为（ ） A ．,2
2k k π
πππ⎛⎫
-
+
⎪⎝
⎭
，k ∈Z B ．3,44k k ππππ⎛⎫
-
+ ⎪⎝
⎭
，k ∈Z C ．,2k k πππ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
，k ∈Z D ．,4
4k k π
πππ⎡⎫
-
+
⎪⎢⎣
⎭
，k ∈Z 10．当x 在区间[0，2π]内时，使不等式3
tan 3
x <成立的x 的集合是________． 11．函数2
2
()tan 2tan 2
f x x x =
++的最大值为________． 12．关于x 的函数()tan()f x x ϕ=+有以下说法：
（1）对任意的ϕ，()f x 既不是奇函数也不是偶函数； （2）不存在ϕ，使()f x 既是奇函数，又是偶函数； （3）存在ϕ，使()f x 是奇函数； （4）对任意的ϕ，()f x 都不是偶函数．
其中不正确的说法的序号是________，因为当ϕ=________，该说法不成立． 13．若f （x ）具有性质：①()f x 为偶函数；②对于任意x ∈R ，都有44f x f x ππ⎛⎫
⎛⎫-
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
；③24F π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．则()f x 的解析式可以是________（写出一个即可）．
14．已知函数()2cos(
)32
x
f x π
=-
(1)求)(x f 的单调递增区间；(2)若,x ππ⎡⎤⎣⎦∈-，求f(x)的最大值和最小值. 15．12cos 23y x π⎛⎫=-+
⎪⎝⎭，28,5x a π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．
16．已知()sin tan 1f x a x b x =++，满足75f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求995f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值． 【答案与解析】 1．【答案】C
【解析】由图象可知C 正确．
2.【答案】C
【解析】x y 2cos =为偶函数，使用诱导公式. 3．【答案】C
【解析】直线y=3与y=tan ωx 图象的相邻交点的距离为y=tan ωx 的最小正周期，∵d T π
ω
==，故选C ． 4．【答案】C 【解析】 2sin cos 2sin sin 36326
y x x x x πππππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=---+
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
∵x ∈R ，∴y min =－1． 5.【答案】C
【解析】在同一坐标系中分别作出函数12sin ,cos ,(0,2)y x y x x π==∈的图象，观察：刚刚开始即
(0,)4x π∈时，cos sin x x >；到了中间即5(,)44x ππ∈时，x x cos sin >；最后阶段即5(,2)4x π
π∈时，
cos sin x x >.
6．【答案】D
【解析】 由右图可知，图S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1=S 2，S 3=S 4，因此函数y=2cos x 的图象与直线y=2所围成的图形面积可以等积地转化为求矩形OABC 的面积．
∵|OA|=2，|OC|=2π，∴S 矩形=2×2π=4π，故选D ． 7．【答案】A 【解析】当,02x π⎛⎫∈-
⎪⎝⎭时，cos x 递增，ln cos y x =也递增；当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，cos x 递减，ln cos y x =也递减，又ln cos y x =为偶函数．
8．【答案】C
【解析】因为正切型函数的对称中心为,02k π⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以342k x ππ-=，解得：612k x ππ=+，当2k =-时，
对称中心为,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
． 9．【答案】D
【解析】先作出tan 4y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，再将x 轴下方的图象对称对x 轴上方，即可得到tan 4y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，
如图．由图可知，tan 4y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的单调递增区间是,4
4k k π
πππ⎡⎫
-
+
⎪⎢⎣
⎭
，k ∈Z ；单调递减区间是,4
4k k π
πππ⎛⎤
+
+
⎥⎝
⎦
，k ∈Z ．对比选项可得D 符合要求． 10．【答案】730,
,,26262πππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤
⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦
【解析】 在同一坐标系中作出y=tan x 和3
3
y =的图象，求其交点横坐标，并观察图象便得． 11．【答案】2 【解析】∵22
()(tan 1)1
f x x =
++，∴当tan x=－1时，()f x 有最大值2．
12．【答案】（1）π（或k π，k ∈Z ）
【解析】对于（1），显然当k ϕπ=，k ∈Z 时，()tan()tan()tan f x x x k x ϕπ=+=+=，此时函数为奇函数，故（1）错；（3）正确．
（2）也正确，因为定义在R 上的函数如果既是奇函数，又是偶函数，那么这个函数恒为零，显然对于任意的ϕ，()f x 都不可能恒为零，从而不存在ϕ，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；
（4）是正确的，不存在这样的ϕ，使()f x 是偶函数．
因此本题不正确的说法的序号是（1），因为当ϕπ=（或k π，k ∈Z ）时，该说法不成立． 13．【答案】()2cos 4f x x =
【解析】根据性质①②可知，()f x 关于直线x=0和4
x π
=
都对称，而余弦函数中相邻的两对轴之间的距
离为半个周期，于是可令周期为
2
π
，令24f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
是函数的最小值，于是可以写出满足条件的一个解析式为()2cos 4f x x =，当然答案不止一个．
14．【解析】(1)单增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-,324,344ππππ
(2)()()2,3max min =-=x f x f . 15．【解析】由12223k x k ππππ≤
+≤+，得24
4433
k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ）
． ∴函数的单调递增区间是244,433k k ππππ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦（k ∈Z ）． 同理函数的单调减区间是4104,433k k ππππ⎡
⎤
+
+⎢⎥⎣
⎦
（k ∈Z ）． 令
28244,4533k k πππππ⎡
⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，即16471530k ≤≤，又k ∈Z ，∴k 不存在． 令
284104,4533k k πππππ⎡
⎤∈++⎢⎥⎣⎦，得k=1． ∴
284104,4533k k πππππ⎡
⎤∈++⎢⎥⎣
⎦， 这表明1
2cos 2
3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在2822,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，
∴a 的最大值为
22
3
π． 16．【解析】∵()sin tan 1f x a x b x =++，∴()sin tan 1f x a x b x -=--+．
∴()()2f x f x +-=，∴255f f ππ⎛⎫
⎛⎫
+-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴2555f f ππ⎛⎫
⎛⎫
-
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴9920sin 20tan 2015555f f a b πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=-+-+
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
sin tan 15555a b f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．。