八年级下册第二十三章

八年级下册第二十三章
分式方程 教学设计
隆化第二中学 刘丽娟
教学设计思路：
以学生熟悉的实际情景“百米赛跑”为背景，引导学生发现实际问题中的等量关系，列出分式方程，通过把分式方程转化为整式方程来解分式方程，在解分式方程的过程中要引导学生进行分析，使他们了解分式方程产生增根的原因，体会到解分式方程时必须进行检验。

教学目标：
①知识与技能了解分式方程、分式方程的解和增根的概念；会解分式方程（方程中的分式不超过两个），会检验根的合理性；
②过程与方法:运用类比的思想，体会分式方程与整式方程的联系；通过自主探索和合作交流，尝试解决问题，经历和检验数学发展的过程。

③情感态度价值观:积极参与数学学习活动，体验探索与创造；经历从实际问题中建立分式方程的过程，体会分式方程的模型思想，进一步发展符号感。

教学重点和难点：
重点是分式方程的解法；难点是对增根的理解。

教学方法：启发引导、小组讨论、合作探究
课时安排：1课时
教具及相关资料：多媒体课件（演示文稿）
教学过程：
（一）情境导入
师：首先感谢同学们对老师工作得理解和支持，希望我们能够度过愉快的45分钟！我们先来看一段视频（幻灯片2）……看到这紧张激烈的场面，使我们激情燃烧，热血沸腾，恨不得马上冲出教室，到操场上狂奔几圈，你们说是不是？（可惜现在不行）有位同学触景生情，在观看完百米赛后，出了这样一个问题（幻灯片3），让我们一起来探究一下。

请同学们仔细审题，先独立完成下面的两个探究问题，完成后临近的两个同学为一小组讨论交流。

好，开始！
生：先独立探究，后小组辨析交流
生：根据题意，我认为这个问题的等量关系是：小明跑100米用的时间 =小亮跑(100－5)米用的时间，如果设小明百米跑的平均速度为x 米/秒，那么，小亮百米跑的平均速度就是(x-0.35)米/秒，可得到方程35
.095100-=x x
生：这个问题的等量关系也可以是：小明百米跑的平均速度=小亮百米跑的平均速度＋0.35，如果设小明跑100米所用的时间为ｘ秒，那么小亮跑95米所用的时间也是ｘ秒，可得到方程35.095100+=x
x 师：对学生的探究的结果结合幻灯片4、5进行评价，这样我们就得到2个方程（幻灯片6）请同学们仔细观察这两个方程，看看它们和我们以前学过的方程有什么不同，它有什么特点？
生：这两个方程比较特殊，和我们以前所学过的整式方程不同，整式方程中的分母见不到未知数的影子，未知数跑到分母中了。

师： 像10095x x 0.35=-、100950.35x x =+这样，分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。

好了，学以致用，学有所长，下面请同学们来做个判断分析（幻灯片7）
生：辨析，④⑤是分式方程。

（二）探究分式方程的解法：
师：对于上面我们探究的百米赛跑问题，要想知道小明百米跑的平均速度，只列出方程还是不够的，还需要进一步求出这个方程的解，这就涉及到“如何来解分式方程”。

下面我们就来探究它的解法。

在探究解法之前我们先来看一个我们熟悉的方程2342
1=+-+x x （幻灯片8），这个方程我们很熟悉吧，它是什么方程？解此方程的一般步骤是什么？
生：一元一次方程，一般步骤是：去分母—去括号—移项—合并同类项—系数化为1
师：解一元一次方程的思路和解法能不能给我们带来启示呢？我们返回来继续探究分式方程的解法，请同学们从我们刚才得到的两个方程中任意选择一个来探究它的解法，我相信同学们一定会做得很好！（幻灯片9）
生：在练习本上探究解法。

师：巡视指导，然后找生到前边用实物投影展示做法并加以讲解。

设疑：x=7肯定是整式方程的解，是不是也是原分式方程的解？（要解开这个疑团，最简单也是最有效的方法代入检验，把x=7代入到原方程的两边，确实能使原方程成立，所以对这道题而言，变形后的整式方程的根与原分式方程的根是完全一样的。

）
师：同学们表现都很好，很有探究能力。

接下来请同学们再用上边同样的方法试解下面这个分式方程 生：继续试解方程
生：展示做法并加以讲解。

师生共析：事实上，将方程左右两边都乘x －1，得x ＋1＝(3+x)＋(x-1)。

解这个整式方程，得x=1。

当x ＝1时，原分式方程的分母为0，分式无意义。

所以x=1只是转化后整式方程的根而不是原分式方程的1
1311+=---+x x x x
根，应舍去，这时，分式方程无解。

这说明，在方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，这种根叫做分式方程的增根。

师：为什么会产生增根现象呢？ 分析：回顾前面两题的做法，分两步。

在第二步解整式方程所做的一些变化不会产生增根，我们还是要从第一步找出处，第一步的变化两边要乘以一个最简的公分母。

根据等式的性质，等式的两边乘以（或除以）一个不等于0的数，所得的结果仍是等式。

而解分式方程时，由于去分母是将方程左右两边同乘以最简公分母，但此时还无法知道所乘的公分母的值是不是0，于是，未知数的取值范围就扩大了。

如果去分母后所得到的整式方程的根使所乘的公分母的值为0，就产生增根。

增根是整式方程的根，但不是分式方程的根。

接下来再看一小段视频帮助同学们理解一下（幻灯片
10）。

生：通过教师分析、观看视频明白了分式方程产生增根主要是去分母造成的。

师：我们知道了解分式方程时可能会产生增根，这就需要我们对求出的根进行“检验”，这是解分式方程必不可少的一步。

师：那么分式方程怎样进行检验呢？请同学们来看一段视频——分式方程怎样进行检验（幻灯片11） 生：检验的方法是把从整式方程中解得的值带入最简公分母，看它是不是为0，使最简公分母为0的未知数的值就是增根，应舍去。

师：接下来请同学们对下面一题进行辨析交流（幻灯片12）
生：查找错误原因并交流看法，达成共识：没检验。

师：展示正确解法。

师：前面我们探究了分式方程的解法，那么怎样做才是解分式方程规范完整的步骤呢?下面我们来共同看一道例题：
（三）例题解析(演示文稿13)
师生：合作完成例题
师：同学们根据例题的步骤，归纳总结解分式方程的一般步骤。

生：解分式方程分三大步骤：(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去。

（一化二解三检验）
（四）巩固练习
师：请同学们做下面练习（幻灯片14）
生：认真练习，出代表用投影展示解题步骤
师：给与评价鼓励
22x 3x 22x --=++
师：同学们，拥抱08，展望09，明年你们就要参加中考，让我们先睹为快，（幻灯片15），快速解题，做出判断（不用写详细解题步骤）。

生：快速解题，做出正确选择。

（五）课堂小结
［师］今天老师第一次给同学们上课，同学们表现的都很活跃，老师很高兴，，很欣慰，但此时老师很想听听你们的心声，这节课你有什么收获？哪位同学勇敢地告诉老师？（鼓励学生积极回答）［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可．
［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．
［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程．
［生］……
［师］结合主页中的“课堂小结”（幻灯片16）简要小结。

齐声朗读我国著名的数学家华罗庚的名言：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，无处不用数学。

”（幻灯片17）学好数学让我们共同努力！（幻灯片18）下课！。