第1章固体中电子能量结构和状态1
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第1章固体中电子能量结构和状态1
金属电子状态认识的三个阶段
➢量子自由电子学说（即金属的费密-索末菲电子理论）。将 量子力学的理论引入对金属电子状态的认识。
该理论同意经典自由电子学说，认为价电子是完全自由的， 但量子自由电子学说认为自由电子的状态不服从麦克斯韦— 玻尔兹曼统计规律而是服从费密—狄拉克(Fermi-Dirac)的量 子统计规律。故该理论利用薛定谔方程求解自由电子的运动 波函数，计算自由电子的能量。
对于多个粒子的系统薛定谔方程过于复杂，甚至 不能够求解，我们一般讨论的是氢原子、类氢离 子、周期势场中电子的运动所满足的规律。
第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.3 薛定谔方程
1. 一维自由粒子Schrodinger方程
对 x 求二阶偏导
x22 4h22P2
①
对 t 求一阶偏导 i2E
②
t h
金属键：如Na，电导率高，延性好。
次价力
氢键：H2O
分子键:
（分子间作用力， 即范德华力）
静电力 诱导力 色散力
有机物、高 分子
ห้องสมุดไป่ตู้
结合能：离子键＞第1章共固体价中电键子能＞量结金构和属状态键1 ＞氢键＞分子键
§1.1电子的粒子性和波动性
光的本性：
光同时具有波、粒二象性，
波动性：
p h
波动性：表现在传播过程中 （干涉、衍射） 粒子性：表现在与物质相互作用中
3.波函数的统计意义
物质波表示粒子出现的概率。
1926 年Bron提出波函数的
物理意义：
第1章固体中电子能量结构和状态1
玻恩（坐者）
1.1.2 波函数、概率密度
实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模
（振幅）的平方 |0|2 与该点邻近体积元 dV 的乘积，
正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率 P
电子粒子性的证实——霍尔效应
霍尔效应从本质上讲是运动的带电粒子在磁场中受 洛仑兹力作用而引起的偏转。当带电粒子（电子或空 穴）被约束在固体材料中，这种偏转就导致在垂直电 流和磁场方向上产生正负电荷的聚积，从而形成附加 的横向电场，即霍尔电场。
第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.2 波函数、概率密度
第1章固体中电子能量结构和状态1
第1章 固体中电子能量结构和状 态
材料的物理性能强烈依赖于材料原子间的键合、晶 体结构和电子能量结构与状态。
主要内容
电子的粒子性和波动性 金属的费密(Fermi)-索末菲(Sommerfel) 电
子理论 晶体能带理论基本知识概述 晶体能带理论应用举例
第1章固体中电子能量结构和状态1
h2 ∂ 2ψ
h
-8π2m∂ x2 +Epψ=i2πΨ
这就是一维粒子在势场中的一般Schrodinger方程 第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.3 薛定谔方程
2.定态Schrodinger方程
定态：粒子在势场中运动，而势场只是坐标 x 的函数， 与时间 t 无关，且系统能量 E 是与 t 无关的常量，系统为
第1章固体中电子能量结构和状态1
量子自由电子模型
—— Fermi-Sommerfel电子理论
独立电子近似使得N个电子的复杂问题转化为单 个电子问题。单电子的状态用波函数ψ(r)描述， 所满足的不含时的薛定谔方程为：
x 2 28h2 2m(EEP)0
2m 2 2第 1章固V 体中电(子r能)量结构和状态(1r)
由边界条件： (第01)章固体中电(子L能)量结构0和，状态1知道 A 0, B 0.
