2019大学自动控制原理2.4典型环节传递函数
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3、环节的传递函数也不是固定不变的， 这取决于选取的输入及输出量是什么。 当输入、输出量不同时，传递函数不同。
相似原理
R
k
ui i
C
uo
c
xi (t) xo (t)
对于上述两图知是电系统与机械系统两种装置。
xo (t) xi (t ) τ为延迟时间 G(s) L[x0(t)] L[xi (t )]
L[xi (t)] L[xi (t)]
Xi (s)es es Xi (s)
强调：
1、一个元件和一个环节不是等价的。 一个元件可能划分为几个环节，也可能几 个元件构成一个环节。
2、不要把表示系统结构情况的物理框图 与分析系统的传递函数的框图混淆。
c
1 s 1
k
1 (设 c 1) Ts 1 k
§2.4.3 微分环节
微分环节具有输出正比于输入的微分
即 xo (t) Txi (t)
G(s) Xo (s) Xi (s) Ts
T为微分环节的时间常数
1、理想的微分环节 G(s) Ts 2、实际的微分环节 G(s) Ts
Ts 1
3、微分环节对系统的控制作用
G(s) K Ts 1
K为惯性环节的增益或放大系数；T为时间常数
理想的一阶惯性环节 G(s) 1 Ts 1
例1. 无源滤波电路
ui u
o
C为电容 R为电阻
解：
ui
(t
)
i(t
)
R
1 C
i(t
)dt
1
uo (t) C i(t)dt
LT得：
Ui
(t
)
I
(s)R
1 Cs
I
(s)
U
o
(t)
1 Cs
当|Ts|<<1时，G(s)=Ts， 才近似为理想的微分环节。
（1）预见输入（使输入提前）
比例环节 R(s)
r(t) t
1
X o (s)
xo (t)
1
o 45
t
比例+微分
R(s)
r(t) t
1 Ts
Xo (s)
xo (t)
21
o
t
t1 t 2
(2)增加阻尼
KP
K s(Ts 1)
G（1 s）
Ts
2
KPK s KP
K
KP (Td s 1)
K s(Ts 1)
G（2 s）
Ts
2
KP K（Td s 1） （1 K KT ）s K
K
p
d
P
(3)强化噪声
§2.4.4 积分环节
积分环节是输出正比于输入对时间的积分 的环节。
即：
x（o t）
1 T
x（i t）dt
拉氏变换得 :
X（o s）
1 Ts
X（i s）G(s)
1 Ts
T为积分环节的时间常数
例题：
当 A盘作恒速转动，并靠摩擦力带动
B盘以角速度ω转动时，因 B盘和I 轴
间以滑动键联接，故B盘滑动就会改变 偏心量e；当时e=0，A盘转动而 B盘不 转；e增大， B盘角速度ω正比的增大， 设K为比例常数，B盘转角为θ(t)。 输入— e 输出—θ(t)
I
(s)
G(s) U1(s) 1 1 (设RC T ) U0(s) RCs 1 Ts 1
例2、弹簧阻尼系统
xi (t) x (t) —
k
i
xo (t) — 输出位移
xo(t) k —
c
c — 粘性阻尼系数
解：k[xi
(t)
xo
(t)]
c
dxo (t) dt
LT得：G(s)
X o (s) Xi (s)
解：
di(t)
1
ui (t) L dt i(t)R C i(t)dt
1
uo (t) C i(t)dt
LT，得：U U
i (s)LsI (
I
(s)
R
1 cs
I
(
s)
G(s) Uo (s)
1
Ui (s) LCs 2 RCs 1
n 1 LC
R C
2L
§2.4.6 延时环节（迟延环节）
解： (t) Ke(t)
(t) K e(t)dt
G(s) (s) E(s) K s