λ必须受限制， λ=2L/正整数。
对于3维情况，ψ(r)=Ceik·r，这里k为平面波的
波矢量，k=2π/λ。
现在描述一个电子： pk,E2k2/(2m
这是极为重要的一步，非常之 关键。对比经典自由电子模型，
？ 电子究竟是什么
电子具有波粒二象性
第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.1.微观粒子波粒二象性
德布罗意 (due de Broglie, 1892-1960)
1923年，德布罗意试图把粒子性和波动 性统一起来。1924年，在博士论文《关于 量子理论的研究》中提出德布罗意波,同时 提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。
长
实物粒子既具有粒子性，又具有波 动性，是粒子性和波动性的统一。
第1章固体中电子能量结构和状态1
电子波动性的证实——电子衍射实验
戴维逊-革末实验
戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电 子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给 以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤 姆孙一起获得Nobel物理学奖。
整个空间的积分为1。
第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.3. 薛定谔（Schrodinger）方程
——用以描述粒子状态及粒子在空 间的分布几率随时间变化的规律。
第1章固体中电子能量结构和状态1
薛定谔方程
此方程在微观粒子运动领域的地位相当于牛顿定 律在经典的宏观力学中的地位。
薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物 理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。。
定态。 EEkEP， EkEEP
由 x22 82hm 2 E k0
则定态Schrodinger方程
2
x8hm(EE) 0 2
2 第2 1章固体中电子能量结构和P 状态1
§1.2 金属的费密(Fermi)-索末菲
(Sommerfel)电子理论
对固体电子能量结构、状态及其导电机理的认识，开始 于对金属电子状态的认识。人们通常把这种认识大致分为 三个阶段。 最早是经典的自由电子学说，主要代表人物是德鲁特 (Drude)和洛伦兹(Lorentz) 。 第二阶段是把量子力学的理论引入对金属电子状态的认 识，称之为量子自由电子学说，具体讲就是金属的费密 (Fermi) —索末菲(Sommerfel)的自由电子理论。
第1章固体中电子能量结构和状态1
金属电子状态认识的三个阶段
➢经典的自由电子学说
认为：金属原子聚集成晶体时，其价电子脱离相应原子的
束缚，在金属晶体中自由运动，称其为自由电子，服从麦－
玻统计规律。 按照经典自由电子理论，金属的导电性取决于自由电子的
数量、平均自由程和平均运动速度。自由电子数量越多导电性
《材料物理性能》
绪论
1. 电、光、热、磁、弹性和内耗性能的物理本质 2. 物理性能与材料成分、结构、工艺过程的关系及
变化规律的关系。 3. 物理性能相关的特殊材料。 4. 物理性能相关的测试技术与分析方法。
第1章固体中电子能量结构和状态1
绪论
➢内容提要（32学时）
第一章：固体的能量结构和状态(4学时) 第二章：材料的电性能 (6学时) 第三章：材料的磁性能 (6 学时) 第四章：材料的光学性能 (6学时) 第五章：材料的热性能 (6学时) 第六章：材料的弹性与滞弹性 (4学时)
自由粒子动量与能量关系 P2 2mEk
代入①式移项
2
2
8mE k
0 2
2
x h 第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.3 薛定谔方程
一维自由粒子Schrodinger方程
x22 82hm 2 E k0
如果粒子在势能为Ep的势场中,则其总能量为 E=Ek+Ep=p2/2m+Ep。将此式代入上式，有
第1章固体中电子能量结构和状态1
§1.2 金属的费密(Fermi)-索
末菲(Sommerfel)电子理论
第三个阶段就是能带理论。能带理论是在量子自由电 子学说基础上建立起来的，经过70多年的发展，成为 解决导电问题的较好的近似理论，是半导体材料和器 件发展的理论基础，在金属领域中可以半定量地解决 问题。
这里发生了深刻的变化。
我们现在可以解释“为什么Al 等电子密度大的金属电导率却 要比一价金属低”这第个1章固问体中题电子能了量结。构和状态1
基本要求
建立固体能量结构的观念，包括的德布罗意波； 薛定谔方程；费米-狄拉克分布函数，禁带起因， 能带结构以及晶格振动，声子的概念等。
第1章固体中电子能量结构和状态1
原子间的键合类型：
主价力 （化学键力）
离子键：如NaCl，低温不导电，
高温离子导电。
无机非金属
共价键：如金刚石、Si，纯晶体
在低温下电导率很小。
P
频率 E h
2.物质波的波函数
机械波 物质波
y (x ,t) A i2 e (t x/)
(x ,t) e i2 (t x /) 0 第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.2 波函数、概率密度
(x ,t)0 e i2 (t x /)
i2(E tP)x
(x,t) 0e h
0 为波函数的振幅。
法国物理学家，1929年诺贝
爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的
尔物理学奖获得者，波动力 重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一
学的创始人，量子力学的奠
基人之一。
角”。
第1章固体中电子能量结构和状态1
德布罗意波
一个能量为E，动量为P的粒子，同时也具有波动性， 其波长由动量P决定，频率ν则由能量E确定:
德布罗 意波波
在量子力学中，为反映微观粒子的波粒二象性， 用波函数来描述它的运动状态。
波函数——决定微观粒子在空间不同位置出现的几 率。
第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.2 波函数、概率密度
1.物质波
特例：一个自由粒子，不受力场作用，沿 x 轴运动。
有一确定能量 E，动量 P，其物质波为平面简谐波。
波长 h
(r)
因为忽略掉电子和离子实之间的互作用，也就是 正电荷只是提供一个背景，可以认为V(r)=0。在 一维情况下，上面的方程可以方便求解。
d 2
dx2
2mE 2
0,
E 2k 2 / 2m h2 /(2m2 )
d 2
dx2
2
2
0,
归一化条件 B：1/ L
A cos 2 x B sin 2 x
（光电效应、康普顿效应、）
第1章固体中电子能量结构和状态1
光子概念的提出
普郎克量子假设说明:光在发射和吸收时具有粒子性。
Einsten提出了光量子(光子)概念。光的能量不象电磁 理论描述的那样分布在波振面上,而是分布在微粒上。
光子的能量：
h
光子具有“整体性”。一个光 子只能“整个地”被吸收或放
出。 第1章固体中电子能量结构和状态1
第1章固体中电子能量结构和状态1
成绩考核：
平时（考勤、作业、课堂提问）: 30%， 闭卷考试: 70%
第1章固体中电子能量结构和状态1
绪论
➢教材
1. 田莳编著。材料物理性能，北京：北京航空航 天大学出版社，2001年8月。
第1章固体中电子能量结构和状态1
绪论
➢参考书
(1). 《材料物理导论》,熊兆贤编著,科学出版社,2001年2月； (2)《材料物理导论》,杨尚林、张宇、桂太龙主编，哈尔滨工 业大学出版社，1999年3月； (3)《材料科学基础》,谢希文、过梅丽主编，北京航空航天大 学出版社， 1999年1月。 (4) 《材料物理性能》，王振廷、李长青著，哈尔滨工业大学 出版社，2011年7月。 (5) 《材料物理性能》，龙毅编，中南大学出版社，2009年6 月。
V |0|2dV 1
| 0| 2 dxdydz1
即粒子某时刻在整个空间出现的概率为1。 第1章固体中电子能量结构和状态1
波函数
波恩对于波函数给出的解释：电子在某个小空间 中出现的概率为波函数模的平方。
电子围绕原子核运动在以前用玻尔轨道运动 作理解，而在从几率波的角度理解时，应该被解 释为：电子在原子核外对应的玻尔轨道附近出现 的几率大大大于其他空间部分。
P | 0|2dV 00 * dV
* 0
是 0
的共轭复数。
4.注意
。 ①.粒子分布多的地第1章方固体概中电子率能量结大构和，状态1德波强度大
1.1.2 波函数、概率密度
②. | 0 | 2 为粒子在某点附近单位体积元中
出现的概率，称为概率密度：t 时刻在（x，y，