设
T
1 K
则 G(s) 1 Ts
§2.4.5 振荡环节（二阶振荡环节）
T 2x (t) 2Tx (t) x (t) x (t)
o
o
o
i
G(s)
1
T s2 2 2Ts 1
—阻尼比(0 1)
T — 振荡环节的时间常数
n —
n
1
T
n代入G(s)得
G(s)
s2
n2 2ns
n2
注意：
1）0≤ξ＜1时，二阶系统为振荡环节。 2) ξ≥1时，二阶环节不是振荡环节，
而是两个一阶惯性环节的组合。 所以二阶环节不一定是振荡环节。
例：无源R-C-L网络
L
R
ui
i
C
uo
ui (t) — 输入电压 L —电感 R —电阻 uo (t) — 输出电压 i(t) —电流 C —电容
例1、 电压下图为一直流发电机原理
图。激磁电压ui恒定，磁通不变。此时 电枢u0与转速 成正比(θ为转子转 角)，即输入量为θ，输出量为u0。
解：因为磁通不变，既ui恒定
uo T d dt （T为常数）
G(s)
U o(s)
i (s)
Ts
直流发电机作为测速发电机时
可以认为是一个微分环节
例： 液压阻尼器的原理图，图中A为活 塞右边面积；k为弹簧刚度；R为节流 阀液阻；p1 、p2分别为油缸左、右腔 单位面积上的压力。
§2.4.1 比例环节
凡输出量与输入量成正比，输出不失真 也不延迟，而按比例地反映输入的环节， 称为比例环节。
动力学方程为： xo (t) Kxi (t)
G(s) Xo (s) Xi (s) K
§2.4.2 惯性环节：（一阶惯性环节）
动力学方程为 ： Txo (t) xo (t) Kxi (t)
xi—活塞位移 x0—油缸位移
油缸的力平衡方程式：
A( p2 p1) kxo
通过节流阀的流量：
q
A( x i
xo )
p2 R
p1
得：
( xi
xo )
k A2R
xo
G(s)
X（s） X（oi s）
s
s
k
A2 R
令T A2R k
G(s) Ts Ts 1
此系统为包含有惯性环节及微分环节的系统。
相似原理
R
k
ui i
C
uo
c
xi (t) xo (t)
对于上述两图知是电系统与机械系统两种装置。
xo (t) xi (t ) τ为延迟时间 G(s) L[x0(t)] L[xi (t )]
L[xi (t)] L[xi (t)]
Xi (s)es es Xi (s)
强调：
1、一个元件和一个环节不是等价的。 一个元件可能划分为几个环节，也可能几 个元件构成一个环节。
2、不要把表示系统结构情况的物理框图 与分析系统的传递函数的框图混淆。
c
1 s 1
k
1 (设 c 1) Ts 1 k
§2.4.3 微分环节
微分环节具有输出正比于输入的微分
即 xo (t) Txi (t)
G(s) Xo (s) Xi (s) Ts
T为微分环节的时间常数
1、理想的微分环节 G(s) Ts 2、实际的微分环节 G(s) Ts
Ts 1
3、微分环节对系统的控制作用
G(s) K Ts 1
K为惯性环节的增益或放大系数；T为时间常数
理想的一阶惯性环节 G(s) 1 Ts 1
例1. 无源滤波电路
ui u
o
C为电容 R为电阻
解：
ui
(t
)
i(t
)
R
1 C
i(t
)dt
1
uo (t) C i(t)dt
LT得：
Ui
(t
)
I
(s)R
1 Cs
I
(s)
U
o
(t)
1 Cs
当|Ts|<<1时，G(s)=Ts， 才近似为理想的微分环节。
（1）预见输入（使输入提前）
比例环节 R(s)
r(t) t
1
X o (s)
xo (t)
1
o 45
t
比例+微分
R(s)
r(t) t
1 Ts
Xo (s)
xo (t)
21
o
t
t1 t 2
(2)增加阻尼
KP