z）处出现的概率。
③.归一化条件
应当越好。但事实却是二、 三价金属的价电子虽然比一价金
属的多，但导电性反而比一价金属还差。
实测电导：Ag 6.2；Cu 5.9 V.S. Al 3.6 （基准同）
电子密度： ≈1.0
P.K. ≈3.0
不足第1章的固体原中电因子能量在结构于和状模态1 型过于简单
金属电子状态认识的三个阶段
另外，还存在以下问题： （1）电阻率ρ应与温度T的平方根成正比，但实验结果ρ与T 成正比。 （2）实际测量的电子平均自由程比经典理论估计的大许多。 （3）金属电子比热测量值只有经典自由电子理论估计值的 百分之一。 （4）金属导体、绝缘体、半导体导电性的巨大差异。 （5）不能解释超导现象的产生。 这些都说明这一理论还不完善。
金属电子状态认识的三个阶段
➢量子自由电子学说（即金属的费密-索末菲电子理论）。将 量子力学的理论引入对金属电子状态的认识。
该理论同意经典自由电子学说，认为价电子是完全自由的， 但量子自由电子学说认为自由电子的状态不服从麦克斯韦— 玻尔兹曼统计规律而是服从费密—狄拉克(Fermi-Dirac)的量 子统计规律。故该理论利用薛定谔方程求解自由电子的运动 波函数，计算自由电子的能量。
对于多个粒子的系统薛定谔方程过于复杂，甚至 不能够求解，我们一般讨论的是氢原子、类氢离 子、周期势场中电子的运动所满足的规律。
第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.3 薛定谔方程
1. 一维自由粒子Schrodinger方程
对 x 求二阶偏导
x22 4h22P2
①
对 t 求一阶偏导 i2E
②
t h
金属键：如Na，电导率高，延性好。
次价力
氢键：H2O
分子键:
（分子间作用力， 即范德华力）
静电力 诱导力 色散力
有机物、高 分子
ห้องสมุดไป่ตู้
结合能：离子键＞第1章共固体价中电键子能＞量结金构和属状态键1 ＞氢键＞分子键
§1.1电子的粒子性和波动性
光的本性：
光同时具有波、粒二象性，
波动性：
p h
波动性：表现在传播过程中 （干涉、衍射） 粒子性：表现在与物质相互作用中
3.波函数的统计意义
物质波表示粒子出现的概率。
1926 年Bron提出波函数的
物理意义：
第1章固体中电子能量结构和状态1
玻恩（坐者）
1.1.2 波函数、概率密度
实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模
（振幅）的平方 |0|2 与该点邻近体积元 dV 的乘积，
正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率 P
电子粒子性的证实——霍尔效应
霍尔效应从本质上讲是运动的带电粒子在磁场中受 洛仑兹力作用而引起的偏转。当带电粒子（电子或空 穴）被约束在固体材料中，这种偏转就导致在垂直电 流和磁场方向上产生正负电荷的聚积，从而形成附加 的横向电场，即霍尔电场。
第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.2 波函数、概率密度
第1章固体中电子能量结构和状态1
第1章 固体中电子能量结构和状 态
材料的物理性能强烈依赖于材料原子间的键合、晶 体结构和电子能量结构与状态。
主要内容
电子的粒子性和波动性 金属的费密(Fermi)-索末菲(Sommerfel) 电
子理论 晶体能带理论基本知识概述 晶体能带理论应用举例
第1章固体中电子能量结构和状态1
h2 ∂ 2ψ
h
-8π2m∂ x2 +Epψ=i2πΨ
这就是一维粒子在势场中的一般Schrodinger方程 第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.3 薛定谔方程
2.定态Schrodinger方程
定态：粒子在势场中运动，而势场只是坐标 x 的函数， 与时间 t 无关，且系统能量 E 是与 t 无关的常量，系统为
第1章固体中电子能量结构和状态1
量子自由电子模型
—— Fermi-Sommerfel电子理论
独立电子近似使得N个电子的复杂问题转化为单 个电子问题。单电子的状态用波函数ψ(r)描述， 所满足的不含时的薛定谔方程为：
x 2 28h2 2m(EEP)0
2m 2 2第 1章固V 体中电(子r能)量结构和状态(1r)
由边界条件： (第01)章固体中电(子L能)量结构0和，状态1知道 A 0, B 0.
λ必须受限制， λ=2L/正整数。
对于3维情况，ψ(r)=Ceik·r，这里k为平面波的
波矢量，k=2π/λ。
现在描述一个电子： pk,E2k2/(2m
这是极为重要的一步，非常之 关键。对比经典自由电子模型，
？ 电子究竟是什么
电子具有波粒二象性
第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.1.微观粒子波粒二象性
德布罗意 (due de Broglie, 1892-1960)
1923年，德布罗意试图把粒子性和波动 性统一起来。1924年，在博士论文《关于 量子理论的研究》中提出德布罗意波,同时 提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。
长
实物粒子既具有粒子性，又具有波 动性，是粒子性和波动性的统一。
第1章固体中电子能量结构和状态1
电子波动性的证实——电子衍射实验
戴维逊-革末实验
戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电 子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给 以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤 姆孙一起获得Nobel物理学奖。
整个空间的积分为1。
第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.3. 薛定谔（Schrodinger）方程
——用以描述粒子状态及粒子在空 间的分布几率随时间变化的规律。
第1章固体中电子能量结构和状态1
薛定谔方程
此方程在微观粒子运动领域的地位相当于牛顿定 律在经典的宏观力学中的地位。
薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物 理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。。
定态。 EEkEP， EkEEP
由 x22 82hm 2 E k0
则定态Schrodinger方程
2
x8hm(EE) 0 2
2 第2 1章固体中电子能量结构和P 状态1
§1.2 金属的费密(Fermi)-索末菲
(Sommerfel)电子理论
对固体电子能量结构、状态及其导电机理的认识，开始 于对金属电子状态的认识。人们通常把这种认识大致分为 三个阶段。 最早是经典的自由电子学说，主要代表人物是德鲁特 (Drude)和洛伦兹(Lorentz) 。 第二阶段是把量子力学的理论引入对金属电子状态的认 识，称之为量子自由电子学说，具体讲就是金属的费密 (Fermi) —索末菲(Sommerfel)的自由电子理论。
第1章固体中电子能量结构和状态1
金属电子状态认识的三个阶段
➢经典的自由电子学说
认为：金属原子聚集成晶体时，其价电子脱离相应原子的
束缚，在金属晶体中自由运动，称其为自由电子，服从麦－
玻统计规律。 按照经典自由电子理论，金属的导电性取决于自由电子的
数量、平均自由程和平均运动速度。自由电子数量越多导电性
《材料物理性能》
绪论
1. 电、光、热、磁、弹性和内耗性能的物理本质 2. 物理性能与材料成分、结构、工艺过程的关系及
变化规律的关系。 3. 物理性能相关的特殊材料。 4. 物理性能相关的测试技术与分析方法。
第1章固体中电子能量结构和状态1
绪论
➢内容提要（32学时）
第一章：固体的能量结构和状态(4学时) 第二章：材料的电性能 (6学时) 第三章：材料的磁性能 (6 学时) 第四章：材料的光学性能 (6学时) 第五章：材料的热性能 (6学时) 第六章：材料的弹性与滞弹性 (4学时)
自由粒子动量与能量关系 P2 2mEk
代入①式移项
2
2
8mE k
0 2
2
x h 第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.3 薛定谔方程
一维自由粒子Schrodinger方程
x22 82hm 2 E k0
如果粒子在势能为Ep的势场中,则其总能量为 E=Ek+Ep=p2/2m+Ep。将此式代入上式，有
第1章固体中电子能量结构和状态1
§1.2 金属的费密(Fermi)-索
末菲(Sommerfel)电子理论
第三个阶段就是能带理论。能带理论是在量子自由电 子学说基础上建立起来的，经过70多年的发展，成为 解决导电问题的较好的近似理论，是半导体材料和器 件发展的理论基础，在金属领域中可以半定量地解决 问题。
这里发生了深刻的变化。
我们现在可以解释“为什么Al 等电子密度大的金属电导率却 要比一价金属低”这第个1章固问体中题电子能了量结。构和状态1
基本要求