K s(Ts 1)
G（1 s）
Ts
2
KPK s KP
K
KP (Td s 1)
K s(Ts 1)
G（2 s）
Ts
2
KP K（Td s 1） （1 K KT ）s K
K
p
d
P
(3)强化噪声
§2.4.4 积分环节
积分环节是输出正比于输入对时间的积分 的环节。
即：
x（o t）
1 T
x（i t）dt
拉氏变换得 :
X（o s）
1 Ts
X（i s）G(s)
1 Ts
T为积分环节的时间常数
例题：
当 A盘作恒速转动，并靠摩擦力带动
B盘以角速度ω转动时，因 B盘和I 轴
间以滑动键联接，故B盘滑动就会改变 偏心量e；当时e=0，A盘转动而 B盘不 转；e增大， B盘角速度ω正比的增大， 设K为比例常数，B盘转角为θ(t)。 输入— e 输出—θ(t)
I
(s)
G(s) U1(s) 1 1 (设RC T ) U0(s) RCs 1 Ts 1
例2、弹簧阻尼系统
xi (t) x (t) —
k
i
xo (t) — 输出位移
xo(t) k —
c
c — 粘性阻尼系数
解：k[xi
(t)
xo
(t)]
c
dxo (t) dt
LT得：G(s)
X o (s) Xi (s)
解：
di(t)
1
ui (t) L dt i(t)R C i(t)dt
1
uo (t) C i(t)dt
LT，得：U U
i (s)LsI (
I
(s)
R
1 cs
I
(
s)
G(s) Uo (s)
1
Ui (s) LCs 2 RCs 1
n 1 LC
R C
2L
§2.4.6 延时环节（迟延环节）
解： (t) Ke(t)
(t) K e(t)dt
G(s) (s) E(s) K s
设
T
1 K
则 G(s) 1 Ts
§2.4.5 振荡环节（二阶振荡环节）
T 2x (t) 2Tx (t) x (t) x (t)
o
o
o
i
G(s)
1
T s2 2 2Ts 1
—阻尼比(0 1)
T — 振荡环节的时间常数
n —
n
1
T
n代入G(s)得
G(s)
s2
n2 2ns
n2
注意：
1）0≤ξ＜1时，二阶系统为振荡环节。 2) ξ≥1时，二阶环节不是振荡环节，
而是两个一阶惯性环节的组合。 所以二阶环节不一定是振荡环节。
例：无源R-C-L网络
L
R
ui
i
C
uo
ui (t) — 输入电压 L —电感 R —电阻 uo (t) — 输出电压 i(t) —电流 C —电容
例1、 电压下图为一直流发电机原理
图。激磁电压ui恒定，磁通不变。此时 电枢u0与转速 成正比(θ为转子转 角)，即输入量为θ，输出量为u0。
解：因为磁通不变，既ui恒定
uo T d dt （T为常数）
G(s)
U o(s)
i (s)
Ts
直流发电机作为测速发电机时
可以认为是一个微分环节
例： 液压阻尼器的原理图，图中A为活 塞右边面积；k为弹簧刚度；R为节流 阀液阻；p1 、p2分别为油缸左、右腔 单位面积上的压力。
§2.4.1 比例环节
凡输出量与输入量成正比，输出不失真 也不延迟，而按比例地反映输入的环节， 称为比例环节。
动力学方程为： xo (t) Kxi (t)
G(s) Xo (s) Xi (s) K
§2.4.2 惯性环节：（一阶惯性环节）
动力学方程为 ： Txo (t) xo (t) Kxi (t)
xi—活塞位移 x0—油缸位移
油缸的力平衡方程式：
A( p2 p1) kxo
通过节流阀的流量：
q
A( x i
xo )
p2 R
p1
得：
( xi
xo )
k A2R
xo
G(s)
X（s） X（oi s）
s
s
k
A2 R
令T A2R k
G(s) Ts Ts 1
此系统为包含有惯性环节及微分环节的系统。