建立固体能量结构的观念，包括的德布罗意波； 薛定谔方程；费米-狄拉克分布函数，禁带起因， 能带结构以及晶格振动，声子的概念等。
第1章固体中电子能量结构和状态1
原子间的键合类型：
主价力 （化学键力）
离子键：如NaCl，低温不导电，
高温离子导电。
无机非金属
共价键：如金刚石、Si，纯晶体
在低温下电导率很小。
P
频率 E h
2.物质波的波函数
机械波 物质波
y (x ,t) A i2 e (t x/)
(x ,t) e i2 (t x /) 0 第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.2 波函数、概率密度
(x ,t)0 e i2 (t x /)
i2(E tP)x
(x,t) 0e h
0 为波函数的振幅。
法国物理学家，1929年诺贝
爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的
尔物理学奖获得者，波动力 重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一
学的创始人，量子力学的奠
基人之一。
角”。
第1章固体中电子能量结构和状态1
德布罗意波
一个能量为E，动量为P的粒子，同时也具有波动性， 其波长由动量P决定，频率ν则由能量E确定:
德布罗 意波波
在量子力学中，为反映微观粒子的波粒二象性， 用波函数来描述它的运动状态。
波函数——决定微观粒子在空间不同位置出现的几 率。
第1章固体中电子能量结构和状态1
1.1.2 波函数、概率密度
1.物质波
特例：一个自由粒子，不受力场作用，沿 x 轴运动。
有一确定能量 E，动量 P，其物质波为平面简谐波。
波长 h
(r)
因为忽略掉电子和离子实之间的互作用，也就是 正电荷只是提供一个背景，可以认为V(r)=0。在 一维情况下，上面的方程可以方便求解。
d 2
dx2
2mE 2
0,
E 2k 2 / 2m h2 /(2m2 )
d 2
dx2
2
2
0,
归一化条件 B：1/ L
A cos 2 x B sin 2 x
（光电效应、康普顿效应、）
第1章固体中电子能量结构和状态1
光子概念的提出
普郎克量子假设说明:光在发射和吸收时具有粒子性。
Einsten提出了光量子(光子)概念。光的能量不象电磁 理论描述的那样分布在波振面上,而是分布在微粒上。
光子的能量：
h
光子具有“整体性”。一个光 子只能“整个地”被吸收或放
出。 第1章固体中电子能量结构和状态1
第1章固体中电子能量结构和状态1
成绩考核：
平时（考勤、作业、课堂提问）: 30%， 闭卷考试: 70%
第1章固体中电子能量结构和状态1
绪论
➢教材
1. 田莳编著。材料物理性能，北京：北京航空航 天大学出版社，2001年8月。
第1章固体中电子能量结构和状态1
绪论
➢参考书
(1). 《材料物理导论》,熊兆贤编著,科学出版社,2001年2月； (2)《材料物理导论》,杨尚林、张宇、桂太龙主编，哈尔滨工 业大学出版社，1999年3月； (3)《材料科学基础》,谢希文、过梅丽主编，北京航空航天大 学出版社， 1999年1月。 (4) 《材料物理性能》，王振廷、李长青著，哈尔滨工业大学 出版社，2011年7月。 (5) 《材料物理性能》，龙毅编，中南大学出版社，2009年6 月。
V |0|2dV 1
| 0| 2 dxdydz1
即粒子某时刻在整个空间出现的概率为1。 第1章固体中电子能量结构和状态1
波函数
波恩对于波函数给出的解释：电子在某个小空间 中出现的概率为波函数模的平方。
电子围绕原子核运动在以前用玻尔轨道运动 作理解，而在从几率波的角度理解时，应该被解 释为：电子在原子核外对应的玻尔轨道附近出现 的几率大大大于其他空间部分。
P | 0|2dV 00 * dV
* 0
是 0
的共轭复数。
4.注意
。 ①.粒子分布多的地第1章方固体概中电子率能量结大构和，状态1德波强度大
1.1.2 波函数、概率密度
②. | 0 | 2 为粒子在某点附近单位体积元中
出现的概率，称为概率密度：t 时刻在（x，y，
z）处出现的概率。
③.归一化条件
应当越好。但事实却是二、 三价金属的价电子虽然比一价金
属的多，但导电性反而比一价金属还差。
实测电导：Ag 6.2；Cu 5.9 V.S. Al 3.6 （基准同）
电子密度： ≈1.0
P.K. ≈3.0
不足第1章的固体原中电因子能量在结构于和状模态1 型过于简单
金属电子状态认识的三个阶段
另外，还存在以下问题： （1）电阻率ρ应与温度T的平方根成正比，但实验结果ρ与T 成正比。 （2）实际测量的电子平均自由程比经典理论估计的大许多。 （3）金属电子比热测量值只有经典自由电子理论估计值的 百分之一。 （4）金属导体、绝缘体、半导体导电性的巨大差异。 （5）不能解释超导现象的产生。 这些都说明这一理论还不完善。